鲁教版九年级数学上册圆和圆的位置关系1

圆和圆的位置关系
教学目的
1．使学生掌握圆和圆的五种位置关系的定义．
2．使学生掌握圆和圆的各种位置关系中圆心距与半径之间的数量关系，并了解它是性质又是判定．
3．使学生能初步会运用两圆相切的性质和判定．
教学重点
两圆相交，相切的概念及两圆相切的性质和判定．
教学过程
一、复习提问
1．直线和圆有几种不同的位置关系？各是怎样定义的？
指出：直线和圆有三种位置关系即直线和圆相离、相切、相交．在各种位置关系中是用直线和圆的公共点的个数来定义的．
2．直线和圆的各种位置关系中，圆心距和半径各有什么相应的数量关系？
指出：⊙O的半径为r，圆心距为d则：
使学生明确，它们既可以做为性质定理又可以做为判定定理．
二、新课
老师在黑板上写出课题：圆和圆的位置关系．写出课题后老师在黑板上画一个圆，手里拿一个硬纸做的圆(与黑板上画的圆不是等圆)放在黑板上，按图7--217所示的位置运动变化．
引导学生观察：两圆公共点的个数及除公共点外每个圆上的其它各点各在另一个圆的什么位置．判断出有五种不同的位置关系．
老师挂出小黑板(或利用幻灯)，(如图7--218)结合图形给出如下定义：
1．圆和圆的位置关系．
(1)相离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部．
(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．唯一的公共点叫做切点．
(3)相交：两个圆有两个公共点．
(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．唯一的公共点叫做切点．
(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部．
说明：(1)定义直线和圆相离、相切、相交时，完全取决于公共点的个数，而定义圆和圆的位置关系时，不仅考虑公共点的个数而且还要考虑内部和外部的因素．(2)两圆外切和内切统称两圆相切．(3)两圆外离和两圆内含统称两圆相离，(4)两圆位置
两圆内含的一种特例．
2．两圆在五种位置关系中的数量特征：两圆的圆心距O1O2=d≥0，半径R＞r＞0．
学生得出此结论后可以问：怎么样就能说明圆心距等于两个半径的和．引导学生认识到只要证明切点A在O1O2上就可以．
已知：⊙O1和⊙O2相外切，A为切点(如图7--219)
求证：切点A一定在连心线(经过两圆的圆心的直线)O1O2上．
证明：连心线O1O2是⊙O1的对称轴，也是⊙O2的对称轴．
假设切点A不在O1O2上，那么A点就在O1O2外，以O1O2为对称轴就一定有一个和A点对称的点A′．由于A点在⊙O1上，所以A′点也在⊙O1上．又A点在⊙O2上，所以A′点
也在⊙O2上，这就是说A′点是⊙O1和⊙O2的另一个公共点，这样⊙O1和⊙O2就成为两个相交的圆，这和已知条件⊙O1与⊙O2外切相矛盾，所以A点在O1O2外是不可能的，因此切点A一定在连心线O1O2上．由此可知：如果两个圆外切，那么切点一定在连心线上．
当半径O1A、O2A和线段O1O2构成△AO1O2的三条边，所以d＜R+r并且d＞R-r，也就是R-r＜d＜R+r．
定理：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．
说明：(1)两圆的圆心距d与两圆半径R、r的数量关系既是两圆位置关系的性质又是判定，要注意区别性质和判定的条件和结论．(2)判定两圆相交时必须具备R-r＜d＜R+r的条件．当d＜R+r时，除两圆可能相交外还可能内切或内含．当d＞R-r时，除两圆相交外还可能外切或外离．
例1 已知：如图7--220，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm
求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？
(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？
解：(1)设⊙O与⊙P外切于点A，则
OA+PA=OP，PA=OP-OA，
∴PA=3cm．
(2)设⊙O与⊙P内切于点B，则
PB-OB=OP，PB=OP+OB，
∴PB=13cm．
答：以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是3cm，以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是13cm．
例2 如图7--221，已知，⊙O1和⊙O2外切于P，并且⊙O和⊙O1、⊙O2分别内切于M、N，△O1O2O的周长为18cm．
求：⊙O的半径长．
解：设⊙O、⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r1、r2
∵⊙O1和⊙O2相外切．
∴O1O2=r1+r2．
又⊙O和⊙O1、⊙O2分别相内切．
∴O1O=R-r1，O2O=R-r2．
△O1O2O的周长为18cm即
O1O2+O1O+O2O=(r1+r2)+(R-r1)+(R-r2)
=18．
∴R=9(cm)
答：⊙O的半径为9cm．
例3 已知：如图7--222，⊙O1与⊙O2外切于A，AB是⊙O1的直径，BD切⊙O2于D交⊙O1于C．求证：AB·CD=AC·BD．
证明：连结O2D．
∵⊙O1和⊙O2外切于A并且AB是⊙O1的直径．
∴AC⊥BD且O2点在AB所在的直线上．
又BD切⊙O2于D．
∴O2D⊥BD．∴O2D∥AC．
△BAC∽△BO2D．
又∵O2D∥AC
又O2A=O2D，
练习：
1．举出一些能表示两个圆不同位置关系的实例．
2．⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，设：
(1)O1O2=8cm；(2)O1O2=7cm；
(3)O1O2=5cm；(4)O1O2=1cm；
(5)O1O2=0．5cm；(6)O1和O2重合．
⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？
3．定圆O的半径是4cm，动圆P的半径是1cm．
(1)设⊙P和⊙O相外切，那么点P与点O的距离是多少？点P可以在什么样的线上移动？
(2)设⊙P和⊙O相内切，情况怎样？
4．求证：两个等圆相外切，过切点的直线被两圆截出的两条弦相等．
三、小结
掌握圆和圆的位置关系中的五种定义．圆心距和半径之间的数量关系是性质定理也是判定定理，应用时应该注意区分性质定理和判定定理的条件和结论．两圆相切，切点在连线上常常作为证明三点共线的定理应用．
四、作业
1．阅读课文，思考下列问题：
(1)两个圆有哪几种位置关系(画图说明)？
(2)两圆的位置关系与两圆的半径、圆心距的大小有什么关系？
2．设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，在下列情况下，⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？
(1)R=6cm，r=3cm，d=4cm；
(2)R=6cm，r=3cm，d=0；
(3)R=3cm，r=7cm，d=4cm；
(4)R=1cm，r=6cm，d=7cm；
(5)R=6cm，r=3cm，d=10cm；
(6)R=5cm，r=3cm，d=3cm；
(7)R=3cm，r=5cm，d=1cm．
3．三角形的三边长分别为4cm、5cm、6cm，以各顶点为圆心的三个圆两两外切．求各圆的半径．
4．画三个半径分别为2cm、2．5cm、4cm的圆，使它们两两外切．
5．⊙O和⊙O′相切于A点，过A点作一条直线交⊙O于B．交⊙O′于B′，求证：OB ∥O′B′(提示：分内切与外切两种情况证明)：
作业答案或提示：
1．(略)；
2．(1)相交；(2)同心圆；(3)内切；(4)外切；
(5)外离；(6)相交；(7)内含．
3．1．5cm，2．5cm，3．5cm．
4．根据圆心距等于两半径之和，确定三个圆心的相对位置．
5．由O、O′、A共线，再根据平行线判定定理即可证出．。