2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：板块

板块命题点专练(十三) 圆锥曲线
1.(2016·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2
＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点
重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )
A ．m ＞n 且e 1e 2＞1
B ．m ＞n 且e 1e 2＜1
C ．m ＜n 且e 1e 2＞1
D ．m ＜n 且e 1e 2＜1 解析：选A C 1的焦点为(±m 2－1，0)，C 2的焦点为(±n 2＋1，0)， ∵C 1与C 2的焦点重合，
∴m 2－1＝n 2＋1，∴m 2＝n 2＋2，∴m 2＞n 2. ∵m ＞1，n ＞0，∴m ＞n .
∵C 1的离心率e 1＝m 2－1m ，C 2的离心率e 2＝n 2＋1
n ， ∴e 1e 2＝m 2－1m ·n 2＋1
n ＝(m 2－1)(n 2＋1)mn ＝(m 2－1)(n 2＋1)
m 2n 2
＝
(n 2＋1)2
(n 2＋2)n 2
＝
n 4＋2n 2＋1
n 4＋2n 2
＞1＝1.
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以
线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )
A.63 B ．33
C.23
D.13
解析：选A 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2， 由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝
2ab b 2＋a 2
＝a ，得a 2＝3b 2
， 所以C 的离心率e ＝
1－b 2a 2＝63
. 3．(2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，
B 分别为
C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )
A.13 B ．12
C.23
D.34
解析：选A 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )， 由PF ∥OE ，得
|MF ||OE |＝|AF |
|AO |
， 则|MF |＝m (a －c )
a . ① 又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO |
|BF |
，
则|MF |＝m (a ＋c )
2a . ②
由①②得a －c ＝1
2(a ＋c )，即a ＝3c ，
∴e ＝c a ＝13
.
4．(2015·浙江高考)椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0 )的右焦点F (c,0)关于直线y ＝b
c x 的对称点
Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如 图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b
c x 交于点M .
由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ . 又O 为线段F 1F 的中点，
∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |. 在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝b
c ，|OF |＝c ，
可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bc
a
，
故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2
a .
由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2
a ＝2a ， 整理得
b ＝
c ，
∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝2
2.
答案：
22
5．(2016·浙江高考)如图，设椭圆x 2
a 2＋y 2
＝1(a ＞1)．
(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)； (2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
解：(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2
＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0， 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2
.
因此|AP |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋k 2
1＋a 2k 2
.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，
由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |. 记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 21
1＋a 2k 2
1， |AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 22
1＋a 2k 2
2
， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 2
2
， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 2
2]＝0.
由k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得
1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，
因此⎝⎛⎭⎫1k 21
＋1⎝⎛⎭
⎫1k 22
＋1＝1＋a 2(a 2－2)． ① 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2.
因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤ 2. 由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0＜e ≤22.
所求离心率的取值范围为⎝⎛⎦
⎤0，22.
6．(2017·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：
x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为1
2，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标． 解：(1)设椭圆的半焦距为c .
因为椭圆E 的离心率为1
2，两准线之间的距离为8，
所以c a ＝12，2a 2
c
＝8，
解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3， 因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 2
3＝1.
(2)由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 设P (x 0，y 0)，因为P 为第一象限的点， 故x 0>0，y 0>0.
当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符．
当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0
x 0－1.
因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1
y 0
， 从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1
y 0
(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－
x 0－1
y 0
(x －1)．② 由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1
y 0
，
所以Q ⎝
⎛⎭⎫
－x 0，x 2
0－1y 0.
因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 2
0－1
y 0＝±y 0，
即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1.
又点P 在椭圆E 上，故x 204＋y 20
3
＝1.
联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2
－y 2
0＝1，x 204＋y 20
3＝1，解得⎩⎨⎧
x 0＝47
7，y 0＝377；
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 20
＋y 2
0＝1，x 204＋y 20
3＝1，无解． 因此点P 的坐标为
⎝⎛⎭⎫477
，377.
1.(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 2
3m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距
离为4，则n 的取值范围是( )
A ．(－1,3)
B ．(－1，3)
C ．(0,3)
D ．(0，3) 解析：选A 由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2， 又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4， 即m 2＝1，所以－1<n <3.
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5
2x ，
且与椭圆x 212＋y 2
3
＝1有公共焦点，则C 的方程为( )
A.x 28－y 2
10＝1 B ．x 24－y 2
5＝1
C.x 25－y 2
4
＝1 D.x 24－y 2
3
＝1 解析：选B 根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝
52
x ， 可知b a ＝5
2. ①
又椭圆x 212＋y 2
3
＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a 2＋b 2＝9. ② 根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 2
5
＝1.
3．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4
所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )
A ．2
B ． 3 C. 2
D.233
解析：选A 依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝
0.
因为直线bx －ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2， 所以
|2b |b 2＋a
2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2， 所以e ＝
1＋b 2
a
2＝1＋3＝2. 4．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2
＝1的右准线与它的两条
渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．
解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫3
2，±32.
不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2， 则F 1(－2,0)，F 2(2,0)，
故四边形F 1PF 2Q 的面积是12|F 1F 2|·|PQ |＝1
2×4×3＝2 3.
答案：2 3
5．(2016·浙江高考)设双曲线x 2
－y 2
3
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，
且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．
解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，
现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8； 当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.
因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)． 答案：(27，8)
6．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与
焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p
2，
由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p
2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
a 2－y 2
b 2＝1，
x 2＝2py 消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，
所以y 1＋y 2＝2pb 2
a
2，
所以2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22，
所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .
法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p
2，
由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p
2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .
k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －
x 212p x 2－x 1
＝x 2＋x 1
2p .
由⎩⎨⎧
x 21a 2－y 21
b
2＝1，x 22a 2
－y
22b 2
＝1，
得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a
2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 1
2p ，
所以b 2a 2＝12，故b a ＝2
2
，
所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .
答案：y ＝±2
2x
1.(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10 解析：选A 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.
不妨设直线l 1的斜率为k ，
则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1
k (x －1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，y ＝k (x －1)
消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，
由抛物线的定义可知，
|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4
k 2.
同理得|DE |＝4＋4k 2，
∴|AB |＋|DE |＝4＋4k 2＋4＋4k 2＝8＋4 ⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k 2＝k 2
，即k ＝±1时取等号，
故|AB |＋|DE |的最小值为16.
2．(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．
解析：设点M 的横坐标为x ，则点M 到准线x ＝－1的距离为x ＋1， 由抛物线的定义知x ＋1＝10，∴x ＝9， ∴点M 到y 轴的距离为9. 答案：9
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.
解析：法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，
因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点， 设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22， 所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6.
法二：如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x
轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，
∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝1
2|FO |＝1.
又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.
由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6. 答案：6
4．(2017·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎫0，1
2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．
(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．
解：(1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝1
2.
所以抛物线C 的方程为y 2＝x .
抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1
2(k ≠0)，
l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋12，
y 2＝x 消去y ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 则x 1＋x 2＝
1－k k 2，x 1x 2＝1
4k 2
. 因为点P 的坐标为(1,1)，
所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2
x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋
y 2x 1
x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2
＝
⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝
⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2
＝(2k －2)x 1x 2＋1
2
(x 2＋x 1)
x 2
＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2
x 2
＝0， 所以y 1＋
y 2x 1
x 2
＝2x 1.
故A 为线段BM 的中点．
1.(2017·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为 1
2 .
已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为1
2
.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为
6
2
，求直线AP 的方程． 解：(1)设F 的坐标为(－c,0)．
依题意⎩⎪⎨⎪⎧
c a ＝12，
p
2＝a ，
a －c ＝12
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
c ＝12，
p ＝2，
于是b 2＝a 2－c 2＝3
4
.
所以椭圆的方程为x 2
＋4y 2
3
＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .
(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立， 可得点P ⎝⎛⎭⎫－1，－2m ，故点Q ⎝⎛⎭⎫－1，2
m . 联立⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝my ＋1，x 2＋4y 23＝1消去x ，
整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0， 解得y ＝0或y ＝
－6m
3m 2＋4
.
由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－3m 2
＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4.
由Q ⎝⎛⎭
⎫－1，2
m ，可得直线BQ 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3m 2
＋43m 2＋4＋1⎝⎛⎭⎫y －2m ＝0， 令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0.
所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 2
3m 2＋2
. 又因为△APD 的面积为62
， 故12×6m 23m 2＋2×2|m |＝62
， 整理得3m 2－26|m |＋2＝0，解得|m |＝
63， 所以m ＝±63
. 所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.
2．(2016·全国卷Ⅰ)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；
(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．
解：(1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，
所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，
故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.
又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，
从而|AD |＝4，
所以|EA |＋|EB |＝4.
由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，
由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 2
3
＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1
得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 2
4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3
. 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，
点A 到直线m 的距离为
2k 2＋1
，
所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝4 4k 2＋3k 2＋1
. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12
|MN | |PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12 , 83)． 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，
故四边形MPNQ 的面积为12.
综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12 , 83)．。