《100所名校》广西南宁市第三中学 20182019学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

2018-2019学年广西南宁市第三中学
高二上学期期中考试数学试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．已知命题，, 则命题的否定是)
A．，B．，
C．，D．，
2．下列求导运算正确的是
A．B．C．D．
3．从中任取个不同的数，则取出的个数之和为的概率是
A．B．C．D．
4．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的
A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件
5．函数的单调递减区间为
A．B．C．D．
6．已知双曲线C:()的一条渐近线方程为,且半焦距，则双曲线C的方程为
A．B．C．D．
7．手机给人们的生活带来便利的同时，也给青少年的成长带来不利的影响，有人沉迷于手机游戏无法自拔，严重影响了自己的学业，某学校随机抽取个班，调查各班带手机来学校的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为将数据分组成，，…，，时，所作的频率分布直方图是
A．B．
C．D．
8．双曲线与椭圆的离心率互为倒数，那么以为边长的三角形一定是
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形
9．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是）
A．2 B．3 C．D．
10．如图，平面，，与两平面所成的角分别为和，过分别作两平面交线的垂线，垂足为，则＝
A．4∶3 B．3∶1 C．3∶2 D．2∶1
11．已知是双曲线的左右焦点，若直线与双曲线交于两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
12．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记,,则
A．B．C．D．
二、填空题
13．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号为第1组，6～10号为第2组，…，196～200号为第40组)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码是．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取人,则_______．
14．椭圆
22
22
1
x y
a b
+=（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。

若|AF1|，
|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________
15．已知函数在处取得极值，则实数_______________．
16．已知函数，函数，（），若对任意，，总存在，，使得成立，则的取值范围是__________．
三、解答题
17．已知数列的前项和
(1)求的通项公式;
(2)设，的前项和为，求.
18．的内角、、的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若，,求．
19．随着南宁三中集团化发展，南宁三中青三校区2018年被清华北大录取23人，广西领先，一本率连年攀升，南宁三中青山校区2014年至2018年一本率如下表：
(1)求关于的回归方程(精确到0.0001);
(2)用所求回归方程预测南宁三中青山校区2019年高考一本录取率.(精确到0.0001).
附：回归方程
中
参考数据：，
20．如图，在四棱锥中，⊥底面，，，，，点为棱的中点．
(1)（理科生做）证明：；
（文科生做）证明：平面；
(2)（理科生做）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．
（文科生做）求点到平面的距离.
21．已知椭圆：，离心率为，并过点.
(1)求椭圆方程；
(2)若直线：与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点。

求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
22．已知函数，．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数
2018-2019学年广西南宁市第三中学
高二上学期期中考试数学试题
数学答案
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可。

【详解】
命题，是一个全称命题，则其否定是特称命题，
既是，，故选A。

【点睛】
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

2．B
【解析】
【分析】
本题考查的是函数的求导，可对、、、四个选项依次进行求导，最后得出结果【详解】
A项：，故A错；
B项：，故B正确；
C项：，故C错；
D项：，故D错。

综上所述，故选B。

【点睛】
对于函数的求导我们有：、、等等。

3．C
【解析】
【分析】
本题可以先计算出从中任取个不同的数有多少种可能，再计算出取出的个数之和为有多少种可能，两数相除得出概率。

【详解】
从中任取个不同的数有和、和、和、和、和、和六种情况，
满足取出的个数之和为的有和、和两种情况，所以概率为，故选C。

【点睛】
本题考查的是概率的计算，可以先通过计算出所有的可能的总数，再计算出满足题目条件的总数，两数相除即可得出概率。

4．B
【解析】
根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B．
【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题。

5．B
【解析】
函数的定义域为，对函数求导可得：，
结合函数的定义域和：可得函数的单调递减区间是：.
本题选择B选项.
点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
6．D
【解析】
【分析】
本题可以先通过双曲线C的一条渐近线方程为得知、之间的关系，再通过半焦距以及解得、的值，最后得出结果。

【详解】
由渐近线方程可知，
所以有，
再由双曲线的性质可知，，
所以由上述式子联立可以解得、，故双曲线C:，
故选D。

【点睛】
本题主要考查双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为，、、之间有着的关系。

7．A
【解析】
【分析】
本题可以先算出在每一组内的数据有几个，再算出每一组所对应的概率，最后通过概率除以组距，绘出图像，得出结果。

【详解】
由茎叶图可知数据分别为：
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，在内有一个；在内有两个；在内有四个；在内有两个；在内有四个；在内有三个；在内有三个，在内有两个，
由此可知在内的概率为；在内的概率为；在内的概率为；
在内的概率为；在内的概率为；在内的概率为；在内
的概率为；再根据频率除组距画出图像，由此可知，故选A。

【点睛】
本题主要考查频率分布直方图，需要明确每一组所对应的频率除组距的值。

8．C
【解析】
试题分析：双曲线和椭圆的离心率互为倒数，所以，所以即，所以以为边长的三角形是直角三角形
考点：三角形的形状判断；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
9．A
【解析】
抛物线的焦点坐标为F（1,0），准线方程是，根据抛物线定义，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和可以看成抛物线上一动点到焦点和直线的距离之和，其最小值为焦点F到直线的距离，。

故选A。

【点睛】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离互相转化。

10．D
【解析】
【分析】
本题可以将设为，再通过与平面所成的角为计算出的长，然后通过与平面所成的角为计算出的长，通过勾股定理得出的长，最后得出结果。

【详解】
如图所示，连接、，设，
因为，与平面所成的角为，
所以平面，，与平面所成的角即，，
所以，，
因为，与平面所成的角为，
所以平面，，与两平面所成的角即，
所以，，
所以，既有，
所以，故选D。

【点睛】
本题主要考查直线与平面所成角，过不平行于平面的直线上一点作平面的垂线，这条直线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的锐角或直角即为直线与平面所成角。

11．C
【解析】
【分析】
由题意可知，矩形的对角线的长度相等，所以就有了，然后先通过联立双曲线与直线得出的长，然后利用双曲线性质得出的长，从而求出双曲线的离心率。

【详解】
联立方程，，，，
，，，所以的长的为：，
因为矩形的对角线的长度相等，
所以，，，，
，，，解得，故选C。

【点睛】
本题考查双曲线与直线的相交问题，在计算本题时，首先要能够发现矩形的对角线相等这一隐含条件，其次要能够通过联立方程计算出矩形的两条对角线的长度，对计算能力要求颇高。

12．A
【解析】
【分析】
本题可以先设，然后求出的导数，
然后可以通过“时，”判断出的单调性，
最后通过比较、、的大小得出答案。

【详解】
设，则有，
因为时，，
所以时，，为减函数，
因为，
所以，
所以，故选A。

【点睛】
本题主要考查构造函数，遇到无法通过题目给出条件解决的导数问题，可以试着使用构造函数，构造函数需要对函数的求导的基本模型有着十分的了解，可以看出题目所给出的条件是哪种函数求导公式的一部分。

13．57
【解析】
【分析】
本题先根据系统抽样法得出第8组抽出的号码的数目，再通过40岁以下年龄段所占的比例得出40岁以下年龄段的人数，最后得出结果。

【详解】
由分层抽样可知，
因为第组抽出的号码为，每一组的人数为五人，
所以第组抽出的号码是，，
因为从名职工中抽取名职工作样本，岁以下年龄段占，
所以岁以下年龄段共有人，，故。

【点睛】
本题主要考查系统抽样以及概率，系统抽样是将总体按一定标志或次序进行分组，然后按相等的距离或间隔抽取样本单位。

14
【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.
利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：
1
AF a c
=-，
12
2
F F c
=，
1
F B a c
=+.
又已知
1
AF，
12
F F，
1
F B成等比数列，故2
()()(2)
a c a c c
-+=，即222
4
a c c
-=，则22
5
a c
=.
故
c
e
a
==.
【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关,a c的方程，然后化为有关,a c的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.
15．
【解析】
由题可得，因为函数在处取得极值，
所以且，解得或．
当时，，不符合题意；
当时，，满足题意．
综上，实数．
16．
【解析】
对函数f(x)求导可得：，
令f′(x)=0解得或.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示：
所以,当时,f(x)是减函数;当时,f(x)是增函数。

当x∈[0,1]时,f(x)的值域是[−4,−3].
对函数g(x)求导,则g′(x)=3(x2−a2).
因为a⩾1,当x∈(0,1)时,g′(x)<3(1−a2)⩽0，
因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数，
从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)]，
又g(1)=1−2a−3a2,g(0)=−2a，
即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1−2a−3a2,−2a]，
任给x1∈[0,1],f(x1)∈[−4,−3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)，
则[1−2a−3a2,−2a]⊇[−4,−3],即
⩽
⩾
，
解①式得a⩾1或a⩽−，
解②式得a⩽，
又a⩾1,故a的取值范围内是.
点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
17．（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)首先可以通过取计算出的值，再通过取，计算出，就是的解析式，最后得出的通项公式；
(2)首先可以通过的解析式得出的解析式，再通过裂项相消法计算出的值。

【详解】
解：(1)，
当时，，当时，
综上得：；
(2)。

【点睛】
本题考查数列求和，数列求和的方法中有裂项相消法、公式法、错位相减法、倒序相加法等。

18．（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)首先可以通过解三角形的正弦定理将转化为
，再通过三角形的内角的取值范围得出角的值；
(2)通过可计算出的值，再通过解三角形的余弦定理得出的值。

【详解】
解：(1)由正弦定理，
得，，
在三角形中，
得，因为，所以；
(2)，，，
，。

【点睛】
本题考查解三角形，对于解三角形的正弦定理、余弦定理、面积公式能够进行灵活运用。

19．（1），（2）
【解析】
【分析】
(1)本题考查回归方程的解法，首先可以算出的平均值，再通过计算出的值，然后再通过解出的值，最后得出结果；
(2)可将带入解得结果。

【详解】
解：(1)，
，，
，
；
所以关于的回归方程为
(2)年对应，
把代入得
预测南宁三中青山校区年高考一本率为。

【点睛】
本题考查回归方程，在计算回归方程时，首先要知道回归方程中的各项字母的含义，其次在计算过程中要足够细心。

20．（1）见解析（2）理，文
【解析】
【分析】
(1理)可通过以点为原点建立空间直角坐标系，然后确定、、、四点的坐标，最后通过求得出；
(1文)首先可证明四边形是平行四边形，再通过证明平面；
(2理)先求出向量、、、，然后求出平面和平面的法向量，最后求出二面角的余弦值；
(2文)可通过等面积法求出点到平面的距离。

【详解】
(1理)依题意，以点为原点建立空间直角坐标系(如图)，
可得，，，
，，，，，，，，，
由为棱的中点，
得，，，
向量＝，，，＝，，，故，
所以.
(1文)取中点，联接、
因为是中点，所以且
所以且，四边形是平行四边形
，平面，平面，
所以平面；
(2理)向量＝，，，＝，，，＝，，，＝，，．由点在棱上，设，，
故－，－，，
由，得，因此－＋－＝，解得＝，
即，，，设＝，，为平面的法向量，
则，即，
不妨令，可得＝，－，为平面的一个法向量．
取平面的法向量，，，则
〈，〉＝，
易知，二面角－－是锐角，所以其余弦值为；
(2文)设到平面距离为，
，①
在中，因为，
所以平面，
所以,在中，，
将数据代入①得。

【点睛】
本题主要考查空间几何的相关知识，在解空间几何的相关题目时，可以通过点、线、面的相关性质或者利用空间向量来解出题目。

21．（1）（2）直线过定点，定点坐标为
【解析】
【分析】
(1)可通过椭圆离心率为得出，再代入点得出，最后通过椭圆性质得出
，联立解得椭圆方程；
(2)首先可以设出、定点坐标，通过与椭圆方程联立解出与以及的值，
然后通过得出算式，带入、
、
的值，解出的值，最后得出结果。

【详解】
(1)由已知得，解得，椭圆方程为；
（2）设，，由得，
，，
，，
，因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，且，
所以，，
，
整理得：，
解得：，，且满足，
当时，，直线过定点，与已知矛盾；
当时，，直线过定点，，
综上可知，直线过定点，定点坐标为，。

【点睛】
本题考查的是圆锥曲线中的椭圆，首先需要对椭圆的性质有着充分的了解，其次需要有着一定的计算能力，在计算椭圆与直线类题目的时候，常用的就是联立椭圆与直线方程得到与
的值，然后再利用题目所给信息列出式子解出答案。

22．（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.
试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即
，解得.
因此，当时，轴是曲线的切线.
（Ⅱ）当时，，从而，
∴在（1，+∞）无零点.
当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.
当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.
（ⅰ）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.
（ⅱ）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.
①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.
②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；
③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.…10分
综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.
考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想。