贵州省遵义市2022-2023学年高二上学期期末数学试题

加油！有志者事竟成
答卷时应注意事项
１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；
３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；
４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；
５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；
６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；
７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！
1
遵义市2022~2023学年度第一学期期末质量监测
高二数学
（满分：150分，时间：120分钟）
注意事项：
1． 考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码．
2． 客观题答题时，请用2B 铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选其它选项！主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相成的位置答题；在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的倾斜角为（ ） 10y -+=A.
B.
C.
D.
π4
π6
π3
2π3
【答案】C 【解析】
【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求.
为，所以直线的斜率，则
10y -+=1y =+k =
θ
，，. tan θ=0πθ≤< π3
θ∴=
故选：C.
2. 抛物线的准线方程为 24y x =A. B.
C. D.
1x =2x ==1x -2x =-【答案】C 【解析】
【分析】由抛物线标准方程知p ＝2，可得抛物线准线方程． 【详解】抛物线y 2＝4x 的焦点在x 轴上，且2p=4,=1， 2
p
∴抛物线的准线方程是x ＝﹣1． 故选C ．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题．
3. 已知向量，若，则x 的值为（ ）
(1,),(2,1)a x b =-=
a b ⊥ A. －2 B. －1
C. 1
D. 2
【答案】D 【解析】
【分析】根据题意可得，进而求出x 的值. 0a b ⋅=
【详解】因为，所以，
a b ⊥ 0a b ⋅=
即，解得， 1210x -⨯+⋅=2x =故选：D .
4. 已知正实数a 、b 满足，则的最小值为（ ） 1a b +=12
a b
+
A. B.
C.
D. 4
3+3+2+【答案】A 【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.
【详解】由，则
0,0a b >>()12122123b a a b a b a b a b
⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭
当且仅当，即时，等号成立， 2b a
a b
=1,2a b =-=故选：A.
5. 若，则（ ） 0.5
3log 10,3,ln10a b c ===A. B.
C.
D.
a b c >>c a b >>a c b >>b a c >>【答案】B 【解析】
【分析】将、与2比较可得，将、用换底公式变换后构造函数，研究其单调3log 100.53a b >ln103log 10性比较即可.
【详解】∵，，∴，
33log 10log 92a =>=0.532b ==<=a b >又∵，，， 1ln10lg e =
3
1
log 10lg 3
=0lg e lg 3<<∴
，即：，∴， 11lg e lg 3
>3ln10log 10>c a >
∴. c a b >>故选：B.
6. 已知两条直线和，下列不正确的是（ ） 1:10l ax y +-=2:10(R)l x ay a ++=∈A. “a ＝1”是“”的充要条件
12l l ∥
B. 当 12l l ∥
C. 当斜率存在时，两条直线不可能垂直 2l
D. 直线横截距为1 2l 【答案】D 【解析】
【分析】由直线平行关系可以判断A 正确；利用平行线间距离公式可以判断B 正确；利用垂直关系可以判断C 正确；令可以求出直线得横截距. 0y =2l 【详解】当时，，则， 12l l ∥11a a ⋅=⨯1a =±当时，直线与重合，故舍去，所以A 正确；
1a =-1l 2l 当时，，和间的距离为
1a =12l l ∥1:10l x y +-=2:10(R)l x y a ++=∈
，所以B 正确；
d 若，则，则， 12l l ⊥110a a ⋅+⋅=0a =又当斜率存在时，，所以C 正确；
2l 0a ≠，令得，所以直线横截距为-1，
2:10(R)l x ay a ++=∈0y ==1x -2l 所以D 错误. 故选：D.
7. 已知函数的图象如下图所示，则的大致图象是（ ）
()f x (|1|)f x +
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】
【分析】先由函数的图象变换得到偶函数的图象，再根据平移变换得到的图象.
()f x ()f
x (|1|)f x +【详解】在轴左侧作函数关于轴对称的图象，得到偶函数的图象，
y ()f x y ()f x 向左平移一个单位得到的图象. (|1|)f x +故选：A .
8. 投掷一枚均匀的骰子，记事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件A 与事件B 互斥
B. 事件A 与事件B 对立
C. 事件A 与事件B 相互独立
D. ()5
6
P A B +=
【答案】C 【解析】
【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A 与事件B 的基本事件可判断A ，B ；根据独立事件的概率公式可判断C ；求出事件的概率可判断D.
A B +【详解】对于A ，B ，事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，
这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A 与事件B 不互斥，也不对立，A ，B 错误； 对于C ，投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个，
事件A ：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为, 1()2P A =B ：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为,
1
()3
P B =事件包含的基本事件个数有1个，其概率为,
AB 1
()6
P AB =由于,故事件A 与事件B 相互独立，C 正确；
()()()P AB P A P B =
对于D ，事件包含的基本事件个数有朝上的点数为共4个， A B +2,4,5,6故，D 错误， ()42
63
P A B +==故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ） ()2
2
1
f x x x =+
A. 函数f （x ）为偶函数
B. 函数f （x ）的定义域为 (,0)(0,)-∞+∞
C. 函数f （x ）的最小值为2
D. 函数f （x ）在（0，＋∞）单调递减 【答案】ABC 【解析】
【分析】对于A ：根据偶函数的定义即可判断；对于B ：分母不为0即可判断；对于C ：根据基本不等式即可判断；对于D ：求导即可判断.
【详解】对于A ：的定义域为，关于原点对称， ()f x (,0)(0,)-∞+∞ 而，所以为偶函数.故A 正确； ()()2
2
22
11()()f x x x f x x x
-=-+
=+=-()f x 对于B ：，的定义域为.故B 正确； 20,0x x ≠∴≠ ()f x ∴(,0)(0,)-∞+∞
对于C ：，当且仅当，即时，等号成立， ()22
12f x x x =+
≥=221x x =1x =±故的最小值为2.故C 正确；
()f x 对于D ：，当时，令即，解得， 433
222
()2x f x x x x
-'=-=0x >()0,f x '>4220x ->1x >令即，解得，在上单调递减，在上单调递增.故D 错()0,f x '<4220x -<01x <<()f x ∴(0,1)(1,)+∞误.
故选：ABC.
10. 已知函数，则（ ） ()1sin22f x x x =
+
A. 函数f （x ）的最小正周期为 π
B. 将函数f （x ）的图象向右平移
个单位后的图象关于y 轴对称
3
π
C. 函数f （x ）的一个对称中心为 ,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
D. 函数f （x ）在区间上单调递减 ,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】AD 【解析】
【分析】运用辅助角公式化简、图象平移变换，再研究其周期性、奇偶性、对称性及单调性即可.
【详解】， 1π()sin 22sin(2)23
f x x x x =
+=+对于A 项，，故A 项正确； 2π2ππ|||2|
T ω=
==对于B 项，的图象向右平移
个单位后为， ()f x π
3πππ()sin(2())sin(2333
g x x x =-+=-所以，所以图象不关于y 轴对称.故B 项错误； ππ
()sin(2sin(2()3
3
g x x x g x -=--=-+
≠对于C 项，因为，，所以的对称中心为，，
πππ2π362
k x k x +
=⇒=-+Z k ∈()f x ππ
(,0)62k -+Z k ∈当时，，所以不是的对称中心.故C 项错误；
πππ626
k -
+=2Z 3k =∉π
(,0)6()f x 对于D 项，因为，则， ππ
(,)62x ∈π2π4π2(,
)333
x +∈，令，则，，
π()sin(2)3f x x =+π
23t x =+sin y t =2π4π(,)33
t ∈因为在上单调递减，所以在上单调递减.故D 项正确.
sin y t =2π4π(,)33
()f x ππ
(,62故选：AD.
11. 已知直线l ：，点P 为⊙M ：上一点，则（ ） 10x y ++=()()2
2
122x y -+-=A. 直线l 与⊙M 相离
B. 点P 到直线l 距离的最小值为
1C. 与⊙M 关于直线l 对称的圆的方程为
()()2
2
322x y +++=D. 平行于l 且与⊙M 相切的两条直线方程为和 2210x y ++=2250x y +-=【答案】AC 【解析】
【分析】利用圆心到直线l 的距离与半径
A 正确；点P 到直线l 距离的
()1,2M d r =
最小值为，判断B 错误；求出圆心关于直线l 对称点，进而求出圆的方程，判d r -()1,2M ()3,2N --断C 正确；利用圆心到直线的距离，求出其切线方程，判断D 错误. ()1,2M d r =【详解】⊙M ：，圆心，半径，
()()2
2
122x y -+-=()1,2M r =
圆心到直线l ：的距离为：，
()
1,2M 1
0x y ++=d r >所以直线l 与⊙M
相离，故A 正确；
点P 到直线l 距离的最小值为，故
B 错误； d r -=-=设圆心关于直线l 对称点为，
()1,2M ()00,N x y 则，解得，
000011
102
22(1)11
x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩()3,2N --则与⊙M 关于直线l 对称的圆的方程为，故C 正确； ()()2
2
322x y +++=设平行于l 且与⊙M 相切的直线方程为， 0
x y c ++=
则，解得或，
d r ='1c =-5c =-平行于l 且与⊙M 相切的两条直线方程为和，故D 错误. 10x y +-=50x y +-=故选：AC .
12. 双曲线C ：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线右支交于A 、B 两点，
22145
x y -=12,F F 2F 和内切圆半经分别为和，则（ ）
12AF F △12BF F △1r 2r
A. 双曲线C 的渐近线方程为
20x =B. 面积的最小值为15
1AF B △C. 和的内切圆圆心的连线与x 轴垂直 12AF F △12BF F △D. 为定值 12r r ⋅【答案】BCD 【解析】
【分析】A
； 20y ±=B ：，联立方程，找到面积的表达式，函数解析式找到最小值，在垂直时取到； 112121
2
AF B S F F y y =
- CD:画图，设圆切、、分别于点、、，推导出点、、的横坐标为，证1O 1AF 2AF 12F F M N G G 1O 2O a 得轴，，可得出，得证；
12O O x ⊥12122O GF O F O △∽△()2
12r r c a =-【详解】
选项:双曲线的渐近线方程为
化简成一般式为 ，错误；
A 2
x =±20y ±=选项：设则； B 1122(,),(,)A x y B x y 112121
2
AF B S F F y y =
- 设过点的直线为l 显然与轴不垂直，设：，，，
2F y l 3x my =+()11,A x y ()22,B x y 联立， 22
314
5x my x y =+⎧⎪
⎨-=⎪⎩()
225430250m y my ⇒-++=
故，，
()2
Δ40010m =+>12212230542554m y y m y y m -⎧
+=⎪⎪-⎨⎪⋅=
⎪-⎩
由于A ，均在双曲线右支，故
B ， 122122
12212122
24()60054
020363()9054m y y x x m x x m m y y m y y m -⎧
++=>⎪+>⎧⎪-⇔⎨⎨⋅>--⎩⎪+++=>⎪-⎩
解得，带入得：
2
045
m ≤<
112121
2AF B S F F y y =-
()1121
22
AF B S c y y =⨯⨯
-= 代入韦达定理得， 1
2450AF B
S m ⎫=≤
⎪<⎭
，则， 1t t ⎛=≤<
⎝12960560195AF B t S t t t t
⎛==≤< -⎝- 易知
随的增大而减小，则当时，，
9
5t t
-t 1t =()
1min
15AF B S = 综上：的面积的最小值为15，正确；
1AF B S 选项:（如图所示） 过的直线与双曲线的右支交于、两点， C 2F A B 由切线长定理可得，，，
AM AN =11F M F G =22F G F N =所以
()()()212121
21AF F F AF AN F N FG F G AM F M +-=+++-+，则，所以点的横坐标为.
222222F N F G F G c a =+==-2F G c a =-G ()c c a a --=故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴，正确； 1O a 2O a 12O O x ⊥选项：由C 可知圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切. D 1O 2O x (),0G a 1O 2O 在中，，， 122O O F △()122122221211
902
O F O O F G O F G AF F BF F ∠=∠+∠=
∠+∠= 122O O F G ⊥，，
12212GO F F O O ∴∠=∠1212290O GF O F O ∠=∠=
所以，，所以，，则， 12122O GF O F O △∽△1121212
O G O F
O F O O =212112O F O G O O =⋅所以
，即，正确；
2
2
2
2
2121112112F G O F O G O G O O O G O G O G =-=⋅-=⋅()2
121r r c a =-=故答案为：BCD
【点睛】方法点睛：双曲线中的面积最值问题的处理方法：设出直线方程，设出交点坐标
y kx b =+，，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，可根据交点情况得出参数
11(,)x y 22(,
)x y 1212,x x x x +范围，利用点的坐标求出面积，代入韦达定理的结果后面积可化为所设参数的函数，从而再利用函数知识、不等式知识求得最值．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
若复数，则|z |
＝___． 12z i =+
【解析】
【分析】根据复数的模长的计算公式，可得答案.
【详解】由题意，复数的实部为，虚部为，则12z
i =+12z ==
14. 若，则tan 2＝___． sin 0,2παα⎛
⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
α【答案】. 【解析】
【分析】方法
1：运用特殊角的三角函数值计算即可.
方法2：运用同角三角函数的平方关系与商式关系及二倍角公式计算即可. 【详解】方法1：∵，， π
(0,)2
α∈sin α=∴， π3
α=
∴. 2π
tan 2tan
3
α==方法2：∵，
π(0,)2
α∈
∴， 1cos 2
α===
∴ sin tan cos α
αα
=
=
∴. 2
2tan tan 21tan ααα=
==-
故答案为：
15. 已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若PA ＝2，AB ＝1，，则三棱锥P －
BC =ABC 外接球的表面积为___． 【答案】 8π【解析】
【分析】由题意结合球心的性质确定三棱锥的外接球的球心的位置，求得球的半径，即可求外-P ABC 接球的表面积
【详解】由题意，在三棱锥中，平面，平面， -P ABC PA ⊥ABC ,AC BC ⊂ABC 所以，,又，，平面， PA AC ⊥PA BC ⊥AB BC ⊥AB PA A = ,AB PA ⊂PAB 所以平面，平面，所以，
BC
⊥PAB PB ⊂PAB BC PB ⊥设的中点为，因为，所以， PC O PA AC ⊥OP OC OA ==因为，所以， BC PB ⊥OC OP OB ==所以为三棱锥外接球的球心，
O -P ABC
因为，，所以， AB BC ⊥1,AB BC ==2AC =
因为，，，所以，
PA AC ⊥2AC =2PA =OP =
设三棱锥外接球的为，所以，
-P ABC R R =
所以三棱锥的外接球的表面积为．
2
2
4π4π8πS R ==⨯=故答案为：.
8π
16. 已知函数，若方程有四个不相等的实数根、、、，且2
ln ,0()43,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩()f x m =1x 2x 3x 4x ，则
的取值范围是___．
1234x x x x <<<()()34
1211x x x x +-【答案】. 11,43⎛⎤ ⎥⎝⎦
【解析】
【分析】画出的图象可得m 的范围，，，，代入所求式子转化为
()y f x =341x x =124x x +=-210x -<≤求函数在上的值域即可.
2221
23
y x x =
--+(1,0]-【详解】的图象如图所示，
()y f x =
∵方程有四个不相等的实根， ()f x m =∴，
03m <≤又∵，， 34ln ln x x m -==12
22
+=-x x ∴，，，
34
1x x =124x x +=-210x -<≤∴，
34212222211
(1)(1)(41)(1)23
x x x x x x x x ==+---+---+又∵在上单调递减， 2
2223y x x =--+(1,0]-∴，
2
223234x x ≤--+<∴， 2221114233
x x <≤--+∴
的取值范围为.
3412(1)(1)x x x x +-11,43⎛⎤
⎥⎝⎦
故答案为：. 11,43⎛⎤
⎥⎝⎦
四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日－12月18日进行，赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分，某企业为了解广大球迷世界杯知识的知晓情况．在球迷中开展了网上测试，从大批参与者中随机抽取100名球迷，他们测试得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：
（1）根据频率分布直方图，求a 的值；
（2）若从得分在[75，90]内的球迷中用分层抽样的方法抽取6人作世界杯知识分享，并在这6人中选取2人担任分享交流活动的主持人，求选取的2人中至少有1名球迷得分在内的概率． [80,85)【答案】（1）0.04.
（2）
. 3
5
【解析】
【分析】（1）根据所有频率之和为1列式解方程即可.
（2）根据分层抽样的抽样比相同抽取人数，用列举法解决古典概型. 【小问1详解】
，解得：.
50.010.070.060.02)1a ⨯=(++++0.04a =【小问2详解】 由分层抽样可知，
从得分在内的球迷中抽取人，分别记为、、，从得分在
[75,80)0.06
630.060.040.02⨯
=++1a 2a 3a 内的球迷中抽取人，分别记为、，
[80,85)0.04
620.060.040.02
⨯=++1b 2b 从得分在内的球迷中抽取人，记为. [85,90)0.02
610.060.040.02
⨯
=++c 所以从这6人中选取2人的基本事件有、、、、、、12(,)a a 13(,)a a 11()a b ,12()a b ,1(,)a c 23(,)a a 21()a b ,、、、、、、、、，共有15个，
22()a b ,2(,)a c 31()a b ,32()a b ,3(,)a c 12()b b ,1(,)b c 2(,)b c
两人中至少有1名球迷得分在内的基本事件有、、、、、
[80,85)11()a b ,12()a b ,21()a b ,22()a b ,31()a b ,、、、，共有9个.
32()a b ,12()b b ,1(,)b c 2(,)b c 所以两人中至少有1名球迷得分在内的概率为. [80,85)93155
P =
=18. 已知的圆心在直线上，且过点． M y x =(0,3),(1,0)P Q -（1）求的方程；
M （2）若：，求与公共弦的长度． N e ()()2
2
113+++=x y M N e 【答案】（1）
22(1)(1)5x y -+-=（2
【解析】
【分析】（1）求出的垂直平分线的方程，联立方程求得圆心坐标，继而求得半径，即可得答案； PQ （2）求出两圆的公共线的方程，求得到该直线的距离，根据圆的弦长的求法可得答案. (1,1)M 【小问1详解】
由题意知的圆心在直线上，且过点， M y x =(0,3),(1,0)P Q -则的垂直平分线方程为，即， PQ 311
(232
y x -
=-+340x y +-=联立，解得，即圆心为，
340y x x y =⎧⎨+-=⎩1
1x y =⎧⎨=⎩
(1,1
）
=
故的方程为 M 22(1)(1)5x y -+-=
【小问2详解】 因为
||MN =
-<<+故和相交，
M N e 将和相减可得， ()()2
2
113+++
=x y 22(1)(1)5x y -+-=22+10x y +=点到直线，
(1,1)M 22+10x y +==
故与公共弦的长度为. M N e =
19. 如图，正四棱柱中，M 为中点，且．
1111ABCD A B C D -11C D 1
24AA AB ==
（1）证明：平面； 1//AD 11BCC B （2）求DM 与平面所成角的正弦值． I AMD 【答案】（1）证明见解析.
（2【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）作,证明平面,找到DM 与平面所成角，求出相关线段的长，解直角三1DP AD ⊥DP ⊥1AMD I AMD 角形即可求得答案. 【小问1详解】 证明：如图，连接 ,
1BC
因为 ,所以四边形为平行四边形，
1111,AB D C AB D C =∥11ABC D
故 ,又平面，平面, 11AD BC ∥1AD ⊄11BCC B 1BC ⊂11BCC B 故平面. 1//AD 11BCC B 【小问2详解】
作,垂足为P ，
1DP AD ⊥因为平面, M 为中点，平面,
11C D ⊥11ADD A 11C D 1MD ⊥11ADD A 平面,故,
PD ⊂11ADD A 1MD DP ⊥平面,故平面,
11111,AD MD D AD MD =⊂ ，1AMD DP ⊥1AMD 连接,则为 DM 与平面所成角， MP DMP ∠I AMD 在中，
而
1Rt ADD 11DD
AD PD AD ⋅
=
==DM ==故在中,
,
Rt DPM △sin PD DMP MD ∠===
即DM 与平面. I AMD 20. 在①；②这两个条件中选择一个，()(sin sin )()sin b c B C b a A -+=-(2)cos cos 0b a C c B -+=补充在下面问题中并解答．
问题：在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，___________． （1）求C ；
（2）若a ＝1，b ＝2，D 在线段AB 上，且满足，求线段CD 的长．
25
AD AB =
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分． 【答案】（1）
π
3
（2【解析】
【分析】（1）选择条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；选择条件②，先用正弦定理将边转化为角的关系，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求解；
（2）先利用余弦定理求出，再由题意求出，再根据勾股定理即可AB =π
2
ABC ∠=BD 求得． CD 【小问1详解】
选择条件①，
()(sin sin )()sin b c B C b a A -+=-依题意由正弦定理得，即，
()(+)()b c b c b a a -=-222a b c ab +-=又由余弦定理得，且，得， 2221
cos 22
a b c C ab +-==
()0,πC ∈π3C =选择条件②，
(2)cos cos 0b a C c B -+=依题意由正弦定理得, (sin 2sin )cos sin cos 0B A C C B -+=即， ()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C B C C B B C A =+=+=又，则，所以，得， (),0,πA C ∈sin 0A >1cos 2C =π
3
C =【小问2详解】
结合（1）由余弦定理得，即， 22222cos 3AB c a b ab C ==+-=AB =则，所以， 222b a c =+π
2
ABC ∠=
又，即，则
25AD AB = 25AD AB ==BD =
则在Rt △CBD 中，，得． 22
22252125CD BC BD =+=+=CD =21. 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点H 为线段PB 上一点（不含端点），平面AHC ⊥平面PAB ．
（1）证明：；
PB AC ⊥
（2）若，四棱锥P －ABCD 的体积为
，求二面角P －BC －A 的余弦值． 1AB AC ==1
3
【答案】（1）见解析 （2【解析】
【分析】（1）利用面面垂直性质定理与线面垂直性质定理，结合公理2，可得线面垂直，可得答案； （2）根据二面角的平面角定义作图，利用等面积法以及棱锥体积公式，求得边长，结合直角三角形的性质，可得答案. 【小问1详解】
平面，且平面，过点所有垂直于的直线都在平面内，
PA ⊥ ABCD C ∈ABCD ∴C PA ABCD 平面平面，且平面，存在一条过的直线平面，且平面 AHC
⊥ABP C ∈AHC ∴C l ⊥ABP l ⊂AHC
，
平面，，则平面，平面平面，与为
PA ⊂ ABP l PA ∴⊥l ⊂ABCD ABCD ⋂AHC AC =l ∴AC 同一条直线，
即平面，平面，. AC ⊥ABP PB ⊂ ABP AC PB ∴⊥【小问2详解】
在平面内，过作，且，连接，作图如下：
ABCD A AE BC ⊥AE BC E ⋂=PE
平面，且平面，，同理可得，
PA ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PA BC ∴⊥PA AE ⊥，，平面，平面， AE BC ⊥ AE PA A = ,AE PA ⊂PAE BC ∴⊥PAE 平面，为二面角的平面角，
PE ⊂Q PAE PEA ∴∠P BC A --
在中，，且，则 Rt ABC △1122ABC S AB AC AE BC =
⋅⋅=⋅⋅ BC ==AE =在四棱锥中，底面的面积，则其体积，解得P ABCD -ABCD 1S AB AC =⋅=11
33
V PA S =
⋅⋅=，
1PA =
在中，
Rt PAE cos EA
PEA PE
∠=
==
故二面角P BC A --22. 已知椭圆C 的左顶点为
．
2222:1(0)x y a b a b +=>>()
A -（1）求C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线、，M 为与C 两交点的中点，N 为与C 两交点1l 2l 1l 2l 的中点，求△FMN 面积的最大值． 【答案】（1）
2
2
18
4
x y +
=（2）
4
9
【解析】
【分析】（1）由已知顶点坐标求出，由离心率求出，进一步运算得出椭圆的方程；
a c （2）设出直线、的方程，与椭圆C 方程联立，得出
M ，N 的纵坐标，表示△FMN 的面积，求其最大1l 2l
值.
【小问1详解】
由左顶点为，得
，即，，所
()
A -a =c a =2c =2b ==以椭圆C 的方程为；
2
2
18
4
x y +
=【小问2详解】
由已知、斜率都存在且不为0，设与C 交于，，
1l 2l 1l ()11,P x y ()22,Q x y 右焦点，设直线：，联立，得，
()2,0F 1l 2x my =+222
18
4x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22
2440m y my ++-=所以与椭圆C 两交点的中点M 的纵坐标， 1l 122222
M y y m y m +=
=-+
加油！有志者事竟成
20 同理与椭圆C 两交点的中点N 的纵坐标， 2l 222
22112N m m y m m -
=-=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以△FMN 的面积
12S MF NF ==， 不妨设，令 ，， ()()()
22222222211121m m m m m m m m +=+=++++0m >21m t m +=2t ≥则，因为，， 212S t t
=+12y t t =+212y t '=-因为，所以函数在区间上单调递增，当时，有最小值
，△FMN 2t ≥1
2y t t =+[)2,+∞2t =12y t t =+92面积有最大值，最大值为
． 49。