山东省寿光现代中学2017届高三10月月考文数试题Word版含解析

山东省寿光现代中学2017届高三10月月考
文数试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数i
i
z --=
21(其中i 为虚数单位)，则复数z 在坐标平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D
考点：复数的运算.
2.集合}0)2)(1(|{=--=x x x A ，}2,1{=B A ，则满足条件的集合B 有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】D 【解析】
试题分析： 集合}0)2)(1(|{=--=x x x A ，{
}2,1=∴A ，又}2,1{=B A ，则满足条件
的B 有422
=个，故选D. 考点：集合的并集及运算.
3.设向量)1,(m a =，),1(m b =，如果与共线且方向相反，则m 的值为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2 【答案】A 【解析】
试题分析：因为与共线且方向相反,由共线向量定理可设()0<=λλ,即⎩⎨
⎧==m
m λλ
1,解得
1±=m ,由于0<λ,所以1-=m .
考点：共线向量. 4.函数)
1ln(1)(+-=
x x
x f 的定义域为（ ）
A ．]1,1(-
B ．]1,0()0,1( -
C ．)1,1(-
D ．)1,0()0,1( - 【答案】B 【解析】
试题分析：要使原函数有意义,则⎪⎩⎪
⎨⎧≠+>+≥-110101x x x ,解得11≤<-x 且0≠x ,则定义域为
]1,0()0,1( -,故选B.
考点：函数的定义域.
5.在四边形ABCD 中，“R ∈∃λ，使得DC AB λ=，BC D AB λ=”是“四边形ABCD 为平
行四边形”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】
C
考点：1.充分必要条件；2.平面向量共线的表示. 6.已知角θ为第四象限角，且4
3
tan -
=θ，则=+θθcos sin （ ）
A ．51
B ．57
C ．51
- D ．5
7-
【答案】A 【解析】
试题分析：
43tan -=θ,θθcos 43sin -=∴,又1cos sin 22=+θθ,得出25
16cos 2
=θ.因为角θ为第四象限角,53cos =∴θ,53sin -=θ;5
1
cos sin =+∴θθ.故选A.
考点：同角三角函数的运算.
7.在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，b A c =cos ，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是斜三角形 D ．一定是直角三角形 【答案】D 【解析】
试题分析： b A c =cos ，()C A C A C A B A C sin cos cos sin sin sin cos sin +=+==∴，
0cos sin =∴C A .0sin ≠A ,0cos =∴C ,又π<<C 0 ,2
π=
∴C ,ABC ∆∴一定是直
角三角形. 考点：正余弦定理.
8.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离1||<PA 的概率为（ ） A ．
41 B ．21 C ．4
π
D ．π 【答案】C
考点：几何概型.
【思路点晴】本题主要考查的是几何概型求概率,属基础题.解几何概型的试题,一般先求出实验的基本事件构成的区域长度(或面积或体积或弧度),再求出事件A 构成的区域长度(或面积或体积或弧度),最后代入几何概型的概率公式即可,几何概型的概率公式为
()积或弧度）
的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成面积或体积或弧度）
构成事件的区域长度（=
A P .
9.已知函数))((R x x f y ∈=满足)1()1(-=+x f x f ，且当]1,1[-∈x 时，2
)(x x f =，则
)(x f y =与x y 5log =的图象的交点个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 【答案】C 【解析】
试题分析：将1+x 代入)1()1(-=+x f x f 得()()2+=x f x f ，所以函数))((R x x f y ∈=是周期为2的周期函数．下图中画出了题目中两个函数的部分图象，有数形结合思想可知函数
()x f y =与x y 5log =的图象有4个交点．故选C ．
考点：函数的图象.
【思路点晴】本题主要考查分段函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，通过题中给出的一部分函数解析式和函数的周期性画出函数在实数范围上的全部图象，再画出x y 5log =的具体图象，从中得出交点个数.数形结合思想是数量与图形间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想,是高中数学四大重要思想之一. 10.设函数x x x f ln 92
1)(2
-=
在区间]1,1[+-a a 上单调递减，
则实数a 的取值范围是（ ） A ．21≤<a B ．4≥a C ．2≤a D ．30≤<a 【答案】A
考点：函数的单调性.
【方法点晴】本题考查函数的单调性以及给定的区间与单调区间的子集关系,属中档题目.求函数单调区间的方法是:(1)确定函数的定义域；(2)求导函数()x f '；(3)解不等式()0>'x f ,所得的x 范围即为()x f 的单调递增区间；令()0<'x f 所得的x 范围即为()x f 的单调递减区间.接下来利用]1,1[+-a a (]3,0⊆,写出不等关系,注意等号的取舍,为本题的易错点.
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．） 11. =++)3log 3)(log 2log 2(log 8493 .
【答案】
4
5
考点：对数的运算.
12. 设y x ,满足约束条件⎩
⎨⎧≤-≤-≤≤013
1y x x ，则y x z -=2的最大值为 .
【答案】3 【解析】
试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示，由⎩
⎨
⎧==x y x 3
得()3,3A ,当直线y x z -=2过点()3,3A 时,在y 轴上的截距最小,此时z 取得最大值3.所以y x z -=2在点()3,3A 处取得最
大值3,故填3.
考点：线性规划.
13.正三角形ABC 中，3=AB ，D 是边BC 上的点，且满足2=，则
=⋅ .
【答案】
4
27
【解析】
试题分析：因为BD BC 2=,所以D 为线段BC 的中点,故有
2
3
3233s i n =⨯
=∠⋅=B AB AD ,且
6
π
=
∠BAD ,则
=⋅427232333cos =⨯⨯
=∠⋅⋅BAD AD AB ,故填4
27
. 考点：向量的数量积.
14.已知数列9,,,121a a 是等差数列，数列9,,,,1321b b b 是等差数列，则2
12
a a
b +的值
为 . 【答案】
10
3
考点：等差数列和等比数列.
【易错点晴】本题考查等差、等比数列的基本运算与性质,属中档题.等差数列的性质:若
q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+；等比数列的性质:若q p n m +=+,则q p n m a a a a ⋅=⋅.
这两个性质多用于选择和填空题中.本题在求2b 时,得到92
2=b ,因此32±=b ,在判断2b 正负取舍时,应注意等比数列所有奇数项位置的项正负符号一致,同样所有偶数项位置的项正负号一致.
15.已知函数)0,0,0)(cos(
)(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 为奇函数，该函数的部分图象如图所
示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则)1(f 的值为 .
【答案】3-
考点：求三角函数的解析式.
【方法点晴】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式,考查三角函数的性质,属中档题.求解析式时,(1)主要根据函数的最值求A ；(2)根据周期公式ω
π
2=
T ,先确定周期T 的值再求
ω的值；(3)参数ϕ是确定解析式的关键,由特殊点求ϕ时,往往以寻找“五点法”中的第一个
点为突破口,“第一点”即图象上升时与x 轴的交点，此时0=+ϕωx .
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.设命题p ：函数1+=kx y 在R 上是增函数. 命题q ：R x ∈∃，01)32(2
=+-+x k x . 如 果q p ∧是假命题，q p ∨是真命题，求k 的取值范围. 【答案】)2
5
,21(]0,( -∞． 【解析】
试题分析：先分别确定命题q p ,为真时,k 的取值范围0>k 及21≤
k 或2
5
≥k ,再根据复合命题真假判断,得命题q p ,一真一假,最后分类讨论,若p 真q 假,则
⎪⎩⎪⎨⎧<<>25210k k ,∴2521<<k ；若p 假q 真,则⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤25210
k k k 或解得0≤k ,从而k 的取值范围
为)2
5,21(]0,( -∞.
试题解析：解：∵函数1+=kx y 在R 上是增函数，∴0>k .
由“R x ∈∃，01)32(2
=+-+x k x ”得方程01)32(2
=+-+x k x 有解，
∴04)32(2
≥--=∆k ，解得21≤
k 或2
5≥k . ∵q p ∧是假命题，q p ∨是真命题，∴命题q p ,一真一假，
若p 真q 假，则⎪⎩⎪
⎨⎧<<>252
10
k k ，∴2521<<k ；
若p 假q 真，则⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤25210
k k k 或，解得0≤k .
综上可得k 的取值范围是)2
5
,21(]0,( -∞. 考点：命题的真假.
17.已知、、是同一平面内的三个向量，其中)2,1(=. （1）若52||=，且//，求的坐标；
（2）若2
5
||=
，且2+与-2垂直，求与的夹角θ. 【答案】(1))4,2(=或)4,2(--=；(2)πθ=. 【解析】
试题分析：(1)设),(y x =，由a c //和52||=,列方程组即可求出的坐标；(2)根据
b a 2+与b a -2垂直,可得25
-=⋅b a ,
再根据夹角公式=θcos ,即可求出与的夹
角.
考点：1.平面向量的坐标表示；2.向量夹角公式. 18.已知函数a x x x x f ++-++=cos )6
sin()6sin()(π
π
的最大值为1.
（1）求常数a 的值；
（2）若A 为ABC ∆的内角，)2
,0(π∈A ，13)(-=A f ，ABC ∆的面积为3，32=AB ，
求BC 的长.
【答案】(1)1-=a ；（2）2=BC ． 【解析】
试题分析：(1)由三角函数公式化简可得()a x x f +⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+=6sin 2π,由最大值为1,可得12=+a ,解方程可得1-=a ；（2）由题意和（1）可得6
π=A ，由三角形的面积公式可得2=b ，
再由余弦定理求得2=BC . 试题解析：解：（1）a x a x x x x f ++=++-++=)6
sin(2cos )6sin()6sin()(π
ππ
，
由最大值为1得1-=a . （2）1)6
sin(2)(-+
=π
x x f .
由131)6sin(2)(-=-+
=πA A f ，)2,0(π∈A ，得6π=A . ∵3sin 21==
A bc S ，∴2=b . ∵4cos 2222=-+=A bc c b a ，∴2=a ，即BC 的长为2.
考点：1.三角函数的化简.2.余弦定理.
【方法点晴】本题主要考查三角函数的化简、求角求最值以及面积公式的应用,属中档题目.三角函数化简的基本方法有：一切割化弦,二降幂公式(二倍角公式),三用三角公式转化出现特殊角,四异角化同角,五异名化同名,六高次化低次,七辅助角公式,八分解因式等.三角函数一般考查运算能力较多,需要注意提升运算能力,在求角时,先看角的范围.
19.已知数列}{n a 满足11=a ，)(2
211*++∈+=N n a a a n n n n n . （1）证明数列}2{n
n
a 是等差数列； （2）求数列}{n a 的通项公式.
【答案】(1)证明见解析；(2)1
2+=n a n
n
. 试题解析：（1）证明：由已知n n n n n a a a 2
211+=++可得：n n n n n n a a a a 11122+++=⋅+， 两边同除以1+n n a a ，整理可得12211=-++n
n
n n a a ， ∴数列}2{n
n
a 是以2为首项，1为公差的等差数列.
（2）解：由（1）可得12+=n a n
n
，∴数列}{n a 的通项公式12+=n a n n . 考点：1.等差数列的定义；2.求数列的通项公式.
20.口袋中装有质地大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游
戏：甲先摸一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号. 如果两个编号的和为偶数就算甲胜，
否则算乙胜.
（1）求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？说明理由.
【答案】(1)5
1=
P ；(2)游戏规则不公平，理由见解析. 【解析】
试题分析：(1)相当于两人掷含有5个面的色子,共2555=⨯种情况,然后输入和为偶数,且和为6的情况种数,然后用古典概型求概率；(2)偶数,就是甲胜,其他情况乙胜,分别算出甲胜的概率和乙胜的概率,比较是否相等,相等就公平,不相等就不公平.
试题解析：解：（1）设“甲胜且编号的和为6”为事件A .
甲编号为x ，乙编号为y ，),(y x 表示一个基本事件，
则两人摸球结果包括(1,2)，(1,3)，…，(1,5)，(2,1)，(2,2)，…，(5,4)，(5,5)共25个基本事件； A 包括的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共5个. ∴5
1255)(==A P . 答：甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为
51
.
考点：古典概型.
21.设函数c bx ax x x f +++=23)(.
（1）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；
（2）设4==b a 时，若函数)(x f 有三个不同零点，求实数c 的取值范围.
【答案】(1)c bx y +=；(2))2732,
0(∈c . 【解析】
试题分析：(1)首先求函数()x f 的导数,根据c f =)0(,b f =)0('求切线方程；(2)由函数()x f 有三个不同的零点,所以()x f 有两个极值点,且极小值小于0,极大值大于0,列出等式关系即可求得c 的取值范围.
（2）当4==b a 时，c x x x x f +++=44)(2
3，∴483)('2++=x x x f . 令0)('=x f ，得04832=++x x ，解得2-=x 或3
2-=x . )(x f 与)('x f 在区间),(+∞-∞上的情况如下：
∴当0>c 且027<-c 时，存在)2,4(1--∈x ，)3,2(2--∈x ，)0,3
(3-∈x ， 使得0)()()(321===x f x f x f .
由)(x f 的单调性知，当且仅当)27
32,
0(∈c 时，函数c x x x x f +++=44)(23有三个不同零点.
考点：1.函数的切线方程；2.函数的零点.
【方法点晴】本题考查函数求切线方程以及函数的零点个数问题,属中档题.求切线方程的一般方法是:(1)求出切点坐标或者设出切点为()()00,x f x ；(2)求()x f 的导函数()x f ',即()0x f k '=；(3)写出切线方程:()()()000x x x f x f y -'=-.在求函数零点个数问题时,一般先求导,判断出函数的单调性,求出极大值与极小值,再根据极值与0的大小比较,画出大概图象,得到零点个数.。