2021年11月29日金太阳广东省百校联考理科数学教师版

高三数学考试〔理科〕
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．假设集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，那么A B =〔 〕
A ．(1,2]
B ．91,4
⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．31,2
⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．(1,)+∞
1．答案：C
解析：因为3{|1},02A x x B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭≤≤，所以312A
B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩
⎭≤．
2．复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-〔i 为虚数单位〕，那么z 的共轭复数所对应的点在〔 〕 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．答案：D 解析：因为64i
32i 1i
z -=
-=+-，所以2i z =-． 3．72
sin cos ,2sin cos 55
αααα+=--=-，那么cos 2α=〔 〕
A ．725
B ．725-
C ．1625
D ．16
25
-
3．答案：A
解析：因为7sin cos 522sin cos 5αααα⎧
+=-⎪⎪⎨⎪-=-
⎪⎩
，所以3sin 5α=-，从而2
7cos 212sin 25αα=-=．
4．如图1为某省2021年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2021年1~4月快递业务收入统计图，以
下对统计图理解错误的选项是．．．．．．〔 〕 A ．2021年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件 B ．2021年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高
C ．从两图来看，2021年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D ．从1~4月来看，该省在2021年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．答案：D
解析：选项A ，B 显然正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误．
5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，假设,4,24
ABC C a S π
=
==△，那么
232sin 3sin sin a c b
A C B
+-=+- 〔 〕
A
B
． C
． D
．
5．答案：B
解析：11,4,sin 424222
ABC C a S ab C b π
=
===⨯⨯⨯=△
，得b = 2222cos 10c a b ab C =+-=
，即c =
，所以
2322sin 3sin sin sin a c b c
R A C B C
+-===+-
6．平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()
432a b a b -⋅+=，那么向量,a b 的夹角θ为〔 〕 A ．
6
π
B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π 6．答案：D
解析：因为()()
2
2
4343112,2,1a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅===，所以1a b ⋅=-， 由cos 2cos 1a b a b θθ⋅=⋅==-，得
1cos 2θ=-
，所以23
πθ=． 7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos2y x x =-的图象〔 〕
A ．向左平移3π
个单位长度 B
．向右平移
3π
个单位长度 C ．向左平移6
π
个单位长度
D ．向右平移6
π
个单位长度
7．答案：D
解析：因为2cos 22cos 22cos 236y x x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=
-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，要得到函数2cos 2y x =-，只需将2cos2y x x -的图象向右平移
6
π
个单位长度即可． 8．抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线2
2
:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2
P x 在1C 上，且13
4PF =，那么直线12F F 的斜率为〔 〕 A ．12- B ．14
-
C ．1
3
-
D ．15
-
8．答案：B 解析：因为134PF =
，所以13224p +=，解得22
121211.:,:4,(0,),(1,0)24p C x y C y x F F ===，所以直线12F F 的斜率为1
1
4014
=
--．
9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．
6,AC BD == 〕
A ．
29
B ．
13
C ．
49
D ．
23
9．答案：C
解析：连接,AD CD ，可知ACD △是直角三角形，又BD AC ⊥，所以2
BD AB BC =⋅，设
(06)AB x x =<<，那么有8(6)x x =-，得2x =，所以2,4AB BC ==，由此可得图中阴影局部的面
积等于
22
231222
2
2
ππππ⎛⎫
⨯⨯⨯-+
= ⎪⎝
⎭，故概率24
19
92
P ππ==⨯． 10．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为〔 〕 A
B
C
D
．
10．答案：C
解析：如图，
可知最长的棱为长方体的体对角线AC =最短的棱为1BD =，异面直线AC 与BD 所成的角为ACE ∠
，由三视图中的线段长度可得，1,AB BD CE CD AE ===
tan ACE ∠=
11．双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，
(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅获得最小值和最大值时，
12PF F △的面积分别为12,S S ，那么
1
2
S S =〔 〕 A ．4 B ．8
C
．
D
．
11．答案：A 解析：由2c
e a
=
=
，得2,c a b ==，故线段MN
所在直线的方程为)y x a +，又点P 在线段MN
上，可设()P m ，其中[,0]m a ∈-，由于12(,0),(,0)F c F c -，即12(2,0),(2,0)F a F a -，
得12(2,33),(2,)PF a m m a PF a m =----=-，所以22
12
46PF PF m ma a ⋅=+- 223134()44m a a =+-
．由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅获得最小值，此时P y a =，
当0m =时，12PF PF ⋅获得最大值，此时3P y a =，那么
2
1
3434
S a
S a ==． 12．函数()ln (0,1)x x f x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒成立，那么a 的取值范围为〔 〕 A ．21
,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[,)e e +∞
C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．2[,]e e e
12．答案：B
解析：因为()ln x x f x a e x a =+-，所以()ln ln (1)ln x x x x f x a a e a a a e '=+-=-+．
当1a >时，对任意的[0,1]x ∈，10,ln 0x a a ->≥，恒有()0f x '>；当01a <<时，10,ln 0x a a -<≤，恒有()0f x '>，所以()f x 在[0,1]x ∈是单调递增的．那么对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式21()()f x f x -
2a -≤恒成立，只要max min ()()2f x f x a --≤，max ()(1)ln f x f a e a ==+-，
min ()(0)112f x f ==+=，所以2ln 2a a e a -+--≥，即ln ,e a e a e ≥≥．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．在4
2x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，含2
x -的项的系数是 ．
13．答案：32 解析：44214
422r
r r
r r r
r T C x
C x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭
，令422r -=-，得3r =，所以含2x -的项的系数为334232C ⋅= 14．实数,x y 满足12,3321,1
4,
2y x y x y x ⎧-+⎪⎪
--⎨⎪⎪+⎩
≥≤≤ 那么目的函数3z x y =-的最大值为 ．
14．答案：4-
解析：作可行域如下图，由图可知，当3z x y =- 过点(1,1)B -时，z 获得最大值4-．
15．(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=
222x x x b +++〔b 为常数〕，那么(1)(1)f g -+-= ．
15．答案：4-
解析：由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-， 所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]4f g f g f g -+-=-+=--=-．
16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，假设四面体A BCD -的外接球的体积
V =
，那么CD = ．
16．答案：
解析：设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，那么四面体A BCD -的外接球球心O 在线段MN 上，设
四面体A BCD -的外接球半径为r ，由3433
V r π=
=，得r =设2CD x =，在Rt OAN △中，
1ON ==，在Rt ADN △中，DN ，在Rt DMN △中，
MN =1OM MN ON =-=，在Rt ODM △中，
222OM OD DM =-，由221)2x =-，解得x =CD =
三、解答题：共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 〔一〕必考题：共60分． 17．〔12分〕 数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有1
11
n n n S n S S n +++=-+． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假设2
n
n n a b =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 17．解析：〔1〕由11S =，得11a =．……………………………………………………………………1分
又对任意正整数n ， 1
11
n n n S n S S n +++=-+都成立，即11(1)(1)(1)n n n S n n n S n S ++++=+-+， 所以1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+，所以111n n S S
n n
+-=+，………………………………………………3分
即数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以1为公差，1为首项的等差数列．……………………………………………………4分 所以
n
S n n
=，即2n S n =，得121(2)n n n a S S n n -=-=-≥，………………………………………5分 又由11a =，所以21()n a n n N *
=-∈．…………………………………………………………………6分
解法2：由
1
111
n n n n S n S S a n ++++=-=+，可得11(1)(1)n n S n n n a ++++=+， 当2n ≥时，(1)n n S n n na +-=，两式相减，得112(1)n n n a n n a na +++=+-，整理得12n n a a +-=， 在
111n n S n a n +++=+中，令2n =，得2212
S
a +=，即22122a a ++=，解得23a =，212a a ∴-=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n ∴=+-=-．
〔2〕由〔1〕可得21
22
n n n n a n b -=
=，……………………………………………………………………7分 所以2311352321
22222n n n
n n T ---=+++++， ①……………………………………………………8分 那么234111352321
222222
n n n n n T +--=++++
+， ②……………………………………………………9分 -①②，得234111222221
2222222n n n n T +-=+++++-，……………………………………………10分
整理得1113221323
222222
n n n n n n T ++-+=--=-，…………………………………………………………11分
所以23
32n n
n T +=-．……………………………………………………………………………………12分
18．〔12分〕
某中学为理解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进展问卷调查．如今按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类〔不参加课外阅读〕，B 类〔参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时〕，C 类〔参加课外
〔1〕求出表中x ，y 的值；
〔2〕根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否〞与性别有关；
〔3A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X 的数学期望．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++．
18．解析：〔1〕设抽取的20人中，男、女生人数分别为12,n n ，那么12201200122000
2080082000n n ⨯⎧==⎪⎪⎨⨯⎪==⎪⎩
,……1分
所以12534x =--=，………………………………………………………………………………2分
8332y =--=．………………………………………………………………………………………3分
〔2〕列联表如下：
5分
2
K 的观测值220(4628)10
0.159 2.70612814663
k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，
所以没有90%的把握认为“参加阅读与否〞与性别有关．……………………………………………7分
〔3〕X 的可能取值为0，1，2，3，
那么311132333
819
(0)56C C C C P X C +===，……………………………………………………………………8分 31211221
333223233
83
(1)7C C C C C C C C P X C +++===，………………………………………………………9分 2121
23333
83
(2)14C C C C P X C +===，………………………………………………………………………10分 3
3381
(3)56
C P X C ===，……………………………………………………………………………………11分
所以193131510123567145656
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………12分 19．〔12分〕
如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．
〔1〕证明：//PQ 平面ABCD ；
〔2〕假设,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小． 19．〔1〕证明：因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ，又因为AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，所以//BC 平面ADF ，……………………………………………………………………………………2分 又因为BC ⊂平面BCPQ ，平面BCPQ
平面ADF PQ =，所以//BC PQ ，…………………………4分
又因为PQ ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//PQ 平面ABCD ．…………………………6分 〔2〕解：
,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥=，CD ∴⊥平面BCE ，又因为CE ⊂平面BCE ，所以
CD CE ⊥；因为,,BC CD BC FD CD
FD D ⊥⊥=，所以BC ⊥平面CDFE ，所以BC CE ⊥，以C
为坐标原点，,,CD CB CE 所在方向为,,x y z 轴正方向建立如下图空间直角坐标系C xyz -，设
1EF CE ==，那么(2,,0),(2,0,0),(1,0,1)A t D F ，所以(0,,0),(1,,1)AD t AF t =-=--…………7分
设平面ADF 的一个法向量为(,,)n x y z =，那么0
n AD ty n AF x ty z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1x =，得(1,0,1)n = (9)
分
易知平面BCE 的一个法向量为(1,0,0)m =，…………………………………………………………10分 设平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，那么2
cos 2
n m n m
θ⋅==
⋅，……………………………11分 所以4
π
θ=
，故平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角为
4
π． 20．〔12分〕
F 为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．
〔1〕求C 的方程；
〔2〕过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．断定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．
20．解：〔1〕因为点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =………………………………………1分
由2222491
4
a b
a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩
，得2
21612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…………………………………………………………………………4分 故椭圆C 的方程为
22
11612
x y +=．…………………………………………………………………………5分 〔2〕由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的的方程为(2)y k x =-，
令8x =，得M 的坐标为(8,6)k ．……………………………………………………………………6分
由22
11612(2)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
，得2222(43)1616(3)0k x k x k +-+-=．…………………………………………7分 设1122(,),(,)A x y B x y ，那么有22121222
1616(3)
,4343
k k x x x x k k -+==++．①…………………………8分 设直线,,PA PM PB 的斜率分别为123,,k k k ， 从而121231233631
,,22822
y y k k k k k x x ---=
===----．……………………………………………………9分 因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以1122(2),(2)y k x y k x =-=-， 所以12121212121233113222122y y y y k k x x x x x x ⎛⎫
--+=
+=+-+ ⎪------⎝⎭
1212124
232()4
x x k x x x x +-=-⨯
-++． ②……………………………………………………………………10分
把①代入②，得2
2
1222
2216443232116(3)324
4343
k k k k k k k k
k k -++=-⨯=---+++．………………………………11分 又31
2
k k =-，所以1232k k k +=，故直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列．…………………………12分
21．〔12分〕
设函数()(1)1x
x
f x xe a e =+-+． 〔1〕求函数()f x 的单调区间；
〔2〕假设函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >．
21．〔1〕解：函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，…………………………………………………………1分
因为()(1)1x x f x xe a e =+-+，所以()(1)x
f x x a e '=+-．…………………………………………2分
所以当1x a >-时，()0f x '>，()f x 在(1,)a -+∞上是增函数；
当1x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,1)a -∞-上是减函数．……………………………………4分 所以()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数．…………………………………5分 〔2〕证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，
即1(1)11
111x x x x x xe x e x x a x e e e +-+-+===+---有解．………………………………………………6分 令1()1x x g x x e +=+-，那么22
1(2)()1(1)(1)
x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--．…………………………………………7分
设函数()2,()10x x h x e x h x e '=--=->，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增．
又2(1)30,(2)20h e h e =-<=->，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点．………………………8分 故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点．设此零点为k ，那么(1,2)k ∈．………………………………9分 当(0,)x k ∈时，()0g x '<；当(,)x k ∈+∞时，()0g x '>．
所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g k ．………………………………………………………………10分 又由()0g k '=，可得2k
e k =+，所以1
()1(2,3)1
k
k g k k k e +=+
=+∈-，…………………………11分 因为()a g x =在(0,)+∞上有解，所以()2a g k >≥，即2a >．………………………………12分 解法2：〔2〕证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，由〔1〕可知()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数，且(0)1f =．
①当10a -<，即1a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(1)1f x f >=，不符合题意； ②当10a ->，即1a >时，()f x 在(0,1)a -上单调递减，在(1,)a -+∞上单调递增，所以当1x a =-时，
()f x 获得最小值(1)f a -，由题意可知111(1)(1)(1)110≤a a a f a a e a e a e ----=-+-+=-+，
设1
()1(1)x g x x e
x -=-+>，那么1()10x g x e -'=-<，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，
又(2)30g e =->，而()≤0g a ，所以2a >．
〔二〕选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．假如多做，那么按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]〔10分〕 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y α
α=⎧⎨
=+⎩
〔α为参数〕．M 是曲线1C 上的动点，将线
段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
〔1〕求曲线12,C C 的极坐标方程；
〔2〕在〔1〕的条件下，假设射线(0)3πθρ=
≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点〔除极点外〕，且有定
点(4,0)T ，求TAB △的面积． 22．解：〔1〕由题设，得1C 的直角坐标方程为22(5)25x y +-=，即22100x y y +-=，…………2分 故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．………………………………………………3分 设点(,)(0)N ρθρ≠，那么由得,2M πρθ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin()2π
ρθ=+，
即10cos (0)ρθρ=≠．……………………………………………………………………………………5分 〔2〕将3π
θ=代入12,C C
的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，………………………………7分 又因为(4,0)T ，所以1sin 1523
TOA S OA OT π=⋅=△，………………………………………………8分
1sin 23
TOB S OB OT π=⋅=△，……………………………………………………………………9分
所以15TAB TOA TOB S S S =-=-△△△10分
23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕 函数()22(0)f x x m x m m =+-->．
〔1〕当12m =时，求不等式1()2
f x ≥的解集； 〔2〕对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，务实数m 的取值范围．
23．解：因为0m >，所以3,()223,3,x m x m f x x m x m x m m x m x m x m --⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+⎩
≤≥．……………………1分
〔1〕当12m =时，31,22111()3,,22231,22x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+⎪⎩
≤≥ …………………………………………………………2分 所以由1()2f x ≥，可得31,2212x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥≤或113,221122x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩≥ 或31221
2
x x ⎧-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥ ，…………………………3分
解得1
132x <≤或112
x ≤≤，………………………………………………………………………………4分 故原不等式的解集为113x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭
≤．………………………………………………………………………5分
〔2〕因为()34()43f x t t f x t t +-<+⇔+--≤， 令()43g t t t =+--，那么由题设可得max max ()()≤f x g t ．…………………………………………6分
由3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m --⎧⎪=--<<⎨⎪-+⎩
≤≥，得max ()()2f x f m m ==．……………………………………7分 因为43(4)(3)7t t t t +--+--=≤，所以7()7g t -≤≤．……………………………………8分 故max ()7g t =，从而27m <，即72
m <，………………………………………………………………9分 又0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分。