人教B版高中同步学案数学选择性必修第三册精品课件 第五章 数列 等比数列的前n项和 分层作业册

A.32n-1
B.32n
C.3n
D.3n-1
解析 设{an}的公比为q,由题可知q>0,且q≠1.
3 =
1 (1- 3 )
1-
= 13,
1 = 1,
n-1
n-1
由题可得
解得
所以
a
=a
q
=3
.
n
1
6
1 (1- )
= 3,
6 = 1- = 364,
故选 D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
S10=10a1+45d,S15=15a1+105d,
故S10-S5=5a1+35d,S15-S10=5a1+60d,
因为2(S10-S5)=S5+S15-S10,所以S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,A正确;
B选项,{an}成等比数列,设公比为q,
若q=1,则S5=5a1,S10=10a1,S15=15a1,则S10-S5=5a1,S15-S10=5a1,
3.[探究点二]在各项均为正数的等比数列{an}中,若am+1am-1=2am(m≥2),数
列{an}的前n项积为Tn,若T2m-1=512,则m的值为( B )
A.4
B.5
C.6
D.7
2 ,
解析 因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,所以am+1am-1=2am=
2-1
则am=2.又T2m-1=a1a2…a2m-1=
所以
1 (1- 10 )
1 (1- 5 )
S10-S5= 1- − 1-
1 (1- 15 )
1 (1- 10 )
S15-S10= 1- − 1-
10 -5
则
5
10 -5
故
5
=
=
1 ( 5 - 10 )
,
1-
1 ( 10 - 15 )
,
1-
=
1 ( 5 - 10 )
1-
5 15 -10
· (1- 5 )=q , -
1-
1
10 5
=
15 -10
,即
10 -5
=
1 10 - 15
1-
1-
· ( 5 - 10 )=q5,
1
S5,S10-S5,S15-S10 成等比数列.
综上,若{an}为等比数列,则S5,S10-S5,S15-S10一定为等比数列,B正确;
9 15
=a1+2d, 15
10
=
15 1 +105
=a1+7d,
15
5
d,
2
10
,
10
5 10 15
则 , , 成等差数列,C
5 10 15
正确;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D 选项,{an}成等比数列,设公比为 q.若
∴bn=b1qn-1=(-2)n-1,
即an=2n,bn=(-2)n-1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
(2)由(1)知{an}为等差数列,{bn}为公比q=-2的等比数列,∴a1,a3,a5,…,a2n-1为
等差数列,b1,b3,b5,…,b2n-1为公比为q2的等比数列.
Sn 为
{an}的前 n 项和,
所以
1
1
1
Sn=2[(1-2)+(1-22 )+…+(1-2 )]=2
1
-(2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
1
=2[n-(1-2 )]=2n+2 -1 -2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
)

2
=
10-0.01×0.1
=11.11.
1-0.1
故选 C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
5.[探究点一·2023陕西铜川校考一模]设各项均为正数的等比数列{an}的前
n项和为Sn,若S3=13,S6=364,则通项an为( D )
综上,若{an}为等比数列,则 5 , 10 , 20 不一定为等比数列,D
故选 ABC.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
错误.
7.[探究点一]已知等比数列{an}的公比为2,前n项和为Sn,若S5=1,则
33 .
S10=
解析
1 (1-25 )
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求c1+c3+c5+…+c2n-1.
解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
则a2+a3=a1+d+a1+2d=4+3d=10,解得d=2,
∴an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,
∴b2b3=b1qb1q2=q3=-a4=-8,解得q=-2,
解得 q=-1(舍去)或
6
∴
3
=
1 (1- 6 )
1-
1 (1- 3 )
1-
=
1
1
q= ,∴q= ,
2
2
1- 6
1 3
3
=1+q =1+
1- 3
2
=
9
.
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2.[探究点一 ]已知等比数列{an}中,a1+a4=2,a2+a5=4,则数列{an}的前6项和
1 n
(4 -1)
3
.
解析 ∵an=2n-1,∴2 =4n-1,即数列{2 }为以 1 为首项,4 为公比的等比数列,
∴12
+
22 +…+2
=
1·(1-4 )
1-4
=
1 n
(4 -1).
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B级
关键能力提升练
12.设数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,log2an+1=1+log2an,且a3=4,则
1 (1- )
Tn=
1-
=
2 n
(4 -1).
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
11.[探究点三·2023湖南湘潭高三期末]已知等差数列{an}和等比数列{bn}
满足a1=2,b1=1,a2+a3=10,b2b3=-a4.
A级
必备知识基础练
1.[探究点一]已知等比数列{an}各项均为正数,a3,a5,-a4成等差数列,Sn为数
列{an}的前
6
n 项和,则 =(
3
C )
7
B.
8
A.2
9
C.
8
5
D.
4
解析 设等比数列{an}的公比为q,则有q>0,又a3,a5,-a4成等差数列,
∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,
,所以22m-1=512=29,m=5.故选B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
4.[探究点一]古希腊哲学家芝诺提出了一个悖论:让阿基里斯和乌龟赛跑,
他的速度是乌龟速度的10倍,乌龟在他前面100米爬行,他在后面追,但他不
可能追上乌龟.原因是在竞赛中,追者首先必须到达被追者的出发点,当阿
B.10.1米
C.11.11米
D.11米
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
解析 依题意,乌龟爬行的距离组成等比数列{an},其首项a1=10,公比q=0.1,
前n项和为Sn,
所以当 an=0.01
1 -
时,Sn=
1-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C选项,{an}为等差数列,设公差为d,
5
则5
=
5 1 +10
10
=a1+2d, 10
5
10
因为 10
−
10
故
10
5
5
−
5
5
5 15
d,
2 15
=
=
15
15
−
−
=
10
10
=
10 1 +45
S6的值为(
B)
A.12
B.14
C.16
解析 设数列{an}的公比为 q,则
D.18
2 + 5
q= + =2,
1
4
∴a1+a4=a1+a1q3=9a1=2,
2
×(1-26 )
9
2
∴a1=9,∴S6=
1-2
=14.
故选 B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
6.[探究点一、二](多选题)[2023湖北武汉洪山高级中学高二阶段练习]已
知Sn为数列{an}的前n项和,下列说法一定正确的是( ABC )
A.若{an}为等差数列,则S5,S10-S5,S15-S10为等差数列
B.若{an}为等比数列,则S5,S10-S5,S15-S10为等比数列
5 10 15
=2 -
1
2
1
1-
2
1
2
1-
10.[探究点一]已知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn为数列{an}
的前n项和.
(1)求an及Sn;
(2)设数列{bn}是首项为2的等比数列,其公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求数列
{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
解(1)设{an}的公差为d,由题可知an=a1+(n-1)d=2n-1,
,
10(1-) 20
=
=
1 (1- 20 )
,
20(1-)
12 (1- 20 )(1- 5 )
2
100(1-)
,
10 2
因为(1-q )(1-q )=1-q -q +q ≠(1- ) ,
20
5
5
20
25
5 10 20
所以 5 , 10 , 20 不为等比数列.
5 10 20
基里斯追了100米时,乌龟已在他前面爬行了10米,而当他追到乌龟爬行的
10米处时,乌龟又向前爬行了1米,就这样,乌龟总能领先一段距离,不管这个
距离有多小,只要乌龟不停地向前爬行,阿基里斯就永远追不上乌龟.试问
在阿基里斯与乌龟的竞赛中,当阿基里斯与乌龟相距0.01米时,乌龟共爬行
了( C )
A.11.1米
C.若{an}为等差数列,则 5 , 10 , 15 为等差数列
5 10 20
D.若{an}为等比数列,则 , , 为等比数列
5 10 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
解析 A选项,{an}为等差数列,设公差为d,所以S5=5a1+10d,
5
10
20
q=1,则 =a1, =a1, =a1,
5
10
20
5 10 20
则 , , 为等比数列.
5 10 20
若
则
5
q≠1,则 5
10 2
10
=
1 (1- 5 ) 10
,
5(1-) 10
2
=
12 (1- 10 )
5
2 ,
5
100(1-)
=
20
·20
1 (1- 10 ) 20
∵cn=an+bn,∴c1+c3+c5+…+c2n-1=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(b1+b3+b5+…+b2n-1)
( 1 + 2 -1 )
=
2
+
1 (1- 2 )
1- 2
Hale Waihona Puke =(2+4-2)
1-(-2)2
2 4
+
2 =2n +
2
3
1-(-2)
1
− .
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
9.[探究点三·2023
1
4
1
1
+ )+…+(1+
8
2
1
1
江苏南京高二期末]求和:Sn=1+(1+2)+(1+2
1
1
+ +…+ -1 )=
4
2
解析 设数列{an}的通项公式为
2n+
1
2 -1
1
an=1+2
1
1
+ 4)+(1+2
+
-2 .
+
1
1
+…+
4
2 -1
=
1
2
1
12
1-( )
1
=2(1-2 ),则
故(S10-S5)2=S5(S15-S10),故S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.
若 q≠1,则
1 (1- 5 )
1 (1- 10 )
1 (1- 15 )
S5=
,S10=
,S15=
,
1-
1-
1-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
( 1 + )
Sn=
2
=
(1+2-1)
=n2.
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
(2)由(1)得a4=7,S4=16.
因为q2-(a4+1)q+S4=0,
即q2-8q+16=0,
所以(q-4)2=0,从而q=4,
所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1,
1
∵S5= 1-2 =31a1=1,∴a1=31 ,
1 (1-210 )