湖南省怀化中学方县2024届中考数学模拟预测题含解析

湖南省怀化中学方县2024届中考数学模拟预测题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是（ ）
A ．1<x<5-
B ．x>5
C ．x<1-且x>5
D ．x ＜－1或x ＞5
2．某市2017年国内生产总值（GDP ）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP 年平均增长率为x %，则x %满足的关系是（ ）
A ．12%7%%x +=
B ．(112%)(17%)2(1%)x ++=+
C ．12%7%2%x +=
D ．2(112%)(17%)(1%)x ++=+
3．如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且，则的值为
A ．
B ．
C ．
D ．
6．若A(﹣4，y 1)，B(﹣3，y 2)，C(1，y 3)为二次函数y ＝x 2﹣4x+m 的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 3＜y 2＜y 1 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 2
7．如图⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．8
8．如图所示的几何体是一个圆锥，下面有关它的三视图的结论中，正确的是（ ）
A ．主视图是中心对称图形
B ．左视图是中心对称图形
C ．主视图既是中心对称图形又是轴对称图形
D ．俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形
9．下列计算或化简正确的是（ ）
A ．234265+=
B ．842=
C ．2(3)3-=-
D ．2733÷=
10．多项式4a ﹣a 3分解因式的结果是（ ）
A ．a （4﹣a 2）
B ．a （2﹣a ）（2+a ）
C ．a （a ﹣2）（a+2）
D ．a （2﹣a ）2
11．关于x 的一元一次不等式
≤﹣2的解集为x≥4，则m 的值为（ ） A ．14 B ．7 C ．﹣2 D ．2
12．股市有风险，投资需谨慎．截至今年五月底，我国股市开户总数约95000000，正向1亿挺进，95000000用科学计
数法表示为（ ）
A ．9.5×106
B ．9.5×107
C ．9.5×108
D ．9.5×109
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，已知反比例函数y=(k 为常数，k≠0)的图象经过点A ，过A 点作AB ⊥x 轴，垂足为B ，若△AOB 的面积为1，则k=________________．
14．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是_____．
15．方程15x 12x 1
=-+的解为 ． 16．小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是_____．
17．如图，O 的半径为3，点A ，B ，C ，D 都在O 上，30AOB ∠=︒，将扇形AOB 绕点O 顺时针旋转120︒后恰好与扇形COD 重合，则AD 的长为_____．（结果保留π）
18．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点 E ，交 DC 的延长线于点 F ，BG ⊥AE ，垂足为 G ，BG ＝2△CEF 的周长为____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，MN 是一条东西方向的海岸线，在海岸线上的A 处测得一海岛在南偏西32°的方向上，向东走过780米后到达B 处，测得海岛在南偏西37°的方向，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：tan37°=cot53°≈0.755，cot37°=tan53°≈1.327，tan32°=cot58°≈0.625，cot32°=tan58°≈1.1．）
20．（6分）（1）解方程：x 2﹣5x ﹣6=0；
（2）解不等式组：43(2)123x x x x +≤+⎧⎪-⎨<⎪⎩． 21．（6分）已知线段a 及如图形状的图案.
（1）用直尺和圆规作出图中的图案，要求所作图案中圆的半径为a （保留作图痕迹）
（2）当a=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.
22．（8分）计算：32）0+1
1()3-+4cos30°﹣|12|．
23．（8分）某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
请根据以上信息解答下列问题：课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为______；请补全条形统计图；该校共有1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数；小
明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1200×27
300
=108”，请你判断这种说法是否
正确，并说明理由．
24．（10分）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC 与△DEC全等．
25．（10分）如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C 运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．
①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式,并写出t 的取值范围;
②当S 取时，在抛物线上是否存在点R,使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R 点的坐标;如果不存在,请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M,使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标．
26．（12分）某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐，餐品为四样A ：菜包、B ：面包、C ：鸡蛋、D ：油条．超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个．按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是 事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）；请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率．
27．（12分）如图，在ABC ∆中，AB ＝AC ，2A α∠=，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .
（1）∠EDB ＝_____︒（用含α的式子表示）
（2）作射线DM 与边AB 交于点M ，射线DM 绕点D 顺时针旋转1802α︒-，与AC 边交于点N .
①根据条件补全图形；
②写出DM 与DN 的数量关系并证明；
③用等式表示线段BM 、CN 与BC 之间的数量关系，（用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路.
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、D
【解题分析】
利用二次函数的对称性，可得出图象与x 轴的另一个交点坐标，结合图象可得出2ax +bx+c<0的解集：
由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（1，0），
∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（－1，0）．
由图象可知：2ax +bx+c<0的解集即是y ＜0的解集，
∴x ＜－1或x ＞1．故选D ．
2、D
【解题分析】
分析：根据增长率为12%，7%，可表示出2017年的国内生产总值，2018年的国内生产总值；求2年的增长率，可用2016年的国内生产总值表示出2018年的国内生产总值，让2018年的国内生产总值相等即可求得所列方程． 详解：设2016年的国内生产总值为1，
∵2017年国内生产总值（GDP ）比2016年增长了12%，∴2017年的国内生产总值为1+12%；
∵2018年比2017年增长7%， ∴2018年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%），
∵这两年GDP 年平均增长率为x%， ∴2018年的国内生产总值也可表示为：()21%x +，
∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=()21%x +．故选D ．
点睛：考查了由实际问题列一元二次方程的知识，当必须的量没有时，应设其为1；注意2018年的国内生产总值是在2017年的国内生产总值的基础上增加的，需先算出2016年的国内生产总值．
3、D
【解题分析】
试题分析：根据三视图的法则可知B 为俯视图，D 为主视图，主视图为一个正方形.
4、D
【解题分析】
试题分析：根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
解：A 、不是中心对称图形，故本选项错误；
B 、不是中心对称图形，故本选项错误；
C 、不是中心对称图形，故本选项错误；
D 、是中心对称图形，故本选项正确；
故选D ．
考点：中心对称图形．
5、C
【解题分析】 ∵，∠A=∠A ，
∴△ABC ∽△AED 。

∴。

∴。

故选C。

6、B
【解题分析】
根据函数解析式的特点，其对称轴为x=2，A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）在对称轴左侧，图象开口向上，利用y随x的增大而减小，可判断y3＜y2＜y1.
【题目详解】
抛物线y=x2﹣4x+m的对称轴为x=2，
当x<2时，y随着x的增大而减小，
因为-4<-3<1<2，
所以y3＜y2＜y1，
故选B.
【题目点拨】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键.
7、C
【解题分析】
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=1
2 CD，
∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∴OE=CE，
设OE=CE=x，∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：2，即：2，∴2，故选C．
8、D
【解题分析】
先得到圆锥的三视图，再根据中心对称图形和轴对称图形的定义求解即可．
【题目详解】
解：A 、主视图不是中心对称图形，故A 错误；
B 、左视图不是中心对称图形，故B 错误；
C 、主视图不是中心对称图形，是轴对称图形，故C 错误；
D 、俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形，故D 正确．
故选：D ．
【题目点拨】
本题考查简单几何体的三视图，中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握各自的定义是解题关键．
9、D
【解题分析】
解：A ．不是同类二次根式，不能合并，故A 错误；
B =，故B 错误；
C 3=，故C 错误；
D 3=
==，正确． 故选D ．
10、B
【解题分析】
首先提取公因式a ，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【题目详解】
4a ﹣a 3=a （4﹣a 2）=a （2﹣a ）（2+a ）．
故选：B ．
【题目点拨】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
11、D
【解题分析】
解不等式得到x≥
12
m+3，再列出关于m 的不等式求解. 【题目详解】 23
m x -≤﹣1，
m ﹣1x≤﹣6，
﹣1x≤﹣m ﹣6， x≥12m+3， ∵关于x 的一元一次不等式
23m x -≤﹣1的解集为x≥4， ∴12
m+3=4，解得m=1． 故选D ．
考点：不等式的解集
12、B
【解题分析】
试题分析： 15000000=1．5×2．故选B ． 考点：科学记数法—表示较大的数
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、-1
【解题分析】
试题解析：设点A 的坐标为(m ，n)，因为点A 在y=
的图象上，所以，有mn ＝k ，△ABO 的面积为＝1，∴=1，∴=1，∴k=±1，由函数图象位于第二、四象限知k<0，∴k=-1．
考点：反比例外函数k 的几何意义.
14、27π
【解题分析】
试题分析：设扇形的半径为r ．则1206180r ππ=，解得r=9，∴扇形的面积=2
1209360
π⨯=27π．故答案为27π． 考点：扇形面积的计算．
15、x 2=．
【解题分析】
试题分析：首先去掉分母，观察可得最简公分母是()()x 12x 2-+，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解：
152x 15x 53x 6x 2x 12x 1
=⇒+=-⇒-=-⇒=-+，经检验，x 2=是原方程的根． 16、小李．
【解题分析】
解：根据图中的信息找出波动性大的即可：根据图中的信息可知，小李的成绩波动性大，则这两人中的新手是小李． 故答案为：小李．
17、52
π． 【解题分析】
根据题意先利用旋转的性质得到∠BOD=120°，则∠AOD=150°，然后根据弧长公式计算即可.
【题目详解】
解：∵扇形AOB 绕点O 顺时针旋转120°后恰好与扇形COD 重合，
∴∠BOD=120°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+120°=150°，
∴AD 的长=150351802
ππ⋅⋅=． 故答案为:52π．
【题目点拨】
本题考查了弧长的计算及旋转的性质，掌握弧长公式l=
180
n R π⋅⋅（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）是解题的关键.
18、8
【解题分析】
试题解析：∵在▱ABCD 中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，
∴∠BAF=∠DAF ，
∵AB ∥DF ，
∴∠BAF=∠F ，
∴∠F=∠DAF ，
∴△ADF 是等腰三角形，AD=DF=9；
∵AD ∥BC ，
∴△EFC 是等腰三角形，且FC=CE ．
∴EC=FC=9-6=3，
∴AB=BE ．
∴在△ABG 中，BG ⊥AE ，AB=6，
可得：AG=2，
又∵BG⊥AE，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵▱ABCD，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、10
【解题分析】
试题分析：如图：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得AD=0.625CD，同样在Rt△BCD 中，可得BD= 0.755CD，再根据AB=BD-CD=780，代入进行求解即可得.
试题解析：如图：过点C作CD⊥AB于点D，
由已知可得：∠ACD=32°，∠BCD =37°，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∴AD=CD·tan∠ACD=CD·tan32°=0.625CD，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∴BD=CD·tan∠BCD=CD·tan37°=0.755CD，
∵AB=BD-CD=780，∴0.755CD-0.625CD=780，∴CD=10，
答：小岛到海岸线的距离是10米.
【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形、根据图形灵活选用三角函数进行求解是关键.
20、（1）x1=6，x2=﹣1；（2）﹣1≤x＜1．
【解题分析】
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【题目详解】
（1）x2﹣5x﹣6=0，
（x﹣6）（x+1）=0，x﹣6=0，x+1=0，
x1=6，x2=﹣1；
（2）
()
432
x1x
23
x x
⎧+≤+
⎪
⎨-
<
⎪⎩
①
②
∵解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜1．
【题目点拨】
本题考查了解一元一次不等式组和解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键．
21、（1）如图所示见解析，（2）当半径为6时，该正六边形的面积为183
【解题分析】
试题分析：
（1）先画一半径为a的圆，再作所画圆的六等分点，如图所示，连接所得六等分点，作出两个等边三角形即可；（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，由已知条件先求出AB和OE的长，再求出CD的长，即可求得△OCD的面积，这样即可由S阴影=6S△OCD求出阴影部分的面积了.
试题解析：
（1）所作图形如下图所示：
（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，则由题意可得：OA=OB=6，∠AOB=120°，∠OEB=90°，AE=BE，△BOC，△AOD都是等腰三角形，△OCD的三边三角形，
∴∠ABO=30°，BC=OC=CD=AD，
∴BE=OB·cos30°=33OE=3，
∴AB=63，∴CD=23，
∴S△OCD=1
233=33
2
⨯⨯，
∴S阴影=6S△OC D=183.
22、1
【解题分析】
分析：按照实数的运算顺序进行运算即可.
详解：原式
3 13423, =++-
132323,
=++
=1．
点睛：本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.
23、（1）144°；（2）补图见解析；（3）160人；（4）这个说法不正确，理由见解析.
【解题分析】
试题分析：（1）360°×（1﹣15%﹣45%）=360°×40%=144°；故答案为144°；
（2）“经常参加”的人数为：300×40%=120人，喜欢篮球的学生人数为：120﹣27﹣33﹣20=120﹣80=40人；补全统计图如图所示；
（3）全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为：1200×40300
=160人； （4）这个说法不正确．理由如下：小明得到的108人是经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数，而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的，因此应多于108人．
考点：①条形统计图；②扇形统计图．
24、证明过程见解析
【解题分析】
由∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，可求得∠DCE=∠ACB ，且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°，可求得∠DEC=∠ABC ，再结合条件可证明△ABC ≌△DEC ．
【题目详解】
∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠5+∠4=∠4+∠3，
∴∠5=∠3，且∠B+∠CEA=180°，
又∠7+∠CEA=180°，
∴∠B=∠7，
在△ABC 和△DEC 中537BC CE B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
,
∴△ABC ≌△DEC （ASA ）．
25、（1）抛物线的解析式为：;
（2）①S 与运动时间t 之间的函数关系式是S=5t 2﹣8t+4,t 的取值范围是0≤t≤1;
②存在.R 点的坐标是（3,﹣）;
（3）M 的坐标为（1,﹣）．
【解题分析】
试题分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax 2+bx+c,求出A 、B 、D 的坐标代入即可;
（2）①由勾股定理即可求出;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标;
（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．
试题解析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,
∵正方形的边长2,
∴B的坐标（2,﹣2）A点的坐标是（0,﹣2）,
把A（0,﹣2）,B（2,﹣2）,D（4,﹣）代入得：,
解得a=,b=﹣,c=﹣2,
∴抛物线的解析式为：,
答：抛物线的解析式为：;
（2）①由图象知：PB=2﹣2t,BQ=t,
∴S=PQ2=PB2+BQ2,
=（2﹣2t）2+t2,
即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;
②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）,
∴当S=时,5t2﹣8t+4=,得20t2﹣32t+11=0,
解得t=,t=（不合题意,舍去）,
此时点P的坐标为（1,﹣2）,Q点的坐标为（2,﹣）,
若R点存在,分情况讨论：
（i）假设R在BQ的右边,如图所示,这时QR=PB,RQ∥PB,
则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣,
即R（3,﹣）,
代入,左右两边相等,
∴这时存在R（3,﹣）满足题意;
（ii）假设R在QB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB,
则R（1,﹣）代入,,
左右不相等,∴R不在抛物线上．（1分）
综上所述,存点一点R（3,﹣）满足题意．
答：存在,R点的坐标是（3,﹣）;
（3）如图,M′B=M′A,
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M, 理由是：∵MA=MB,若M不为L与DB的交点,则三点B、M、D构成三角形,
∴|MB|﹣|MD|＜|DB|,
即M到D、A的距离之差为|DB|时,差值最大,
设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得：,
解得：k=,b=﹣,
∴y=x﹣,
抛物线的对称轴是x=1,
把x=1代入得：y=﹣
∴M 的坐标为（1,﹣）;
答：M 的坐标为（1,﹣）．
考点：二次函数综合题．
26、（1）不可能；（2）16. 【解题分析】
（1）利用确定事件和随机事件的定义进行判断；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数，然后根据概率公式计算．
【题目详解】
（1）某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是不可能事件；
故答案为不可能；
（2）画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数为2，
所以某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率=
21126=． 【题目点拨】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式m n
计算事件A 或事件B 的概率． 27、（1）α；（2）（2）①见解析；②DM ＝DN ，理由见解析；③数量关系：sin BM CN BC α+=⋅
【解题分析】
（1）先利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B =∠C =90°﹣α，然后利用互余可得到∠EDB =α；
（2）①如图，利用∠EDF =180°﹣2α画图；
②先利用等腰三角形的性质得到DA 平分∠BAC ，再根据角平分线性质得到DE =DF ，根据四边形内角和得到∠EDF =180°﹣2α，所以∠MDE =∠NDF ，然后证明△MDE ≌△NDF 得到DM =DN ；
③先由△MDE ≌△NDF 可得EM =FN ，再证明△BDE ≌△CDF 得BE =CF ，利用等量代换得到BM +CN =2BE ，然后根据正弦定义得到BE =BD sinα，从而有BM +CN =BC •sinα．
【题目详解】
（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C
1
2
=（180°﹣∠A）=90°﹣α．
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠EDB=90°﹣∠B=90°﹣（90°﹣α）=α．故答案为：α；
（2）①如图：
②DM=DN．理由如下：∵AB=AC，BD=DC，∴DA平分∠BAC．
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∠MED=∠NFD=90°．∵∠A=2α，∴∠EDF=180°﹣2α．
∵∠MDN=180°﹣2α，∴∠MDE=∠NDF．
在△MDE和△NDF中，∵
MED NFD
DE DF
MDE NDF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，∴△MDE≌△NDF，∴DM=DN；
③数量关系：BM+CN=BC•sinα．
证明思路为：先由△MDE≌△NDF可得EM=FN，再证明△BDE≌△CDF得BE=CF，所以BM+CN=BE+EM+CF﹣FN=2BE，接着在Rt△BDE可得BE=BD sinα，从而有BM+CN=BC•sinα．
【题目点拨】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．。