数学与应用数学专业毕业论文--浅谈微积分中的反例

浅谈微积分中的反例
摘 要 以具体实例从不同层面深入分析说明反例在微积分中蕴含着重要的意义与作用, 强化概念、揭示概念的内涵,准确把握概念之间的关系,透切理解定理的条件,培养人的数学思维能力,驳斥谬论、判断真伪、检验并修正错误,从而对基本概念、基本理论能够深刻的理解。

关键词 反例、微积分、函数.
1 引言
在社会实践和学习过程中,人们往往对某一问题苦思冥想而不得其解时,而从反面去想一想,常能茅塞顿开,获得意外的收获。

同样的,在数学的学习过程中可以知道微积分中存在大量的反例,它不仅是区区的一个例子那么简单,其意义远远超过了它的具体内容,它不仅是解决问题的有力手段,而且推动了数学的发展,开辟了数学领域的新天地。

用命题的形式给出的一个数学问题,从一些迹象判断该命题不成立,然后寻求一个满足命题的条件,但使结论不成立的例证,从而否定这个命题,这即为通常所说的反例。

通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。

反例思想是微积分中的重要思想,用逆向思维方法从问题反面出发,可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。

对于数学,面对微积分的各种问题,特别是在函数领域中,反例在概念、性质以及定理的理解,问题的研究和论证中都有不可替代的特殊作用。

2 微积分中反例的作用与意义
2.1 微积分中的反例不仅是强化概念的有力工具,而且能更深地揭示概念的内涵
在微积分的学习过程中,对概念的正确理解掌握是为了能更进一步学习的基本,它是知识构架的重要基石。

许多概念虽然仅有短短几个词句,但意义深刻,内涵丰富。

运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或是规则的本质,往往就会收到一种不一样的效果。

2.1.1连续问题
定义 2.1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A 为定数.若对任给的0ε>,存在正数M ()a ≥,
使得当x M >时有()f x A ε-<,则称函数f 当x 趋向+∞时以A 为极限,记作 lim ()x f x A →+∞
=或
()()f x A x →→+∞.
定义2.2 设函数f 在某0()U x 内有定义,若0
0lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续.
情形1 定理：若函数()f x 在a 连续, 则函数()f x 在a 也连续. 但其逆命题不成立. 反例：函数
1,0
()1,0
x f x x ≥⎧=⎨
-<⎩, 虽然()1f x =在0x =处连续, 但()f x 在0x =处不连续.
情形 2 对于(),()y f x x D =∈, 若()f x 在x D ∈处可导, 则()f x 在x 处连续. 但对于二元函数
(,)z f x y =, 当00(,)x f x y '和00(,)y f x y '都存在时, 不一定能判定),(y x f 在（00,y x ）连续.
反例： 函数
⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++==,0,
0,0,),(22222
2y x y x y
x xy
y x f z 虽然0)0,0()0,0(='='y x f f ,但在直线y kx =附近00
0022222lim (,)lim 01x x y kx kx k
f x y x k x
k →→→→==≠++, 故),(y x f 在)0,0(不连续.
上述归结,偏导数存在只能表明函数在坐标轴方向上变化的快慢,与函数在其他方向上取值无
关,故可能不连续.
2.2可导、可微问题
定义 2.3 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义,若极限0
00
()()
lim
x x f x f x x x →--存在, 则称函
数f 在点0x 处可导,并称该极限为函数f 在点0x 处的导数,记作0()f x '.
定义 2.4 设函数()y f x =定义在点0x 的某邻域0()U x 内. 当给0x 一个增量
x ∆,00()x x U x +∆∈时, 相应的得到函数的增量为()y A x x ο∆=∆+∆,则称函数f 在点0x 可微, 并
称上式中的第一项A x ∆为f 在点0x 的微分,记作0|x x dy A x ==∆或0()|x x df x A x ==∆. 情形1 当0()0f x ≠时, 由()f x 在0x 可导不一定能推出()f x 在0x 可导. 例 2.2.1 函数 ,[0,1]
(),(1,2]
x x f x x x ∈⎧=⎨
-∈⎩ , 而()f x x =, [0,2]x ∈, 显然()f x 在0x =1处可导,但
()f x 在0x =1处不可导.
情形2 试判断函数()f x 与()g x 在下列的某一条件下能否推出[()]f g x 在0x 可导： (1)当()f x 在0()x g x =可导,()g x 在0x 不可导时； (2)当()f x 在0()x g x =不可导,()g x 在0x 可导时； (3)当()f x 在0()x g x =和()g x 均不可导时. 解：(1)不一定.
反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==可导,()g x 在0x =不可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (2)不一定.
反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==不可导,()g x 在0x =可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (3)不一定.
反例：(),(),[()],f x x g x x x f g x x x ==+=+
显然()f x 在(0)0x g ==,()g x 在0x =,[()]f g x 在0x =都不可导.
上述归结,复合函数可导性定理可猜想为：当()f x 在0()x g x =,()g x 在0x 都可导时, 可推出
[()]f g x 在0x 可导,并且不难给出证明.
情形3
[2]
一元函数的可微与可导是等价的；但是, 若二元函数),(y x f 在其定义域D 的内点
00(,)x y 可微, 则函数),(y x f 在该点的两个偏导数存在,但二元函数存在两个偏导数,却不一定可
微.
反例：函数(,)f x y =
在原点()0,0存在两个偏函数,即
0(,0)(0,0)0
(0,0)lim
lim 0x x x f x f f x x
∆→∆→∆-===∆∆, 0
0(0,)(0,0)0(0,0)lim
lim 0y y y f y f f y
y ∆→∆→∆-===∆∆, 事实上
,
0.=
→
(0)ρ=,故函数),(y x f 在原点
()0,0不可微.
2.3可积问题
定义2.5 设函数f 于F 在区间I 上都有定义. 若()()F x f x '=,x I ∈,则称F 为f 在 区间I 上的一个原函数.
定义2.6 设f 是定义在[,]a b 上的一个函数,J 是一个确定的实数. 若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对[,]a b 的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集{}i ε,只要T δ<,就有
1
()n
i
i
i f x J
εε=∆-<∑,则称函数f 在区间[,]a b 上可积.
情形1 若函数()f x 在区间[,]a b 上有原函数, 则函数()f x 在区间[,]a b 可积, 此命题不真,而其逆命题也不真.
反例：①函数
221210
2cos sin ,()00,x x f x x x x x ⎧
≠+⎪=⎨=⎪⎩
, 显然2
2
10cos ,()00,x x F x x
x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩
是()f x 在[-1,1]上的一个原函数,
取0()n x n =
→→∞,
则()()n f x n =∞→∞, 故()f x 在[-1,1]上无界, 所以
()f x 在[-1,1]上不可积.
②函数 1,10
()0,01,01x f x x x --≤<⎧⎪
==⎨⎪<≤⎩
, 因为()f x 在[-1,1]上有界, 且只有第一类间断点0x =,
所以()f x 在[-1,1]上可积, 但()f x 在[-1,1]上不存在原函数.
情形 2 若函数()f x 在区间[,]a b 可积,则函数()f x 在区间[,]a b 也可积,且
()()b
b
a
a
f x dx f x dx ≤⎰
⎰,但其逆命题不成立,即当函数()f x 在区间[,]a b 可积时,函数()f x 在区
间[,]a b 不一定可积. 反例：函数
1,()1,x f x x ⎧=⎨-⎩
为有理数为无理数,
函数在[0,1]不可积,而()f x ≡1,这是常量函数,显然在[0,1]可积.
通过反例分别从不同的侧面或角度,对微积分中的连续、可导、可微以及可积等概念问题进行
了不同层次的强化,从而更深入地揭示了概念的内涵。

可见,“举反例”不仅能帮助我们搞清楚各个概念、定理间的区别和联系,而且从众多的典型例子中,还可以总结出一般性结论。

2.2运用反例可以以一种特殊的方式准确把握概念之间的关系
微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系,可以通过运用适当的反例进行准确理解把握.同时也能培养与提高人的辩证思维能力。

2.2.1可导与连续问题
情形1 若函数()y f x =在0x 可导, 则函数()y f x =在0x 连续,但逆命题不成立, 即函数在一点连续,函数在该点不一定可导.
反例：函数()1f x x =+,在0x =连续,但在0x =不可导,事实上,0
lim ()lim 11(0)x x f x x f →→=+==,
所以()f x 在0x =连续; 但极限00()(0)
lim
lim 110
x x x f x f x x →→-==--或不相等, 所以()f x 在0x =不可导.
情形2 函数()f x 在0x x =处可导, 则函数()f x 在0x x =的邻域为不一定连续. 反例：函数
2,()0,x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数
为无理数
,
在0x =处可导,但在0点的任何邻域, 除0点外都不连续.
情形3 ()f x 在0x x =处可导, 则()f x 在0x x =处是否有连续导数？ 反例：函数
2
10()0,0x x x
f x x ⎧≠⎪⎪=⎨
⎪=⎪⎩
，，cos +1，在0x =处可导, 但导数不连续； 事实上,20001cos
()(0)1(0)lim lim lim cos 00x x x x f x f x f x x x x
→→→-'====-, 即()f x 在0x =处可导,但当0x ≠时, 2211111
()2cos sin ()2cos sin f x x x x x x x x x '=-⋅-=+
极限2
200011111lim ()lim[2cos sin ()]lim(2cos sin )x x x f x x x x x x x x x
→→→'=-⋅-=+不存在, 即()f x 的导数
不连续.
综上归结,对一元函数()f x 在点0x 可有：→→
←←⇔可微可导连续有极限.通过恰当的反例
可以快捷而准确地把握好它们间的所存在的关系。

2.2.2无穷大量与无界量问题
情形1 无穷大量必为无界量, 但无界量不一定是无穷大量.
反例：函数()3cos 21f x x x =⋅+ 在()U +∞上无界, 因为对任给的G>0,取x n π=,当12G
n π
>-时,有 ()6cos 2161f x n n n G πππ=⋅+=+>, 但lim ()x f x →+∞
≠∞,若取数列4
n x n π
π=+
（n=1,2,…）,
则 ()n x n →+∞→∞,而lim ()lim 3()cos(2)1142
n n n f x n n π
π
ππ→∞
→∞
=+
⋅++=, 即 ()f x 并不趋于∞,()f x 不是无穷大量.
2.2.3函数的极大(小)值与最大(小)值问题
情形1 函数()f x 的极大(小)值不一定就是最大(小)值.
反例：①函数2
sin ,[0,]
(),[,0)
x x f x x x ππ∈⎧=⎨∈-⎩, 在02
x π
=
的邻域03(,
)(,)444U x π
ππ=上,对一切3(,)44
x ππ
∈都有 01()()sin f x f x x =≥=,
于是0()1f x =是()f x 在[,]I ππ=-的极大值,
但2()[0,]f I π=,极大值0()f x =1并不是()f x 在[,]I ππ=-上的最大值. ②函数3
24()4313
f x x x x =
-++, [1,3]x ∈-, 由于 22
()4834(1)1f x x x x '=-+=--,
易见,1x =
或3
x =为()f x 的稳定点,列表如下：
由上表可知：点
2为()f x 的极大值点,极大值为3；点3
x =为()f x 的极小值点,极小值为1.但函数()f x 在点3x =取得最大值为6,在点1x =-取得最小值为14
3
-.
上述归结,若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上一定有最大、最小值.若函数
()f x 的最大(小)值点0x 在区间内,则0x 必定是()f x 的极大(小)值点。

但如果()f x 的最大(小)值可
在两端取得,则()f x 的极大(小)值不一定就是最大(小)值,要通过比较才能确定。

2.3微积分中的反例有助于提高人的数学逻辑思维能力,突出数学所表达的逆向思维以及体现了数学的严谨性
透彻理解命题、定理条件的充分性及必要性,为了分清条件的充分性与必要性使用恰当的反例是非常有好处的。

情形1
[1]
洛必达法则的条件3）仅是充分条件,即当()lim
()
x a
f x F x →''不存在时,()
lim ()x a f x F x →仍可能存在.
反例：对于2cos 1lim
x x x x →∞++, 极限(2cos 1)2sin lim lim ()1
x x x x x
x →∞→∞'++-='不存在,而极限
2cos 1cos 1lim
lim(2)2x x x x x x x x
→∞→∞++=++=却存在.
情形2 如果A ：函数()f x 在0x 处连续, 则B ：()f x 在0x 处也连续,所以A 是B 的充分条件,但A 不是B 的必要条件.
反例：设()f x =1010x x ≥⎧
⎨-<⎩
（）（）, 则有()f x 在00x =处连续,而00x =为()f x 的间断的, 即()f x 在
00x =处不连续.
2.4反例是驳斥谬论、判断真伪、检验并修正错误的重要手段,有助于正确掌握解题方
法
面对一个问题的解答,运用反例可以检验答案是否正确,如果发现不对,将引导我们去追寻问题错误的所在。

例2.4.1
利用微积分基本定理计算
0π
⎰
.
错解：
35
2
20
2sin cos sin 05
x xdx x
π
π
π===⎰
⎰
.
正解：
3sin x -==32
32sin cos ,,[0,]2sin cos ,[,]2
x x x x
x πππ⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩,
3
3
2
22
sin cos sin cos x xdx x xdx ππ
π
π
∴
=-⎰
⎰⎰
=55
222
02
22sin |sin |55x x πππ-
=224555
+= 2.5特殊反例往往能产生极其关键的作用，有着深远意义
例2.5.1
[3]
在19世纪以前,数学界长期认为：“连续函数除个别点外, 总是可导的.”
魏尔斯特拉斯于1860年给出了一个著名的反例： 0
()cos()n
n n f x b
a x π∞
==
⋅∑
x 为实数,a 为奇整数,01b <<,3
12
ab π>+在(,)-∞+∞内处处连续但又处处不可导.
这个反例对当时的数学界造成了巨大的冲击,也表现出了反例所产生的关键作用，有着深远意义。

此后,人们又创造出很多种类型的例子,这些“病态函数”的提出,使数学家们更清醒地认识到分析基础严格化的必要性和重要性,推动了微积分理论的发展。

3 结语
反例以一个特殊者存在着,并以一种特别的方式展示了它所能给予的力量。

对数学而言,反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用,而且,作为后人,在学习、领会和深入钻研数学的时候,
也离不开反例。

因为条件的强弱,使用范围的宽窄,都可能需要用反例作对比,才能加深理解,如果命题有错误,证明有漏洞,也只有靠反例去证实,并从反例中得到修补的启示,再而进行反驳改正。

举反例是一种重要的反证手段,重要的反例往往会成为数学殿堂的基石.反例方法是一种重要的数学思想方法,B·R·盖尔鲍姆和M·H·奥姆斯得给予了高度评价：“一个数学问题用一个反例予以解决,给人的刺激诚如一出好的戏剧。

”
数学的微积分中存在大量的反例,其作用和意义远远超过了它的具体内容,除了它能帮助人们深入地理解有关的定义、法则、定理及某些定理之间的关系外,也能提高分析问题和解决问题的能力,增加数学素养,还推动了数学科学发展,促进人的辩证思维方式的形成,培养了人们的思维能力和创造能力。

反例占据着一种独特而无法替代的作用,也体现了数学之美,有着一种另类的魅力。

参考文献：
[1]同济大学应用数学系,高等数学(第五版)[M], 北京：高等教育出版社,2001.
[2]刘三阳等,各类考研数学全真试题与解答[M], 西安：西安电子科技大学出版社,2001.
[3]马建珍,反例在数学分析中的作用[J], 宜宾学院学报,2006年第6卷第12期.
[4]赵玉松、唐瑞娜,数学分析中的问题[M],成都：电子科技大学出版社,1993.
[5]华东师范大学数学系,数学分析(第三版) [M],北京：高等教育出版社,2001.。