中职数学拓展模块课件-等比数列

7.3.1 等比数列的概念
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
当一个数列既是等差数列，又是等比数列 时，这个数列具有什么特征？
7.3.1 等比数固练习 归纳总结 布置作业
例1 在等比数列an 中， a1=2，q=4，求an，a5．
解 根据等比数列通项公式an=a1 qn-1可知 an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1；
我国古代数学著作《孙子算经》中有
这样一个趣题：“今有出门望见九堤，堤 有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽， 禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问：各 几何？”试依次把堤、木、枝、巢……的 数量计算出来，这组数有什么规律？
7.3.1 等比数列的概念
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当G是a与b的等差中项时,有 因此G²=ab或
例如,若3,G,12三个数构成等比数列,则G²=3×12,从而 3与12的 等比中项G=±6.
7.3.1 等比数列的概念
练习
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7.3.1 等比数列的概念
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7.3.2 等比数列前n项和公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例7 已知等比数列1，2，4，8，…，求该数列第5项至第10项的和． 分析 第5项至第10项的和为a5+a6+a7+a8+a9+a10，可表示为该数 列前10项的和减去其前4项的和． 解
7.3.2 等比数列前n项和公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
一般地,如果一个数列an从第二项起,每一项与它前一 项的比都等于同一个非零常数时,就称这个数列为等比数列, 这个常数称为等比数列的公比,通常用字母q来表示．
如数列 9,81,729,6561,…为等比数列,其公比q=9； 数列32,16，8,4，…是等比数列,公比q=
7.3.1 等比数列的概念
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当q=2时，a1×23=36，解得 a1= 当q=-2时，a1×(-2)3=36，解得a1= 所以, a1= , q=2或 a1= , q=-2.
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例4 已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数．
分析 对于构成等差数列的三个数，可以将它们设为 a1，a1q，a1q2，
7.3.2 等比数列前n项和公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例5 在等比差数列{an}中，a1=2，q=3，求该数列前5项 的和． 解 由等比数列的前n项和公式
7.3.2 等比数列前n项和公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例6 在等比数列{an}中，a1=2， q=3，an=162，求该数列 前n项的和． 解 由等比数列前n项和公式
不难看出,这组数构成一个数列：9,81,729,8561…, 我们也可以将其表示成9,92,93,94,….在这个数列中,从 第二项起每项与它前一项的比都是9.
类似的数列还有32,16,8,4,…. 不难看出, 从第二项开始，每一项与它前一项的比都 是
7.3.1 等比数列的概念
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7.3.2 等比数列前n项和公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出，按照大臣的要求，在 棋盘上六十四个格中所放的麦 粒数构 成等比数列 1,2,4,8,16,32,64,…, . 到底棋盘上需要放多少麦粒呢？要回 答这一问题，就需要计算出等比数列 1,2,4,8,16,32,64,…, 各项的和.
7.3.2 等比数列前n项和公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
现在，我们回到本节“情境与问题”的等比 数列{an}中,a1=1,q=2,n=64. 因此，棋盘上六十 四个格中所放的麦粒总数为
根据实际测算可知，1kg麦粒约有52000粒.因 此，这些麦粒的总质量约为354745078340t，这大 约相当于全世界一千年生产的小麦质量的几百倍.
qSn=a1q+a2q+a3q+…+aqn-1+anq，
即
qSn=a2+a3+a4+…+an+an+1.
(2)
比较(1) 、(2)两式可以看出, (1)式的右边从第2项至最后一项与(2)式右边的第
1项至倒数第2项分别相同．将(1)式的两边分别减去(2)式的两边就可消去相同
的项，得到
(1-q)Sn=a1-an+1
练习
7.2 等比数列
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7.2 等比数列
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
再见
为64，求这三个数．
8．在等比数列
中，8是第几项？
9.一辆车现价为10万元，年折旧率为10%(不考虑其他
因素) ，问该车第10年后的车价是多少元(保留两位小数)？
7.3.1 等比数列的概念
7.3.2
等比数列前n项和公式
7.3.2 等比数列前n项和公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
当q≠1时，
7.3.2 等比数列前n项和公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
由等比数列的通项公式可得 an+1=a1q n，将其代入上式即得等比 数列前n项和公式
由等比数列的定义得an+1=anq， 带入前式得等比数列前n项和公式 为
当q=1时，等比数列是一个常数列，其前n项和为 Sn=na1.
7.3 等比数列
7.2 等比数列
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等比数列是另一种有特殊规律的数列，其通项公 式、求和公式 的推导蕴含着与等差数列不同的重要的 数学思想方法.
7.3.1 等比数列的概念
7.3.1
等比数列的概念
7.3.1 等比数列的概念
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7.3.2 等比数列前n项和公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
设{an}是一个公比为q的等比数列，记{an}的前n项和为
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an .
(1)
根据等比数列的定义可知，等比数列的每一项与公比的乘积等于与它相
邻的后一项.我们将(1)式的两边同时乘公比q,得到
练习
2．在下列等比数列中填上所缺的项． （1） 3，6，12， ，48，…； （2） ，4，-2，1， ； （3）5，5，5， ，5； （4）1，-1，1， ，1．
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练习
3．在等比数列{an}中，a1=3，q=-2，求a3、a4． 4．求下列各组数的等比中项：
③
③式两边同时乘q，整理得 2q²-5q+2=0，
解得
当q= 2 时，所求的三个数分别为4,8,16；
当q= 时，所求的上数分别为16,8,4.
所以，这三个数为4,8,16或16,8,4.
7.3.1 等比数列的概念
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一般地,当a,G,b成等比数列时,G称为a和b的等比中项.
也可以将它们设为
，其中q为公比.若一直这三数的积，
则将它们设为
更有利于计算.
7.3.1 等比数列的概念
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例4 已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数．
解 设这三个数分别为
，则
①
由②式得a³=8³，解得a=8 .
②
将a=8代入①式，化简得
即
an= 22n-1 ．
因此，a5 = 22×5-1 =29=512．
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例2 将一张报纸反复对折,若不考虑其它因素,则报纸层数构成等比数列：2,4,8,…． (1) 求这个数列的通项公式； (2) 求第5次对折后报纸的层数； (3) 问第几次对折之后报纸的层数是128？
（1）4与25；
（2） -3与-27．
5．在等比数列{an}中，a2=8，a3=4，求公比q和首项a1． 6．在等比数列{an}中，a1=1，an=256，q=2，求n．
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练习
7．已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积
如果数列an是一个公比为q的等比数列,那么从第二项起,数列的 每一项都等于它的前一项与公比的乘积，即
a2=a1q， a3=a2q=(a1q)q=a1q2 ， a4=a3q=(a1q2)q=a1q3 ，
……
因此，首项为a1、公比为q 的等比数列an的通项公式为 an=a1qn-1 (其中a1与q均不为0)．
相传古时候有一位聪明的大臣， 他发明了国际象棋，并将其献给了国 王，国王从此迷上了下棋.作为对这位 大臣的奖勋，国王许诺满足大臣一个 要求.大臣说:“就在这个棋盘上放上 一些麦粒吧，第一格放1粒,第二格放2 粒,第三格放4粒，然后依次是8粒,16 粒,⋯ ⋯,一直到第六十四格.”“就要 这么一点儿麦粒？”国王哈哈大笑， 慷慨地答应了.大臣:“就怕您的国库 里没有这么多麦粒！”为什么大臣说 国库里没有这么麦粒呢？
解 (1) 设这个数列为an,则a1=2,q=4,故该等比数列的通项公式为 an=a1qn-1=2×2n-1=2n.
(2) 根据通项公式可知，a1=25=32，因此第5次对折之后的报纸的层数为 32层.
(3) 设第n次对折后报纸的层数是128,即an＝128,则由通项公式可知
2n=128，
2n =27，
解得
n=7.
因此，第7次对折后报纸的层数是128.
7.3.1 等比数列的概念
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例3 在等比数列{an}中，a4=36，a6=144，求首项a1和公比q． 解 根据等比数列的通项公式 an=a1qn-1可得
① ② ②式除以①式，并整理得
解得
q=±2.