课后训练{2.3.2 双曲线的简单几何性质}

双曲线课后训练
1．双曲线x 2－y 2＝λ2(λ＞0)的离心率e ＝( )．
A ．2
B
C
D ．1
2．与曲线22=12449
x y +共焦点，而与曲线22
=13664x y -共渐近线的双曲线的方程为( )．
A ．
22=1169y x - B ．22=1169x y - C ．22=1916y x - D ．22
=1916
x y - 3．已知双曲线22
22=1x y a b
-(a ＞0，b ＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e
为( )．
A ．2
B ．3
C ．
43 D ．5
3
4．已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1
5
，则m 等于( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5．双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，5
3
e =，则双曲线的标准方程为( )．
A ．
22=13664x y - B ．22=16436x y - C ．22=16436y x - D ．22
=13664
y x - 6．已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则
该双曲线的离心率为__________．
7x 轴上，则其渐近线方程为__________．
8．已知双曲线C 的方程为2222=1y x a b - (a ＞0，b ＞0)，离心率e =，
求双曲线C 的方程．
9．过双曲线M ：2
2
21y x b
-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相
交于点B ，C ，且|AB |＝|BC |，求双曲线M 的离心率．
10．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1． (1)若l 与C 有两个不同交点，求实数k 的取值范围；
(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB k 的值．
参考答案
1答案：C 解析：由双曲线方程知a ＝λ
，c =
，故c
e a
=
=． 2答案：A 解析：根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为22
3664
x y λ-=(λ≠0)，
即22
16436y x λλ
-=--． 由－64λ＋(－36λ)＝25，得1
4
λ=-．
故所求双曲线的方程为
22
=1169
y x -． 3答案：D 解析：根据题意，得2a ＋2c ＝2×2b ，所以a 2＋2ac ＋c 2＝4(c 2－a 2)，即3c 2－2ac －5a 2＝0．所以3e 2－2e －5＝0，解得5
3
e =
或e ＝－1(舍)． 4答案：D 解析：双曲线9y 2
－m 2x 2
＝1(m ＞0)化为标准方程是22
2
=1119y x m -(m ＞0)，∴219a =，221b m
=．
取一个顶点为10,3⎛⎫
⎪⎝⎭，一条渐近线的方程为mx －3y ＝0，
15
=．∴m ＝4．
5答案：D 解析：依题意可得一焦点为(0,10)，故c ＝10．又5
3
c e a ==，解得a ＝6，b 2＝c 2－a 2＝64，
故方程为
22
=13664
y x -． 6
解析：不妨设双曲线方程是22
22=1x y a b
-(a ＞0，b ＞0)．
设点P 在该双曲线的右支上，点F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ．
由△PF 1F 2为等腰直角三角形得
22b c a =，c 2－a 2
＝2ac ，22=2c a ac
-，12e e -=， 即e 2－2e －1＝0
，解得1e =± 又e ＞1
，于是1e =．
7答案：解：依题意，双曲线焦点在y 轴上，顶点坐标为(0，a )，渐近线方程为a
y x b
=±，即ax ±by ＝0，
ab c =
=
．又c e a ==， 所以b ＝1，即c 2－a 2＝1
，2
2
1a ⎫-=⎪⎪⎝⎭， 解得a 2
＝4，故双曲线方程为2214
y x -=． 8答案：y ＝±2x 解析：
由于c e a ==，所以222=5a b a +，2
2
=4b a ，
=2b a ，
故渐近线方程为y ＝±2x ．
9答案：解：∵双曲线M 的方程为2
2
21y x b
-=，
∴左顶点A 为(－1,0)，渐近线方程为y ＝±bx ． 又直线l 的斜率为1，∴l 的方程为y ＝x ＋1．
从而可求得直线l ：y ＝x ＋1与渐近线y ＝bx 的交点为C 1,11b b b ⎛⎫
⎪--⎝⎭
，AC 的中点为2,2(1)2(1)b b b b ⎛⎫
- ⎪--⎝⎭
，
且在渐近线y ＝－bx 上，
则22(1)2(1)
b b
b b b -=-⋅
--，得b ＝3，
c =c
e a
==
∴
9答案：解：联立方程组22
1,
1,
y kx x y =-⎧⎨
-=⎩ 消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0． ∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则满足条件222
10,
48(1)0,
k k k ∆⎧-≠⎨=+->⎩
解得k <
k ≠±1．
∴若直线l 与曲线C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为(1)∪(－1,1)∪(1． 答案：解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， 由韦达定理，得x 1＋x 2＝221k k -
-，x 1x 2
＝2
2
1k --，
故|AB |12|x x -
∵点O 到直线l 的距离
d =
，
∴S △AOB ＝1||2AB d ⋅⋅==
即2k 4－3k 2＝0．解得k ＝0或k =．
故实数k 的值为0．。