(2019-2020)【重点资料】高中物理 第二章3 圆周运动的实例分析 4 圆周运动与人类文明(选学)学案 教科版必

3 圆周运动的实例分析
4 圆周运动与人类文明(选学)
[学习目标] 1.会分析具体圆周运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题.2.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害.3.列举实例，了解圆周运动在人类文明进程中的广泛应用，认识到圆周运动对人类文明发展的重大影响．
一、汽车过拱形桥 1.受力分析(如图1)
图1
2．向心力：F ＝mg －N ＝m v 2r .
3．对桥的压力：N ′＝mg －mv 2
r
.
4．结论：汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小． 二、“旋转秋千”——圆锥摆
1．物理模型：细线下面悬挂一个钢球，使钢球在某个水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面，这种装置叫圆锥摆．
2.向心力来源：由重力和悬线拉力的合力提供(如图2)．
图2
由F 合＝mg tan α＝m ω2
r ，r ＝l sin α 得：ω＝
g l cos α
周期T ＝2π
ω＝2π
l cos α
g
.
3．结论：悬线与中心轴的夹角α跟“旋转秋千”的角速度和悬线长有关，与所乘坐人的体
重无关．在悬线长一定的情况下，角速度越大则悬线与中心轴的夹角也越大(小于90°)． 三、火车转弯
1．运动特点：火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，所以需要很大的向心力． 2．向心力来源
(1)若转弯时内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样铁轨和车轮极易受损． (2)内外轨有高度差，依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由重力G 和支持力N 的合力提供． 四、离心运动
1．定义：在做圆周运动时，由于合外力提供的向心力消失或不足，以致物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动叫做离心运动．
2．离心机械：利用离心运动的机械叫做离心机械．常见的离心机械有洗衣机的脱水筒、离心机．
1．判断下列说法的正误．
(1)汽车行驶经过凸形桥顶部时，对桥面的压力等于车重．(×) (2)汽车行驶经过凹形桥底部时，对桥面的压力大于车重．(√) (3)铁路的弯道处，内轨高于外轨．(×)
(4)火车驶过弯道时，火车对轨道一定没有侧向压力．(×) (5)做离心运动的物体可以沿半径方向运动．(×)
2.飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看成一段圆弧，如图3所示，飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径为r ＝180 m 的圆周运动，如果飞行员质量m ＝70 kg ，飞机经过最低点P 时的速度v ＝360 km/h ，则这时飞行员对座椅的压力大小为________．(g 取10 m/s 2
)
图3
答案 4 589 N
解析 飞机经过最低点时，v ＝360 km/h ＝100 m/s.
对飞行员进行受力分析，飞行员在竖直面内共受到重力G 和座椅的支持力N 两个力的作用，
根据牛顿第二定律得N －mg ＝m v 2r ，所以N ＝mg ＋m v 2r ＝70×10 N＋70×100
2
180
N≈4 589 N，由牛
顿第三定律得，飞行员对座椅的压力为4 589 N.
一、汽车过拱形桥
如图4甲、乙为汽车在凸形桥、凹形桥上行驶的示意图，汽车行驶时可以看做圆周运动．
图4
(1)如图甲，汽车行驶到拱形桥的桥顶时：
①什么力提供向心力？汽车对桥面的压力有什么特点？
②汽车对桥面的压力与车速有什么关系？汽车安全通过拱桥顶(不脱离桥面)行驶的最大速度是多大？
(2)如图乙当汽车行驶到凹形桥的最底端时，什么力提供向心力？汽车对桥面的压力有什么特点？
答案 (1)①当汽车行驶到凸形桥的桥顶时，重力与支持力的合力提供向心力，即mg －N ＝m v 2R ；
此时汽车对桥面的压力N ′＝mg －m v 2
R
，即汽车对桥面的压力小于汽车的重力，汽车处于失重
状态．
②由N ′＝mg －m v 2
R 可知，当汽车的速度增大时，汽车对桥面的压力减小，当汽车对桥面的压
力为零时，汽车的重力提供向心力，此时汽车的速度达到最大，由mg ＝m v m 2
R
，得v m ＝gR ，
如果汽车的速度超过此速度，汽车将离开桥面．
(2)当汽车行驶到凹形桥的最底端时，重力与支持力的合力提供向心力，即N －mg ＝m v 2
R ；此
时汽车对桥面的压力N ′＝mg ＋m v 2
R
，即汽车对桥面的压力大于汽车的重力，汽车处于超重状
态，并且汽车的速度越大，汽车对桥面的压力越大．
1．汽车过拱形桥(如图5)
图5
汽车在最高点满足关系：mg －N ＝m v 2R ，即N ＝mg －m v 2
R
.
(1)当0≤v <gR 时，0<N ≤mg .
(2)当v ＝gR 时，N ＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险． 2．汽车过凹形桥(如图6)
图6
汽车在最低点满足关系：N －mg ＝mv 2R ，即N ＝mg ＋mv 2
R
.由此可知，汽车对桥面的压力大于其自
身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥．
例1 如图7所示，质量m ＝2.0×104
kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m ，如果桥面承受的压力不超过3.0×105
N ，则：(g 取10 m/s 2
)
图7
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？ 答案 (1)10 3 m/s (2)1.0×105
N
解析 对汽车受力分析如图，汽车驶至凹形桥面的底部时，合力向上，车对桥面压力最大；汽车驶至凸形桥面的顶部时，合力向下，车对桥面的压力最小．
(1)汽车在凹形桥的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的支持力N 1＝3.0×105
N ，根据牛顿第二定律
N 1－mg ＝m v 2
r
，即v ＝
(N 1m
－g )r ＝10 3 m/s
由于v <gr ＝10 6 m/s ，故在凸形桥最高点上汽车不会脱离桥面，所以汽车允许的最大速率为10 3 m/s.
(2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得
mg －N 2＝m v 2r ，即N 2＝m (g －v 2
r
)＝1.0×105 N
由牛顿第三定律得，在凸形桥顶部汽车对桥面的压力为1.0×105
N ，此即最小压力． 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】汽车过桥问题 二、“旋转秋千”
“旋转秋千”的运动可简化为圆锥摆模型(如图8所示)，当小球在水平面内做匀速圆周运动时，回答下列问题：
图8
(1)小球受到几个力的作用？什么力提供小球做圆周运动的向心力？
(2)“旋转秋千”缆绳与中心轴的夹角与什么有关(设人的质量为m ，角速度为ω，绳长为l )? 答案 (1)受重力和绳子的拉力两个力的作用；绳子的拉力和重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．
(2)如图所示，设缆绳与中心轴的夹角为α，匀速圆周运动的半径为r
F 合＝mg tan α r ＝l sin α
由牛顿第二定律得
F 合＝m ω2r
以上三式联立得
cos α＝g
ω2l
由此可以看出，缆绳与中心轴的夹角跟“旋转秋千”的角速度和绳长有关，而与所乘坐人的体重无关．
如图9所示：
图9
(1)转动平面：水平面．
(2)向心力：F合＝mg tan α.
(3)圆周运动的半径：r＝l sin α.
(4)动力学方程：mg tan α＝mω2l sin α.
(5)角速度ω＝
g
l cos α
，周期T＝2π
l cos α
g
.
(6)特点：悬绳与中心轴的夹角α跟角速度和绳长有关，与球的重量无关，在绳长一定的情况下，角速度越大，绳与中心轴的夹角也越大．
例2如图10所示，已知绳长为L＝20 cm，水平杆长为L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动．g取10 m/s2，要使绳子与竖直方向成45°角，则：(小数点后保留两位)
图10
(1)该装置必须以多大的角速度转动才行？
(2)此时绳子的张力为多大？
答案(1)6.44 rad/s (2)4.24 N.
解析(1)小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径r＝L′＋L sin 45°.对小球受力分析如图所示，设绳对小球的拉力为T，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合
力提供小球做圆周运动的向心力．
对小球利用牛顿第二定律可得：
mg tan 45°＝mω2r①
r＝L′＋L sin 45°②
联立①②两式，将数值代入可得ω≈6.44 rad/s
(2)T＝mg
cos 45°
≈4.24 N.
1．解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：
(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面)．
(2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等)．
(3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程．
(4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论．
2．几种常见的匀速圆周运动实例
三、火车转弯
设火车转弯时的运动为匀速圆周运动．
(1)如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？
(2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，试从向心力的来源分析这样做有怎样的优点． (3)当轨道平面与水平面之间的夹角为θ，转弯半径为R 时，火车行驶速度多大轨道才不受挤压？
(4)当火车行驶速度v >v 0＝gR tan θ时，轮缘受哪个轨道的压力？当火车行驶速度v <v 0＝
gR tan θ时呢？
答案 (1)如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供(如图甲)；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，会使铁轨和车轮极易受损．
(2)如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力N 的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G 的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力(如图乙)，从而减轻轮缘与外轨的挤压．
(3)火车受力如图丙所示，则
F ＝mg tan θ＝mv 02
R
，所以v 0＝gR tan θ.
(4)当火车行驶速度v >v 0＝gR tan θ时，重力和支持力的合力提供的向心力不足，此时外侧轨道对轮缘有向里的侧向压力；当火车行驶速度v <v 0＝gR tan θ时，重力和支持力的合力提供的向心力过大，此时内侧轨道对轮缘有向外的侧向压力．
1.弯道的特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力
和支持力的合力提供，即mg tan θ＝m v 02
R
，如图11所示，则v 0＝gR tan θ，其中R 为弯道
半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角，v 0为转弯处的规定速度．
图11
2．速度与轨道压力的关系：
(1)当火车行驶速度v 等于规定速度v 0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用．
(2)当火车行驶速度v >v 0时，外轨道对轮缘有侧压力． (3)当火车行驶速度v <v 0时，内轨道对轮缘有侧压力．
例3 铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图12所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( )
图12
A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C ．这时铁轨对火车的支持力等于mg
cos θ
D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg
cos θ
答案 C
解析 由牛顿第二定律F 合＝m v 2
R
，解得F 合＝mg tan θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力
作用，如图所示，N cos θ＝mg ，则N ＝mg
cos θ，内、外轨道对火车均无侧压力，故C 正确，
A 、
B 、D 错误．
【考点】交通工具的转弯问题 【题点】倾斜面内的转弯问题
火车转弯问题的解题策略
1．对火车转弯问题一定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合外力提供火车做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心．
2．弯道处两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的弹力提供．
3．当外轨高于内轨时，向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的弹力的合力提供；当火车速度以规定速度行驶时，内、外轨对轮缘的弹力为零． 四、离心运动
1．做圆周运动的物体向心力突然消失，它会怎样运动？ 答案 将沿切线方向飞出．
2．如果物体受的合外力不足以提供向心力，它又会怎样运动？ 答案 物体将逐渐远离圆心运动．
3．要使原来做匀速圆周运动的物体做离心运动，可以怎么办？举例说明离心运动在生活中的应用．
答案 方法一：提高转速，使所需的向心力大于能提供的向心力．即让合外力不足以提供向心力．
方法二：减小或使合外力消失．
应用：利用离心运动制成离心机械设备．例如，离心干燥器、洗衣机的脱水筒和离心转速计
等．
对离心现象的理解
(1)物体做离心运动的原因：提供向心力的外力突然消失，或者外力不能提供足够的向心力． 注意 物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于外力不能提供足够的向心力．所谓“离心力”实际上并不存在．
(2)合外力与向心力的关系(如图13所示)．
图13
①若F 合＝mr ω2
或F 合＝mv 2
r
，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”．
②若F 合>mr ω2
或F 合>mv 2
r
，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”
大于“需要”．
③若F 合<mr ω2
或F 合<mv 2
r
，则外力不足以将物体拉回到原轨道上，而做离心运动，即“需要”
大于“提供”或“提供不足”． ④若F 合＝0，则物体做直线运动．
例4 如图14所示是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
图14
A ．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B ．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C ．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D ．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去 答案 B
解析 摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A 项错误；摩托车
正常转弯时可看成匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B 项正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动，C 、D 项错误．
1．(火车转弯问题)(多选)全国铁路大面积提速，给人们的生活带来便利．火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损．为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是( ) A ．适当减小内外轨的高度差 B ．适当增加内外轨的高度差 C ．适当减小弯道半径 D ．适当增大弯道半径 答案 BD
解析 设火车轨道平面的倾角为α时，火车转弯时内、外轨均不受损，根据牛顿第二定律有
mg tan α＝m v 2
r
，解得v ＝gr tan α，所以，为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可
行的措施是适当增大倾角α(即适当增加内外轨的高度差)和适当增大弯道半径r . 【考点】交通工具的转弯问题 【题点】倾斜面内的转弯问题
2.(汽车过拱形桥)在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增大摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了．把这套系统放在电子秤上做实验，如图15所示，关于实验中电子秤的示数下列说法正确的是( )
图15
A ．玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些
B ．玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些
C ．玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态
D ．玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小 答案 D
解析 玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg
－N ＝m v 2R ，即N ＝mg －m v 2
R
<mg ，根据牛顿第三定律可知玩具车对桥面的压力大小与N 相等，所
以玩具车通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小，选项D 正确．
3．(离心运动)在水平公路上行驶的汽车，当汽车以速度v 运动时，车轮与路面间的最大静摩擦力恰好等于汽车转弯所需要的向心力，汽车沿如图16所示的圆形路径(虚线)运动．如果汽车转弯速度大于v ，则汽车最有可能沿哪条路径运动？( )
图16
A ．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 答案 B
【考点】离心运动问题 【题点】生活中的离心运动
4．(圆周运动的临界问题)一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R ，甲、乙两物体质量分别为M 和m (M >m )，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L (L <R )的轻绳连在一起．如图17所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则圆盘旋转的角速度最大不得超过(两物体均看做质点)( )
图17
A.
μ(M －m )g
mL
B.
μ(M －m )g
ML
C.
μ(M ＋m )g
ML
D.
μ(M ＋m )g
mL
答案 D
解析 以最大角速度转动时，以M 为研究对象：F ＝μMg ，以m 为研究对象：F ＋μmg ＝mL ω2
，可得ω＝
μ(M ＋m )g
mL
，选项D 正确．
【考点】向心力公式的简单应用
【题点】水平面内圆周运动的动力学问题
5.(圆锥摆)长为L 的细线，拴一质量为m 的小球，细线上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图18所示，求细线与竖直方向成θ角时：(重力加速度为g )
图18
(1)细线中的拉力大小． (2)小球运动的线速度的大小． 答案 (1)
mg
cos θ
(2)gL sin θtan θ
解析 (1)小球受重力及细线的拉力两力作用，如图所示，竖直方向T cos θ＝mg ，故拉力T ＝
mg
cos θ
.
(2)小球做圆周运动的半径r ＝L sin θ，向心力F ＝T sin θ＝mg tan θ，
而F ＝m v 2
r
，
故小球的线速度v ＝gL sin θtan θ.
一、选择题
考点一 交通工具的转弯问题
1．汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( ) A ．减为原来的1
2
B ．减为原来的1
4
C ．增为原来的2倍
D ．增为原来的4倍
答案 D
【考点】交通工具的转弯问题
【题点】水平路面内的转弯问题
2．在铁路转弯处，往往外轨略高于内轨，关于这点下列说法不正确的是( ) A ．减轻火车轮子对外轨的挤压 B ．减轻火车轮子对内轨的挤压
C ．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需向心力
D ．限制火车向外脱轨 答案 B
【考点】交通工具的转弯问题 【题点】倾斜面内的转弯问题
3.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图1所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是半径为R 的圆周运动．设内、外路面高度差为h ，路基的水平宽度为d ，路面的宽度为L .已知重力加速度为g .要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
图1
A.
gRh L B.gRh d C.gRL h D.gRd h
答案 B
解析 设路面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mg tan θ＝m v 2
R
，又由数学知识可知tan θ
＝h d ，联立解得v ＝
gRh
d
，选项B 正确． 考点二 汽车过桥问题
4．城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥．如图2所示，桥面是半径为R 的圆弧形的立交桥AB 横跨在水平路面上，一辆质量为m 的小汽车，从A 端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v 1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( )
图2
A ．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B ．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C ．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为N ＝mg －m v 12
R
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于gR
答案 A
5.如图3所示，汽车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球．当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时，弹簧长度为L1，当汽车以大小相同的速度匀速通过一个桥面为圆弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列选项中正确的是( )
图3
A．L1＝L2B．L1>L2
C．L1<L2D．前三种情况均有可能
答案 B
解析小球随汽车一起做圆周运动，小球的向心力是由重力和弹簧弹力的合力提供的，所以只有弹力减小才能使小球获得指向圆心的合力，小球才能做圆周运动．弹力减小，弹簧的形变量减小，故L1>L2，B正确．
【考点】竖直面内的圆周运动分析
【题点】汽车过桥问题
考点三离心运动
6.(多选)如图4所示，在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆筒一起转动而未滑动，则( )
图4
A．衣服随脱水筒做圆周运动的向心力由衣服的重力提供
B．水会从脱水筒甩出是因为水滴受到的向心力很大
C．加快脱水筒转动角速度，衣服对筒壁的压力也增大
D．加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
答案CD
解析衣服受到竖直向下的重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的支持力，重力和静摩擦
力是一对平衡力，大小相等，向心力是由支持力提供的，A错误；脱水筒转动角速度增大以后，支持力增大，衣服对筒壁的压力也增大，C正确；对于水而言，衣服对水滴的附着力提供其做圆周运动的向心力，说水滴受向心力本身就不正确，B错误；随着脱水筒转动角速度的增加，需要的向心力增加，当附着力不足以提供需要的向心力时，衣服上的水滴将做离心运动，故脱水筒转动角速度越大，脱水效果会越好，D正确．
【考点】离心运动问题
【题点】生活中的离心运动
7.无缝钢管的制作原理如图5所示，竖直平面内，管状模型置于两个支撑轮上，支撑轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管．已知管状模型内壁半径为R，则下列说法正确的是( )
图5
A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的
B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
D．管状模型转动的角速度ω最大为g R
答案 C
解析铁水是由于离心作用覆盖在模型内壁上的，模型对它的弹力和重力的合力提供向心力，选项A错误；模型最下部受到的铁水的作用力最大，最上部受到的铁水的作用力最小，选项B错误；最上部的铁水如果恰好不离开模型内壁，则重力提供向心力，由mg＝mRω2，可得ω
＝g
R
，故管状模型转动的角速度ω至少为
g
R
，选项C正确，D错误．
【考点】离心运动问题
【题点】生活中的离心运动
考点四圆周运动的动力学问题
8.如图6所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( )
图6
A ．线速度v A ＞v
B B ．角速度ωA ＞ωB
C ．向心力F A ＞F B
D ．向心加速度a A ＞a B 答案 A
解析 设漏斗的顶角为2θ，则小球受到的合力为F 合＝
mg
tan θ
，由F ＝F 合＝
mg
tan θ
＝m ω2
r
＝m v 2
r
＝ma ，知向心力F A ＝F B ，向心加速度a A ＝a B ，选项C 、D 错误；因r A ＞r B ，又由于v ＝
gr
tan θ
和ω＝
g r tan θ
知v A ＞v B 、ωA ＜ωB ，故A 对，B 错误．
【考点】圆锥摆类模型
【题点】类圆锥摆的动力学问题分析
9．(多选)如图7所示，将一质量为m 的摆球用长为L 的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，下列说法正确的是( )
图7
A ．摆球受重力、拉力和向心力的作用
B ．摆球受重力和拉力的作用
C ．摆球运动周期为2πL cos θ
g D ．摆球运动的转速为
gL
cos θ
sin θ
答案 BC
解析 摆球受重力和绳子拉力两个力的作用，设摆球做匀速圆周运动的周期为T ，则：mg tan θ＝m
4π
2
T 2
r ，
r ＝L sin θ，T ＝2π
L cos θg ，转速n ＝1T ＝1
2π
g L cos θ
，B 、C 正确，A 、D 错误．
【考点】圆锥摆类模型
【题点】类圆锥摆的动力学问题分析
10．(多选)如图8所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别为2m、m、m，离转轴的距离分别为R、R、2R，与转台间的动摩擦因数相同．已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当转台旋转时，下列说法中正确的是( )
图8
A．若三个物体均未滑动，则C物体的向心加速度最大
B．若三个物体均未滑动，则B物体受的摩擦力最大
C．若转速增加，则A物体比B物体先滑动
D．若转速增加，则C物体最先滑动
答案AD
解析三物体都未滑动时，角速度相同，设角速度为ω，根据向心加速度公式a＝ω2r，知C的向心加速度最大，选项A正确；三个物体受到的静摩擦力分别为：f A＝(2m)ω2R，f B＝mω2R，f C＝mω2(2R)，所以物体B受到的摩擦力最小，选项B错误；增加转速，可知C最先达到最大静摩擦力，所以C最先滑动，A、B的临界角速度相等，可知A、B一起滑动，选项C错误，D正确．
【考点】水平面内的圆周运动的动力学分析
【题点】水平面内的圆周运动的动力学分析
二、非选择题
11.(交通工具的转弯问题)如图9所示为汽车在水平路面做半径为R的大转弯的后视图，悬吊在车顶的灯左偏了θ角，则：(重力加速度为g)
图9
(1)车正向左转弯还是向右转弯？
(2)车速是多少？
(3)若(2)中求出的速度正是汽车转弯时不打滑允许的最大速度，则车轮与地面间的动摩擦因数μ是多少？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
答案(1)向右转弯(2)gR tan θ(3)tan θ
解析(1)向右转弯。