2020年江苏省扬州市仪征中学江都中学高2022届高2019级高二第一学期期中联考数学试题及答案

江苏省扬州市仪征中学、江都中学2020～2021学年度第一学期高二
期中联考数学试题
考试范围:不等式, 数列, 常用逻辑用语, 圆锥曲线
一、单项选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.
1. 已知,0,a b a b >+=则下列选项必定正确的是 ( ▲ ) A.0a > B.0a ≤ C.0b = D.0b >
2. 在数列{}n a 中,11
(1)1,2(2)n
n n a a n a --==+≥,则3a ＝ ( ▲ ) A.0 B.53 C.7
3
D.3
3. 已知命题:p n N ∀∈,2n n >,则p ⌝是 ( ▲ )
A.n ∀∈N ,2n n ≤
B. n ∀∈N ,2n n <
C. n N ∃∈,2n n ≤
D. n N ∃∈,2n n >
4. 已知等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=则357a a a ++= ( ▲ ) A.21 B.42 C.63 D.84
5. 若不等式08
3
22
<-
+kx kx 对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为 ( ▲ ) A .()0,3- B .[)0,3- C .[]0,3- D .(]0,3-
6. 设命题1
:
0,2
x p x -≥+命题:(1)(2)0,q x x -+≥则命题p 是命题q 的 ( ▲ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7. 一百个高矮互不相同的士兵,排成一个十行十列的方阵。

现在从每行中选出一个最高的,再从这些最高的中选出一个最矮的,其高度记为h(高中矮);然后从每列中选出一个最矮的,再从这个
最矮的中间选出一个最高的,其高度记为h(矮中高), 则 ( ▲ )
A.h(高中矮)>h(矮中高)
B.h(高中矮)h (矮中高)
C.h(高中矮)<h(矮中高)
D.h(高中矮)h (矮中高)
8. 已知A 、B 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右顶点,(0,)C b ,直线:2l x a =与x 轴交
于点D ,与直线AC 交于点P ,且BP 平分APD ∠,则此椭圆的离心率为
( ▲ )
A.
13 B.23 C.23 D.63
二、多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.
9.已知曲线22
:1C mx ny +=,则下列结论正确的是 ( ▲ )
A.若0m n >>,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上
B.若0m n =>,则C 是圆,其半径为n
C.若0mn <,则C 是双曲线,其渐近线方程为m y x n =±-
⋅
D.若0,0m n =>,则C 是两条直线
10.下列不等式成立的是 ( ▲ ) A.若a ＜b ＜0,则a 2＞b 2 B.若ab ＝4,则a ＋b ≥4
C.若a ＞b ,则ac 2＞bc 2
D.若a ＞b ＞0,m ＞0,则
b b m a a m +<
+
11.设{}()n a n N *∈是等差数列,d 是其公差,n S 是其前n 项和.若
,
则下列结论正确的是 A.d<0
B.
70
a = C.
95
S S > D.
67n
S S S 与均为的最大值
12. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C : x 2＋y 2＝1＋|xy | 就是其中之一, 给出下列四个结论,其中正确的选项是( ▲ ). A. 曲线C 关于坐标原点对称
B. 曲线C 上任意一点到原点的距离的最小值为1
C. 曲线C 上任意一点到原点的距离的最大值为 2
D. 曲线C 所围成的区域的面积大于4
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 准线方程为的抛物线的标准方程是 ▲ .
14. 设双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为
▲ .
15. 在等差数列
中,满足,且,则
的最小值为 ▲ .
16. 一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?
即,一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数. 设这个整数为时,符合条件的a 共有 ▲ 个. 四、解答题(本大题共6小题,计70分.应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分) 已知}034|{:2≤+-=x x x A p ,
()(){}
01|:2
≤---=a x a x x B q (1)若1-=a , 求集合；B
(2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.
18.(12分)在①2n S n n =+,②3516a a +=且3542S S +=,③11
n n
a n a n ++=
且756S =,
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加以解答.
问题:设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n b 为等比数列,_________,11b a =,
12
22a a b =. 求数列1n n
b S ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)
19.(12分)设椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ,点),(b a P 满足
2
12F F PF =.
(1)求椭圆的离心率e ;
(2)设直线2PF 与椭圆相交于B A 、两点,若椭圆的长轴长为24,求1ABF ∆的面积.
20.(12分)已知数列
{}n a 的前n 项和为n S ,10a =,1n n S a n +=-,*n ∈N . (1)求证:数列{}1n
a +是等比数列;
(2)设数列{}
n b 的前n 项和为n
T ,已知
1n n n b a =
+,若不等式9
22n n T m a ≥-
+对于*n ∈N 恒成
立,
求实数m 的最大值.
21.(12分)已知O 为坐标原点,椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>
的离心率为2
,
双曲线2214x y -=的渐近线与椭圆C
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)若点,,D M N 为椭圆C 上的动点,,,M O N 三点共线,直线,DM DN 的斜率分别为12,k k .
(i )证明:121
4
k k =-;
(ii )若120k k +=,设直线DM 过点()0,m ,直线DN 过点()0,n ,证明:22m n +为定值.
22.(12分)某商家销售某种商品,已知该商品进货单价由两部分构成:一部分为每件产品的进货固定价为3百元,另一部分为进货浮动价,据市场调查,
（1）分别建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映该商品日销售量y 与销售单价x 的关系()f x 、进货浮动价d 与日销售量y 的关系()d y ;
【注:可选的函数模型有一次函数、二次函
数、反比例函数】
(2)运用第一问中的函数模型判断,该产品销售单价确定为多少元时,每件产品的利润最大？【注:单件产品的利润单件售价进货浮动价进货固定价】
2020—2021学年度第一学期期中联考试题
高二数学参考答案 2020.11
1.A 2、B 3、C 4、B 5、D 6、A 7、B 8、D
9. ACD 10. AD 11. ABD 12. ABCD 13、 14、 15、 16. 135
17.解:(1)当1=a 时,{}{}210)2)(1(≤≤-=≤-+=x x x x x B ………………3分
(2)
{}{}
310)3)(1(≤≤=≤--=x x x x x A …………………4分
043
)21(122>+-=-+a a a ∴{}
12+≤≤=a x a x B …………………5分
p 是q 的充分不必要条件,∴A
B …………………………6分 ⎩⎨⎧≥+≤∴311
2
a a 等号不能同时成立 …………………………8分
解之得2-≤a …………………………10分
18.选①当1n =时,
112
a S ==,当2n ≥时,
12n n n a S S n
-=-=,
又1n =满足2n a n
=,所以
2n a n
=.
设数列
{}n b 的公比为q ,又因为12a =,24a =,
由11b a =,12
22a a b =,得2b =,2q =,所以2n n b =,…………………………5分
数列{}n b 的前n 项和为11
222212n n ++-=--,
211111(1)1n S n n n n n n ===-
+++,
数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为
1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++, 故
1111
22121
11n n n T n n ++=-+-=--++. …………………………10分 选②设数列
{}n a 的公差为d ,由3516a a +=,3542S S +=,
得
112616
81342
a d a d +=⎧⎨
+=⎩,
解得122a d =⎧⎨
=⎩,所以2n a n =,2n S n n =+.…………………………5分
设数列
{}n b 的公比为q ,又因为12a =,24a =,
由11b a =,
12
2
2a a b =, 数列{}n b 的前n 项和为11
222212n n ++-=--,
211111(1)1n S n n n n n n ===-
+++,
数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为
1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++, 故1111
22121
11n n n T n n ++=-+-=--++.…………………………10分
选③由11n n a n a n ++=,得11n n a a n n +=+,所以1
1n a a n
=, 即
1n a a n =,
74172856
S a a ===, 所以
12
a =,所以
2n a n =,
2n S n n
=+.
设数列
{}n b 的公比为q ,又因为12a =,24a =,
由11b a =,
12
2
2a a b =, 得12b =,2q =,所以2n n b =.…………………………5分
数列{}n b 的前n 项和为11
222212n n ++-=--,
211111(1)1n S n n n n n n ===-
+++,
数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为
1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++, 故
1111
22121
11n n n T n n ++=-+-=--++.…………………………10分
19. 解:(1)
2
12F F PF =
()
012222
2
=-+∴=+-∴
e e c b c a 又
()21
1,0=
∴∈e e …………………………5分 （2）2
21
22242=∴==∴=c e a a 又 6222
=-=c a b
1
682
2=+∴y x 椭圆的方程为 …………………………7分
6
3-=∴x y AB 方程为：
设
()()
2211,,,y x B y x A 联立
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=24
43632
2
y x x y 得:
086252=++y y 518
,5622
121-=-
=+∴y y y y …………………………9分
()53164221212
2121211=
-+=-⋅=∴∆y y y y y y F F S ABF
………………………12分
20.解:(1)由1231
n n a a a a n a ++++++=,
得
12311n n a a a a n a -+++
++-=(2
n ≥),
两式相减得121
n n a a +=+,所以()1121n n a a ++=+(2
n ≥),
因为10
a =,所以
111a +=,
2111a a =+=,
()
21121a a +=+.
所以
{}1n a +是以1为首项,2为公比的等比数列. …………………………4分
(2)由1n n n b a =
+,又由(1)可知121n n a -=-,得12n n n b -=,从而
922n
n T m a ≥-+, 即
2123912222n n
n m -++++≥-, 因为
21231222n n n T -=++++,则23112322222n n
n
T =++++, 两式相减得2311111121122222222n n n n
n n T -+⎛⎫
-=+++++-=- ⎪⎝⎭,
所以
12
42n n n T -+=-
.…………………………8分 由92n n T m ≥-恒成立,即25
42n n m
--≥恒成立,
又1123252744222n n
n n n n ++---⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
故当3n ≤时,2542n n -⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭单调递减;当3n =时,323531428⨯--=; 当4n ≥时,2542n n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递增;当4n =时,4245614216⨯--=; 则
2542n
n --的最小值为6116,所以实数m 的最大值是6116. .…………………………12分
21. (1)设椭圆的半焦距为c ,由题意知
:2c e a ====,2a b ∴=…①, 双曲线2
214
x y -=的渐近线方程为12y x =±,
∴可设双曲线的渐近线与椭圆C 在第一象限的交点为()2,P t t ,
2
=
,解得:2
12t =. ()2,P t t 在椭圆上,22
2241t t a b
∴+=,即:222112a b +=…②,
由①②解得:2a =,1b =,
∴椭圆C 的
标准方程为:2214
x y +=. ……3分
(2)由题意知:,M N 关于原点对称,则可设()11,D x y ,()22,M x y ,()22,N x y --.
(i )点,D M 在椭圆C 上,221114x y ∴+=,2
2
2214x y +=,
221114x y ∴=-,2
2
2214
x y =-,
22
1222
121212122222
12121212114414
x x y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭∴=⋅===--+--. ……6分 (ii )不妨设10k >,20k <,1214
k k =-,112k ∴=,21
2k =-,
直线DM 过点()0,m ,直线DN 过点()0,n ,
∴直线1:2DM y x m =
+,1
:2
DN y x n =-+,
由221214
y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得:22 2220x mx m ++-=,21222x x m ∴=-, 由221214
y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得:222220x nx n -+-=,21222x x n ∴-=-, ()2212122240x x x x m n ∴+-=+-=,即222m n +=,
22m n ∴+为定值2. ……12分
22.(1)根据表中数据,销售单价每增加1百元,日销量减少10件,所以销售单价与销售量为一次函数的关系,故可设(),f x kx b =+
由4110
5100,
k b k b +=⎧⎨
+=⎩解得10,150,k b =-= 即
()10150,f x x =-+ ……2分
又根据表中数据,日销售量和进货浮动价的积为一个固定常数90,考虑其为一个反比例函
数
关
系
,
设
(),m d y y
=
由题意可得
90,
m = 于是
90
(),d y y
=
……4分 (2)由150100
,0x x ->⎧⎨
>⎩
可得015x <<,设单件产品的利润为P 百元, 则90909
(()3)333,()1501015P x d y x x x f x x x
=-+=-
-=--=---- 因为015x <<, 所以150x ->,
所
以
9
(15)12,15P x x
=--+
+- ……8分
又9156,15x x -+
≥=-
当且仅当9
15=15x x
--即12x =时等号成立,
所
以
max 6126,P =-+= ……11分
答:单件产品售价定为1200元时,单件产品的利润最大,为600元. ……12分。