2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习：三角恒等变换与解三角形(注意命题点的区分度)

寒假作业(八) 三角恒等变换与解三角形(注意命题点的区分度)
一、选择题
1．(2017·石家庄质检)若sin (π－α)＝13，且π
2≤α≤π，则sin 2α的值为( )
A ．－4
2
9
B ．－229
C.
229
D.
429
解析：选A 因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以 cos α＝－22
3，所以 sin 2
α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－223＝－429.
2．设角θ的终边过点(2,3)，则 tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＝( )
A.15 B ．－15
C ．5
D ．－5
解析：选A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝3
2，故 tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝
32－1
1＋
32
＝1
5. 3．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.
322
B.
332
C.32
D ．3 3
解析：选B 由题意及余弦定理可得
cos A ＝
AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC
＝1
2
， ∴sin A ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝32， ∴边AC 上的高h ＝AB ·sin A ＝
3
3
2
.
4．(2017·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin
A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )
A.12
B.14 C ．1 D ．2
解析：选A 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝1
2(负值舍去)，由
bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝1
2
.
5．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos A ＝7
8，c －a ＝2，b ＝
3，则a ＝( )
A ．2
B.52 C ．3
D.72
解析：选A 由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2·3·(a ＋2)·
7
8
⇒a ＝2，故选A.
6．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝1
7，那么sin 2α＋cos 2α 的值为( )
A ．－15 B.7
5
C ．－75 D.34
解析：选A 由tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2α＋π4＝17，知tan 2α＋11－tan 2α＝17，
∴tan 2α＝－34.∵2α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，∴sin 2α＝35，cos 2α＝－45，∴sin 2α＋cos 2α＝－1
5，
故选A.
7．若△ABC 的三个内角满足sin B －sin A sin B －sin C ＝c
a ＋
b ，则A ＝( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.π3或2π3
解析：选B 由sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝c a ＋b ，整理得b 2＋c 2
－a 2＝bc ，所以
cos A ＝
b 2＋
c 2－a 22bc
＝1
2，由A 为三角形的内角，知A ＝π
3
. 8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝
π3
，则△ABC 的面积是( )
A ．3 B.
932
C.
3
32
D ．3 3
解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab
＝
2ab －6
2ab
＝1
2
，∴ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝33
2
.
9．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4
5，且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4＝( )
A ．7
B.17 C ．－7
D ．－17
解析：选B sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝4
5
，
即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－3
4，∴tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17.
10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若cos A ＋sin A －
2
cos B ＋sin B ＝0，则
a ＋
b c
的值是( )
A ．1 B.
2
C.
3
D ．2
解析：选B 由cos A ＋sin A －2
cos B ＋sin B
＝0，
得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4·2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
B ＋π4＝2，
即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
B ＋π4＝1，
又⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4≤1，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫B ＋π4＝1，A ＝B ＝π4，C ＝π2，所以a ＝b ＝22c ，a ＋b
c ＝ 2.
故选B.
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB ―→·BC ―→
＞0，a ＝3
2
，则b ＋c 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32
B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32 D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，32 解析：选B 由
b 2＋
c 2－a 2＝bc
得，cos A ＝
b 2＋
c 2－a 22bc
＝1
2，则A ＝π3
，由AB ―→·BC ―→
＞0知，B 为钝角，又a
sin A ＝1，则b ＝sin B ，c ＝sin C ，b ＋c ＝sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
2π3－B ＝32sin B ＋3
2
cos B ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
B ＋π6，
∵π2＜B ＜2π3，∴2π3＜B ＋π6＜5π6
， ∴12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＜32，b ＋c ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫32，32. 12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sin B ＝13sin C,3b
＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，设△ABC 的面积为S ，p ＝
2a －S ，则p 的最大值是( )
A.
529
B.729
C. 2
D.
928
解析：选D 在△ABC 中，由sin A －sin B ＝1
3sin C 结合正弦定理可得，c ＝3a －3b ，
再根据3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，可得a ＝c,1≤a ≤3，由余弦定理可得b 2＝
4a 29
＝a 2＋a 2－
2a ·a cos B ⇒cos B ＝79，可得sin B ＝429，所以S ＝12ac sin B ＝22
9
a 2，故p ＝
2a －S ＝
2a －
229
a 2，根据二次函数的图象可得，当
a ＝94时，p 取得最大值928
.
二、填空题
13．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝
6，c ＝3，则A ＝________. 解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin C c
＝
6sin 60°3＝2
2
， 因为0°＜B ＜180°， 所以B ＝45°或135°.
因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°， 所以A ＝180°－60°－45°＝75°. 答案：75°
14．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z)，且cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x ＝－3
5，则cos 2x 的值是
________．
解析：∵x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫
2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z)，
∴cos x －sin x ＞0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2
2(cos x －sin x )＞0，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝4
5
，
又cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4－x ，
∴cos 2x ＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－24
25.
答案：－24
25
15.(2017·福州质检)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车
在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．
参考数据：
2≈1.414，
5≈2.236.
解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v ，在Rt △ADB 中，AB ＝
AD
cos ∠BAD ＝AD cos 60°＝200.在Rt △ADC 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100
cos 45°
＝100 2.在△ABC 中，由余弦
定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×
100
2×200×cos 135°，所以v ＝50
10
7
≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.
答案：22.6
16．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若3cos A ＋sin A
3sin A －cos A ＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－7π12，则2cos B ＋sin
2C 的最大值为________．
解析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝－sin ⎝
⎛⎭⎪
⎫
A ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫A ＋π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝tan ⎝
⎛⎭⎪
⎫－A －π3＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－7π12，
所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝3π12＝π
4，
所以tan A ＝tan π
4
＝1，
所以2cos B ＋sin 2C ＝2cos B ＋sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B
＝2cos B ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2－2B ＝2cos B －cos 2B
＝2cos B －2cos 2B ＋1＝－2
⎝
⎛⎭⎪⎫cos B －122＋3
2，
故当cos B ＝12时，有最大值3
2.
答案：3
2
三、解答题
17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，B ＝π
2＋A .
(1)求tan B 的值； (2)求c 的值．
解：(1)∵a ＝3，b ＝4，∴4sin A ＝3sin B . 由B ＝π
2＋A 得，cos B ＝－sin A ，
∴sin A ＝－cos B ，∴tan B ＝－4
3.
(2)∵tan B ＝－43，B ＝π
2＋A ，
∴sin B ＝45，cos B ＝－3
5.
又C ＝π－(A ＋B )，
∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2B －π2，
∴sin C ＝－cos 2B ＝－(cos 2B －sin 2B )
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫925－1625＝7
25
.
∴c ＝b ·sin C
sin B ＝4×
7
2545
＝75
.
18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝ ⎛⎭
⎪⎫
54c －a cos B ＝b cos
A .
(1)若sin A ＝2
5，a ＋b ＝10，求a ；
(2)若b ＝3
5，a ＝5，求△ABC 的面积S .
解：∵⎝ ⎛⎭
⎪⎫
54c －a cos B ＝b cos A ，
∴由正弦定理得⎝ ⎛⎭
⎪⎫
54sin C －sin A ·cos B ＝sin B cos A ，
即有5
4sin C cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，
则5
4sin C cos B ＝sin C . ∵sin C >0，∴cos B ＝4
5.
(1)由cos B ＝45，得sin B ＝3
5，
∵sin A ＝25，∴a b ＝sin A sin B ＝2
3，
又a ＋b ＝10，解得a ＝4. (2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝3
5，a ＝5，
∴45＝25＋c 2－8c ，即c 2－8c －20＝0， 解得c ＝10或c ＝－2(舍去)，
∴S ＝12ac sin B ＝12×5×10×3
5
＝15.
19．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 2
3sin A
.
(1)求sin B sin C ；
(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 2
3sin A ，
即1
2c sin B ＝a
3sin A
.
由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A .
故sin B sin C ＝2
3
.
(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－1
2，
即cos(B ＋C )＝－1
2.
所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π
3
.
由题设得12bc sin A ＝a 2
3sin A
，即bc ＝8.
由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 得b ＋c ＝
33.
故△ABC 的周长为3＋
33.
20．(2017·贵阳检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2
－a 2＝bc .
第 11 页 共 11 页 (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝3，求BC 边上的中线AM 的最大值． 解：(1)由b 2＋c 2－a 2＝bc ，
得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12
， 又0<A <π，∴A ＝π3
. (2)∵AM 是BC 边上的中线，
∴在△ABM 中，
AM 2＋34－2AM ·32
·cos ∠AMB ＝c 2，① 在△ACM 中，
AM 2＋34－2AM ·32
·cos ∠AMC ＝b 2，② ∵∠AMB ＋∠AMC ＝π，
∴cos ∠AMB ＋cos ∠AMC ＝0，
由①＋②得AM 2＝
b 2＋
c 22－34
. 又a ＝3， ∴b 2＋c 2－3＝bc ≤
b 2＋
c 22，当且仅当“b ＝c ”时等号成立， ∴b 2＋c 2≤6，
∴AM 2＝b 2＋c 22－34≤9
4，即AM ≤32
， ∴BC 边上的中线AM 的最大值为32
.。