四年级 奥数 讲义 16 学子 教案库 2、精英教师

第二讲 加法原理
本讲主要教学目标有
①使学生掌握加法原理的基本内容；
②掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；
③培养学生对分类讨论问题的能力，了解分类主要方法和遵循的主要原则.
加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯.
答案提示:先分尖角向上与向下两类：
向上的有：1个三角形组成的：10个； 4个三角形组成的：6个； 9个三角形组成的：3个； 16个三角形组成的：1个。

向下的有：1个三角形组成的：6个； 4个三角形组成的：1个。

所以，一共有:27个。

专题精讲
教学目标
无论自然界还是学习生活中，事物的组成往往是分门别类的，例如解决一件问题的往往不只一类途径，每一类途径往往又包含多种方法，如果要想知道一共有多少种解决方法，就需要用到加法原理.
加法原理：一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有m 1种不同做法，第二类方法中有m 2种不同做法 ，…，第k 类方法中有m k 种不同的做法，则完成这件事共有N= m 1 + m 2 +…+m k 种不同的方法.
加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.
想
挑 战
吗？
数一数，下图中有多少个三角形？
Ⅰ、分类讨论问题中加法原理应用
【例1】（★★）学校四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人。

从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？
分析：解决这个问题有3类办法：分别从一班、二班、三班男生中选1人。

从四年一班中任选1人有18种选法：同理，从二班20名中中任选1人有关20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；所以根据加法原理，从四年级3个班中任意选一名男生当升旗手的方法有：
18+20+16=54（种）
[拓展1]学校组织读书活动，要求每个同学读一本书，小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本，那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？
分析：小明选一本书有三类方法，根据加法原理小明借一本书有150+200+100=450种方法.
[拓展2]小明如果要选两本书不同类的书有多少种选法？
分析：两本不同类的书可以有外语书+科技书、外语书+小说、科技书+小说三类组合，各类组合分别有150×200=30000种、150×100=15000种、200×100=20000种，一共有65000种选法.
思考：小明如果要选三本不同类的书有多少种选法，需要使用加法原理吗？
【例2】（★★）从3，5，7，11，19五个数中，每次取出两个数，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个真分数？
分析：如果3作分子：5，7，11，19都可以作为分母，四个真分数；
如果5作分子：7，11，19可以做分母，三个真分数；
如果7作分子：11，19可以做分母，两个真分数；
如果11作分子：只有19可以作分母，一个分数．
4+3+2+1=10，可以组成10个真分数．
[评注]注意到一种“对称性”，这里的真分数与假分数是一样多的。

所以，只要考虑到“五排二”的关系，再除以2；或者考虑到“五选二”，只要有一组，必有一个真分数。

所以这道题运用乘法原理也可以解：
5×4÷（2×1）=10.
[拓展]从3、5、7、10、12五个数中，每次取出两个数，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个最简真分数？
分析：如果3作分子：5、7、10都可以作为分母，三个最简真分数；
如果5作分子：7、12都可以作为分母，二个最简真分数；
如果7作分子：10、12都可以作分母，二个最简真分数；
如果10作分子：没有哪个数能作分母使成为最简真分数.
所以一共可以组成3+2+2=7个真分数.
【例3】（★★★）1995的数字和是1＋9＋9＋5=24．
问：小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个?
分析：小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为24，只需其余三位数字和是23．因为十位、个位数字和最多为9＋9=18，因此，百位数字至少是5．于是
百位为5时，只有1599一个；
百位为6时，只有1689，1698两个；
百位为7时，只有1779，1788，1797三个；
百位为8时，只有1869，1878，1887，1896四个；
百位为9时，只有1959，1968，1977，1986，1995五个；
总计共1＋2＋3＋4＋5=15个．
【例4】（★★★★）某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成。

现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会。

从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？
分析：分两类情况讨论：
1．都会的这1人被挑选中，则有：
（1）如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有3种方法，再选2名电工也有3种方法；所以有3×3=9（种）。

（2）同样，这人做电工，也有9种方法。

2．都会的这一人没有被挑选，则也有3×3种方法。

所以一共有9+9+9=27(种)方法。

【例5】（★★★★）把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3 个人，每人至少1支，问有多少种方法？分析：
（二）将铅笔排成一排，用两块挡板将这一排铅笔隔开成三份，然后分与甲、乙、丙挡板可插入的位置一共有7-1=6个，6个位置中安插两个不分次序的挡板一共有6×5÷2=15种处理分东西的问题用隔板（挡板）法可以顺利解决.
[拓展]如果把20支铅笔，分给甲、乙、丙三人，每人至少3支，可以有多少种不同的分法？
分析：因为每人至少三支，所以可以将20支铅笔中的2×3=6支笔先分与甲、乙、丙三人，剩下的14支笔可以用隔板法分成三份再分与三人，从13个隔板位置中选出两个，一共有13×12÷（2×1）=78种方法.
【例6】（★★★★）三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？
分析：方法一：把14分为三个不小于3的整数和，有以下分类：
（1）3，3，8；（2）3，4，7；（3）3，5，6；（4）4，4，6；（5）4，5，5.
第（1），（4），（5）种分法中，都有重复数字出现，以（1）为例，我们可以先从三所学校中选出一所出8个节目，有3种选法，这样另外两所一定是各出3个节目，即在（1）的条件下，三所学校演出节目数的不同情况有3种，（4），（5）同理，也各有3种.
第（2），（3）种分法中，没有重复数字出现，三个学校各对应一个节目数，并且这些数字是不相同
A=6种不同的情况.
的，所以就是一个全排列问题，每种分法各包含3
3
利用分类计数原理，共有3+3+3+6+6=21种不同的情况.
方法二：由于每校至少演出3个节目，所以可以由每所学校先分别出2个节目，剩下的8个节目再由3所学校分，也就是在8个物体间插入2个挡板，8个物体一共有7个间隔，这样的话一共有7×6÷（2×1）=21种方法.
Ⅱ、标号、图示在加法原理中的应用
【例7】（★★）如图所示，沿线段从A 走最短路线到B 有多少种走法？
分析：图中B 在A 的右上方，因此从A 出发，只能向上或者向右才能使路
线最短，那么反过来想，如果到达了某一个点，也只有两种可能：要么是从这个点左边的点来的，要么是从这个点下边的点来的.
那么，如果最后到达了B ，只有两种可能：或者从C 来到B ，或者经D 来到B 点，因此，到达B 的走法数目就应该是到达C 点的走法数和到达D 点的走法数之和，而对于到达C 的走法，又等于到达E 和到达F 的走法之
和，到达D 的走法也等于到达F 和到达G 的走法之和，这样我们就归纳出：到达任何一点的走法都等于到它左侧点走法数与到它下侧点走法数之和，根据加法原理，我们可以返过来从A 点开始，向右向上逐步求出到达各点的走法数.如图所示，使用标号方法得到从A 到B 共有10种不同的走法.
【例8】（★★★）在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A 到B 的最短路线有多少种？
分析：因为B 在A 在左下方，由标号法可知，从A 到B 的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和.有积水的街道不可能有路线经过，可以认为积水点的走法数是0.接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数.如图，从A 到B 的最短路线有22条.
[拓展]： 如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续（即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻），这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法。

我 们 学 习 好
G D
F C E B
A 10634
3211111B
A
们学习好玩
学习好玩的
习好玩的数
好玩的数学
分析：第一个字只能选位于左上角的“我”，以后每一个字都只能选择前面那个字的下方或右方的字，所以本题也可以使用标号法来解：（在格子里标数）共70种不同的读法。

【例9】（★★★）A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种．
分析：如图，A第一次传给B，到第五次传回A有
5种不同方式．
同理，A第一次传给C，也有5种不同方式．
所以，不同的传球方式共有10种．
【例10】（★★★★）从北京出发有到达东京、莫斯科、巴黎和悉尼的
航线，其他城市间的航线如图所示（虚线表示在地球背面的航线），则从
北京出发沿航线到达其他所有城市各一次的所有不同路线有多少？
分析：第一站到东京的路线有10条：北京
巴黎
东京
悉尼
纽约
莫斯科
⎧⎪⎪⎪
→→⎧⎪→⎨⎪
→→⎩⎪
⎪⎧→⎧→⎪⎨⎪→⎪⎪⎩→→→⎨⎨
→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪
→⎩⎩⎪
⎪⎧→⎧⎪→⎪⎨→⎪⎪⎩→⎨⎪
→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪
→⎩⎩⎩
莫斯科巴黎悉尼
纽约悉尼巴黎莫斯科巴黎悉尼纽约悉尼巴黎
北京东京莫斯科纽约悉尼
巴黎悉尼纽约巴黎莫斯科纽约莫斯科巴黎悉尼纽约莫斯科巴黎莫斯科纽约 同理，第一站到悉尼、巴黎、莫斯科的路线各有10条，不同的路线共有40条.
Ⅲ、加法原理与简单递推
【例11】（★★★）一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？
分析：例如登上一级台阶有1种走法，登上第二级台阶有2种走法(一步走两级或者走两步每步走一级)；由此得出登上第三级台阶的走法数为1+2=3．又知道走上第四级台阶的走法总数也等于登上第三级和第二级台阶的走法总数之和，又可以算出登上第四级台阶共有2+3=5种方法，依此类推： 1级 2级 3级 4级 5级 6级 7级 8级 9级 10级 1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
所以，登上第10级台阶的走法数为89．
【例12】（★★★）有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？
分析：取1根火柴有1种方法，取2根火柴有2种方法，取3根火柴有4种取法，以后取任意根火柴的种数等于取到前三根火柴所有情况之和，以此类推，参照上题列表如下： 1根 2根 3根 4根 5根 6根 7根 8根 9根 10根 11根 12根 1
2
4
7
13
24
44
81
149
274
504
927
取完这堆火柴一共有927种方法.
我们接触的计数问题，解题过程中往往不仅需要用到加法原理，还要用到乘法原理和其他的一些数学方法，加法原理必须和乘法原理相互配合综合使用才能发挥作用，在下一讲中我们将具体研究对加法
专题展望
原理和乘法原理的综合运用.
练习二
1、（★★★例2）从2，3，4，5，6，10，11，12这七个数中，取出两个数组成一个最简真分数，共有多少种取法？
分析：如果以2作分子：3、5、11都可以做分母；如果以3作分子：4、5、10、11都可以做分母；
如果以4作分子：5、11可以做分母；如果以5作分子：6、11、12可以做分母；如果以6作分子：11可以做分母；如果以10作分子：11可以做分母；如果以11作分子：12可以作分母；
一共有15种取法.
2、（★★例3）三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：一共有多少种不同的订法？
分析：甲厂可以订99、100、101份报纸三种方法.
如果甲厂订99份，乙厂有订100份和101份两种方法，丙厂随之而定.
如果甲厂订100份，乙厂有订99份、100份和101份三种方法，丙厂随之而定.
如果甲厂订101份，乙厂有订99份和100份两种方法，丙厂随之而定.
一共有2+3+2=7种订报方法.
3、（★★例8）阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接
去图书馆；第二天他们先去公园再去图书馆；第三天公园修路不能通行．问：
这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？
分析：教师要帮助学生理解三天路线有什么不同？每天的路线有无限制条件？
若有，是什么？仍然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有16条；第
二天（必须经过公园）共有8 条；第三天（必须不经过公园）共有8条．
4、（★★★奥数网原创例11）一批相同的货物，分装6个相同的集装箱，由一个车队运到目的地，已知，这个车队一共就3辆同型号车（每辆车只能拖运一个集装箱），如果要求运送次数不多于三趟，那么一共有多少种车辆安排方法？如果不要求运送趟数，有多少种车辆安排方法？
分析：（1）如果分两趟就运完，只有一种方法；分三趟，如果第一趟运3个集装箱，那么安排第二第三趟有2种方法，如果第一趟运2个集装箱，那么有3种方法，如果第一趟运1个集装箱，那么有2种方
法，所以一共有1+2+3+2=8种方法.
（2）如图列表：第三项以后每项等于前三项的和，一共有24种方法.
1 2 3 4 5 6
1 2 4 7 13 24
5、（★★★例1）由数字2、4、
6、8可以组成多少个数？
分析：分成四类：（注意没有要求各不相同）
一位数：有4个；
二位数：有4×4个；
三位数：有4×4×4个；
四位数：有4×4×4×4个；
所以，共有340个。

数学知识
一年12个月，有7个大月，每月31天；4个小月，每月30天；还有二月平年只有28天，闰年29天.为什么各月的天数不一样呢？
公元前46年，罗马统帅儒略· 恺撒指定历法.由于他出生在7月，为了表示他的伟大，决定将7月改为“儒略月”，连同所有的单月都规定为31天，双月为30天.这样一年多出一天，2月是古罗马处死犯人的月份，为了减少处死的人数，将2月减少1天，为29天.
恺撒的继承人奥古斯都生在8月，他仿照恺撒的做法，把8月增加了1天，定为“奥古斯都月”，并把10月、12月也改为31天，将9月、11月改为30天.全年又多出了1天，他又从2月减少了1天，于是2月变成了28天，到闰年才29天.
这样沿袭下来，就有7月前单月为大月，7月后双月为大月，二月28天，各月天数不一样，原来是人为的规定.。