高考数学二轮复习专题八系列4选讲第1讲坐标系与参数方程专题突破讲义文

第1讲 坐标系与参数方程
高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.
热点一 极坐标与直角坐标的互化
直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，错误!
例1 (2017届江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模)在极坐标系中，已知点A ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π2，
点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上．当线段AB 最短时，求点B 的极坐标．
解 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A ⎝
⎛⎭
⎪⎫2，π2
的直角坐标为
(0,2)，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0.
当线段AB 最短时，点B 为直线x －y ＋2＝0与直线l 的交点，
解⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝1.
所以点B 的直角坐标为(－1,1)． 所以点B 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，34π. 思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．
(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
跟踪演练1 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2
＋(y －2)2
＝1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R )，设C 2，C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．
解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝π4代入ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2
－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2， 所以|MN |＝ρ1－ρ2＝ 2.因为C 2的半径为1， 所以△C 2MN 的面积为12×2×1×sin 45°＝1
2.
热点二 参数方程与普通方程的互化 1．直线的参数方程
过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x0＋tcos α，
y ＝y0＋tsin α(t 为参数)．
2．圆的参数方程
圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x0＋rcos θ，
y ＝y0＋rsin θ(θ为参数，
0≤θ≤2π)． 3．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆x2a2＋y2
b2＝1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．
(2)抛物线y
2
＝2px (p >0)的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2pt2，
y ＝2pt (t 为参数)．
例2 (2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos θ，
y ＝sin θ (θ为参。