人教版九级上册 数学 课件二次函数
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（2）若果园橙子的总产量为y个，请你写出y与x之间的关系式，并注 明x的取值范围。
y （600 5x）（100 x） 5x2 100x 60000（0<x≤50）
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。
重点、难点知识★▲
想一想：确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是什么？
归纳：确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是： 1.审清题意，找出实际问题中的已知量（常量）和未知量（变量），并 分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言。 2. 建立二次函数表达式，注意要将表达式化简为y=ax²+bx+c（a≠0） 的形式。 3.注意自变量x的取值范围，在一般情况下，二次函数的自变量可以取 任意实数，但在实际问题中，自变量的取值范围要使实际问题有意义。
二次函数
（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常 数，a≠0）。 （2）正比例函数的一般形式是：y=kx（k≠0，k为常数）。 （3）一次函数的一般形式是：y=kx+b（k≠0，k、b为常数）。
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
活动1 通过实例，引入概念。
请用适当的函数解析式表示下列问题情景中的两个变量y与x之间的关系。
（3）当二次项系数是待定字母时，求出字母的值必须满足二次项 系数不为0这一条件。
人教版九 年级上 册 数学 课件 22.1.1 二次函 数(共1 9张PPT )
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谢谢
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2∶1，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的
通道，请写出蔬菜种植面积与矩形温室的宽之间的函数关系式。
解：设蔬菜种植区域的面积为ym2，矩形温室的宽为xm， 则矩形温室的长为2xm。 根据题意得y=（2x-4）（x-2）， 即y=2x2-8x+8。
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重难点突破
（2）判断一个函数是否为二次函数，即要看这个函数的关系式化 简后是否同时满足二次函数定义中的三个条件： ①所表示的函数的关系式为整式； ②函数的关系式有唯一自变量； ③关系式自变量的最高次数为2且二次项系数不等于0。
综上所述，a=-1。
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。
重点、难点知识★▲
活动1 通过实例，探究归纳。
例1：某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高产量（果园最多能种150棵橙子树），但是 如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有橙子树_（__1__0_0_+__x_）____ 棵，这时平均每棵树结橙子_（___6_0_0__-5__x_）____个。
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知识梳理
（1）二次函数的概念：把形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数， a≠0）的函数叫做x的二次函数。 （2）确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是： ①审清题意，分析已知量和未知量之间的关系，将文字或图形语言 转化为数学符号语言； ②结合题中的基本数量关系，建立二次函数表达式； ③写出自变量x的取值范围。
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。 练习：
重点、难点知识★▲
某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可
卖出20件，现需降价处理，且经市场调查发现：每件服装每降价2元，每
天可多卖出1件。在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出
服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ A ）。
例2：如图所示，一个窗户的上面是半圆，下面是矩形，矩形的一边 长1.2m。 （1）窗户透光的面积S（m²）关于上面半圆半径r（m）的函数关系式。 （2）求当上面半圆直径为1m时，窗户的面积。（π≈3）
解：（1）
S 1.2 2r 1 r2 2.4r 1 r2
2
2
（2）当r=1时，S 2.41 1 312 2.4 1.5 3.（9 m2）
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
活动2 例题讲解，应用概念。
例1：下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=2x-1（2） y
2 3
x2（3）y=4x2-3x+1（4）y
3 x2
+4
（5）y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）
（6）y=6x2-3x（1+2x）-5（7）
y
3x2
2 5
x
解：（1）是一次函数。（2）是二次函数。（3）是二次函数。（4） 右边不是整式，不是二次函数。（5）缺条件a≠0，不是二次函数。（6）整 理后为y=-3x-5，不是二次函数。（7）是二次函数。
（1）面积y（cm2）与圆的半径x（cm）。
y x2
（2）菱形两条对角线长的和为26cm，cm2。 y 1 （x 26 x） 1 x2 13x
2
2
探究一：二次函数的概念及其解析式。
活动1 通过实例，引入概念。
重点知识★
（3）王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息 自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王 先生共得本息和y元。
（4）整理得y=2x-5，不是。
【思路点拨】（1）要看化简后的结果。 （2）二次函数必须为整式。
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
例2：m取何值时，函数y （m2 1）x m（m1） 3x 2是二次函数？
解：∵函数 y （m2 1）x m（m1） 3x 是2 二次函数， ∴m2-m=2， 解得m1=2，m2=-1。 但当m=-1时，m2-1=0； 而m=2时，m2-1≠0。 综上所述，m=2。
y 2000（0 1 x）2 20000x2 40000x 20000
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
归纳： 1. 二次函数的概念：把形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 的函数叫做x的二次函数，其中：ax2为二次项，a为二次项系数；bx 为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 2.二次函数的解析式： 二次函数的一般式：y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）。 特殊式：（1）y=ax2 （a≠0，b=0，c=0）； （2）y=ax2+c （a≠0，b=0，c≠0）； （3）y=ax2+bx （a≠0，b≠0，c=0）。
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
活动2 例题讲解，应用概念。
例1：下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=2x-1（2） y
2 3
x2（3）y=4x2-3x+1（4）y
3 x2
+4
（5）y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）
（6）y=6x2-3x（1+2x）-5（7）
y
3x2
2 5
x
【思路点拨】解答这类问题的一般方法是：先把各关系式整理， 然后再根据二次函数的定义进行判断。 判断时要注意：（1）化简后 二次项系数不等于0；（2）所表示的函数的关系式为整式。
A. y 1 x2 10x 120（0 0 x 60） B.
2
C. y 1 x2 10x 125（0 0 x 60） D.
2
y 1 x2 10x 120（0 0 x 60） 2
y 1 x2 10x 125（0 0 x 60） 2
解：由题意有：y （210 x 150）（20 x 1） 1 x2 10x 1200（0<x<60） 。
【思路点拨】解答这类问题，主要是根据二次函数的定义，二次函 数的解析式中，自变量的最高次数是2，同时二次项系数不能为零，列方 程（方程组或不等式）求解。
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
练习：已知 y a 3 xa22a1 2 是二次函数，则a=___-_1___。
【思路点拨】 由题意得a2-2a-1=2，解得a1=3，a2=-1；且a-3≠0，即a≠3。
2
2
【思路点拨】解答这类问题，根据问题的实际，先把其中包含的数量表示出
来，再结合题目所给的基本数量关系，把相等关系表示出来，最后整理即可。
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探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。
重点、难点知识★▲
活动2 变式练习，学会应用。
2
【思路点拨】由窗户透光的面积等于半圆面积+矩形面积求。
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探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。
重点、难点知识★▲
练习：
某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
练习：下列函数中是二次函数的有（ B ）。
（1） y 3x2 4
（2） y x2 1
x
（3）y （x 2）(x 3） （4）y （x 2）（x 2）（x 1）2
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解：（1）是。 （2）右边含分式，不是。
（3）展开后为 y x2 x 6，是。
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重难点突破
（1）学习二次函数的定义，注意： ①等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； ②a，b，c为常数，且a≠0； ③等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项； ④x的取值范围是任意实数。
y （600 5x）（100 x） 5x2 100x 60000（0<x≤50）
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。
重点、难点知识★▲
想一想：确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是什么？
归纳：确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是： 1.审清题意，找出实际问题中的已知量（常量）和未知量（变量），并 分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言。 2. 建立二次函数表达式，注意要将表达式化简为y=ax²+bx+c（a≠0） 的形式。 3.注意自变量x的取值范围，在一般情况下，二次函数的自变量可以取 任意实数，但在实际问题中，自变量的取值范围要使实际问题有意义。
二次函数
（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常 数，a≠0）。 （2）正比例函数的一般形式是：y=kx（k≠0，k为常数）。 （3）一次函数的一般形式是：y=kx+b（k≠0，k、b为常数）。
探究一：二次函数的概念及其解析式。
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活动1 通过实例，引入概念。
请用适当的函数解析式表示下列问题情景中的两个变量y与x之间的关系。
（3）当二次项系数是待定字母时，求出字母的值必须满足二次项 系数不为0这一条件。
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2∶1，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的
通道，请写出蔬菜种植面积与矩形温室的宽之间的函数关系式。
解：设蔬菜种植区域的面积为ym2，矩形温室的宽为xm， 则矩形温室的长为2xm。 根据题意得y=（2x-4）（x-2）， 即y=2x2-8x+8。
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重难点突破
（2）判断一个函数是否为二次函数，即要看这个函数的关系式化 简后是否同时满足二次函数定义中的三个条件： ①所表示的函数的关系式为整式； ②函数的关系式有唯一自变量； ③关系式自变量的最高次数为2且二次项系数不等于0。
综上所述，a=-1。
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。
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活动1 通过实例，探究归纳。
例1：某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高产量（果园最多能种150棵橙子树），但是 如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有橙子树_（__1__0_0_+__x_）____ 棵，这时平均每棵树结橙子_（___6_0_0__-5__x_）____个。
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知识梳理
（1）二次函数的概念：把形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数， a≠0）的函数叫做x的二次函数。 （2）确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是： ①审清题意，分析已知量和未知量之间的关系，将文字或图形语言 转化为数学符号语言； ②结合题中的基本数量关系，建立二次函数表达式； ③写出自变量x的取值范围。
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。 练习：
重点、难点知识★▲
某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可
卖出20件，现需降价处理，且经市场调查发现：每件服装每降价2元，每
天可多卖出1件。在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出
服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ A ）。
例2：如图所示，一个窗户的上面是半圆，下面是矩形，矩形的一边 长1.2m。 （1）窗户透光的面积S（m²）关于上面半圆半径r（m）的函数关系式。 （2）求当上面半圆直径为1m时，窗户的面积。（π≈3）
解：（1）
S 1.2 2r 1 r2 2.4r 1 r2
2
2
（2）当r=1时，S 2.41 1 312 2.4 1.5 3.（9 m2）
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
活动2 例题讲解，应用概念。
例1：下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=2x-1（2） y
2 3
x2（3）y=4x2-3x+1（4）y
3 x2
+4
（5）y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）
（6）y=6x2-3x（1+2x）-5（7）
y
3x2
2 5
x
解：（1）是一次函数。（2）是二次函数。（3）是二次函数。（4） 右边不是整式，不是二次函数。（5）缺条件a≠0，不是二次函数。（6）整 理后为y=-3x-5，不是二次函数。（7）是二次函数。
（1）面积y（cm2）与圆的半径x（cm）。
y x2
（2）菱形两条对角线长的和为26cm，cm2。 y 1 （x 26 x） 1 x2 13x
2
2
探究一：二次函数的概念及其解析式。
活动1 通过实例，引入概念。
重点知识★
（3）王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息 自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王 先生共得本息和y元。
（4）整理得y=2x-5，不是。
【思路点拨】（1）要看化简后的结果。 （2）二次函数必须为整式。
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
例2：m取何值时，函数y （m2 1）x m（m1） 3x 2是二次函数？
解：∵函数 y （m2 1）x m（m1） 3x 是2 二次函数， ∴m2-m=2， 解得m1=2，m2=-1。 但当m=-1时，m2-1=0； 而m=2时，m2-1≠0。 综上所述，m=2。
y 2000（0 1 x）2 20000x2 40000x 20000
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？
探究一：二次函数的概念及其解析式。
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归纳： 1. 二次函数的概念：把形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 的函数叫做x的二次函数，其中：ax2为二次项，a为二次项系数；bx 为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 2.二次函数的解析式： 二次函数的一般式：y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）。 特殊式：（1）y=ax2 （a≠0，b=0，c=0）； （2）y=ax2+c （a≠0，b=0，c≠0）； （3）y=ax2+bx （a≠0，b≠0，c=0）。
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
活动2 例题讲解，应用概念。
例1：下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=2x-1（2） y
2 3
x2（3）y=4x2-3x+1（4）y
3 x2
+4
（5）y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）
（6）y=6x2-3x（1+2x）-5（7）
y
3x2
2 5
x
【思路点拨】解答这类问题的一般方法是：先把各关系式整理， 然后再根据二次函数的定义进行判断。 判断时要注意：（1）化简后 二次项系数不等于0；（2）所表示的函数的关系式为整式。
A. y 1 x2 10x 120（0 0 x 60） B.
2
C. y 1 x2 10x 125（0 0 x 60） D.
2
y 1 x2 10x 120（0 0 x 60） 2
y 1 x2 10x 125（0 0 x 60） 2
解：由题意有：y （210 x 150）（20 x 1） 1 x2 10x 1200（0<x<60） 。
【思路点拨】解答这类问题，主要是根据二次函数的定义，二次函 数的解析式中，自变量的最高次数是2，同时二次项系数不能为零，列方 程（方程组或不等式）求解。
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
练习：已知 y a 3 xa22a1 2 是二次函数，则a=___-_1___。
【思路点拨】 由题意得a2-2a-1=2，解得a1=3，a2=-1；且a-3≠0，即a≠3。
2
2
【思路点拨】解答这类问题，根据问题的实际，先把其中包含的数量表示出
来，再结合题目所给的基本数量关系，把相等关系表示出来，最后整理即可。
人教版九 年级上 册 数学 课件 22.1.1 二次函 数(共1 9张PPT )
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。
重点、难点知识★▲
活动2 变式练习，学会应用。
2
【思路点拨】由窗户透光的面积等于半圆面积+矩形面积求。
人教版九 年级上 册 数学 课件 22.1.1 二次函 数(共1 9张PPT )
人教版九 年级上 册 数学 课件 22.1.1 二次函 数(共1 9张PPT )
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。
重点、难点知识★▲
练习：
某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
练习：下列函数中是二次函数的有（ B ）。
（1） y 3x2 4
（2） y x2 1
x
（3）y （x 2）(x 3） （4）y （x 2）（x 2）（x 1）2
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解：（1）是。 （2）右边含分式，不是。
（3）展开后为 y x2 x 6，是。
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重难点突破
（1）学习二次函数的定义，注意： ①等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； ②a，b，c为常数，且a≠0； ③等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项； ④x的取值范围是任意实数。