浙江初三初中数学月考试卷带答案解析

浙江初三初中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.下列判断不正确的是（ ）
A ．所有等腰直角三角形都相似
B ．所有直角三角形都相似
C ．所有正六边形都相似
D ．所有等边三角形都相似
2.下列运算正确的是（ ）
A ．（a 4）3=a 7
B ．a 6a 3=a 2
C ．（2ab ）3=6a 3b 3
D ．-a 5a 5=-a 10
3.命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx+1=0，必有实数解．”是假命题．则在下列选项中，可以作为反例的是（ ）
A ．b=﹣3
B ．b=﹣2
C ．b=﹣1
D ．b=2
4.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ：
S △ABF =4：25，则DE ：EC=（ ）
A ．2：5
B ．2：3
C ．3：5
D ．3：2
5.函数（a 为常数）的图象上有三点（﹣4，y 1），（﹣1，y 2），（2，y 3），则函数值y 1，y 2，y 3的大
小关系是（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2
B ．y 3＜y 2＜y 1
C ．y 1＜y 2＜y 3
D ．y 2＜y 3＜y 1
6.如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ，若BF=2，则PE 的长为（ ）
A ．2
B ．2
C ．
D ．3
7.某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A ．94分，96分
B ．96分，96分
C ．94分，96.4分
D ．96分，96. 4分
8.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）
A．2B．3C．5D．6
9.如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C， D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）
A． B． C． D．
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n ＜；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论个数是（）
A．4B．3C．2D．1
二、计算题
计算：=
三、填空题
1.如图，是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的表面积是（结果保留π）
2.如图所示，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，ABD=54o，则
BCD=
3.如图，在Rt △ABC 中，已知C=90o ，B=55o ，点D 在边BC 上，BD=2CD ，把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0<m<180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m=
4.在平面直角坐标系中，作△OAB ，其中三个顶点分别是O （0，0），B （1，1），A （x ，y ）（-2≤x≤2，-2≤y≤2，x ，y 均为整数），则所作△OAB 为直角三角形的概率是______．
5.如图，将二次函数的图像向上平移m 个单位得到二次函数y 2的图像，且与二次函数
的图像相交于A ，过A 作x 轴的平行线分别交y 1，y 2于点B ，C ，当AC=
BA 时，m 的值是
四、解答题
1.先化简，并回答：原代数式的值可以等于-1吗？为什么？
2.如图：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1的顶点均在格点上，以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系．
（1）画出四边形ABCD 沿y 轴正方向平移4格得到的四边形A 2B 2C 2D 2，并求出点D 2的坐标．
（2）画出四边形A 1B 1C 1D 1绕点O 逆时针方向旋转90°后得到的四边形A 3B 3C 3D 3，并求出A 2、B 3之间的距离．
3.如图1，在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为（-1，0），AE=4
（1）求点C 的坐标；
（2）连接MG 、BC ，求证：MG ∥BC
4.已知二次函数y=x 2+px+q 图象的顶点M 为直线y=x+与y=-x+m-1的交点，
（1）用含m 的代数式来表示顶点M 的坐标（直接写出答案）；
（2）当x≥2时，二次函数y=x 2+px+q 与y=x+的值均随x 的增大而增大，求m 的取值范围
（3）若m ＝6，当x 取值为t-1≤x≤t+3时，二次函数y 最小值=2，求t 的取值范围
5.问题研究：（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4。

如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰△APD，并求出此时BP的长。

（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决：
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理
由．
浙江初三初中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.下列判断不正确的是（）
A．所有等腰直角三角形都相似B．所有直角三角形都相似
C．所有正六边形都相似D．所有等边三角形都相似
【答案】B．
【解析】试题解析：A、所有等腰直角三角形对应边成比例，对应角相等，所以都相似，故本选项错误；
B、所有直角三角形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项正确；
C、所有正六边形对应边成比例，对应角相等，所以都相似，故本选项错误；
D、所有等边三角形对应边成比例，对应角相等，所以都相似，故本选项错误．
故选B．
【考点】相似图形．
2.下列运算正确的是（）
A．（a4）3=a7B．a6a3=a2C．（2ab）3=6a3b3D．-a5a5=-a10
【答案】D.
【解析】试题解析：A．（a4）3=a12≠a7,故本选项错误；
B．a6÷a3= a3≠a2 ,故本选项错误；
C．（2ab）3=8a3b3≠6a3b3 ,故本选项错误；
D．-a5a5=-a10，该选项正确.
故选D.
【考点】整式的运算.
3.命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解．”是假命题．则在下列选项中，可以作为反例的是（）A．b=﹣3B．b=﹣2C．b=﹣1D．b=2
【答案】C.
【解析】试题解析：∵方程x 2+bx+1=0，必有实数解，
∴△=b 2-4≥0，
解得：b≤-2或b≥2，
则命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx+1=0，必有实数解．”是假命题．则在下列选项中，可以作为反例的是b=-1， 故选C.
【考点】1.命题与定理；2.根的判别式．
4.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ：
S △ABF =4：25，则DE ：EC=（ ）
A ．2：5
B ．2：3
C ．3：5
D ．3：2
【答案】B ．
【解析】试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ， ∴∠EAB=∠DEF ，∠AFB=∠DFE ， ∴△DEF ∽△BAF ， ∵S △DEF ：S △ABF =4：25，
∴DE ：AB=2：5， ∵AB=CD ， ∴DE ：EC=2：3．
故选B ．
【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质．
5.函数（a 为常数）的图象上有三点（﹣4，y 1），（﹣1，y 2），（2，y 3），则函数值y 1，y 2，y 3的大
小关系是（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2
B ．y 3＜y 2＜y 1
C ．y 1＜y 2＜y 3
D ．y 2＜y 3＜y 1
【答案】B.
【解析】试题解析：当x=-4时，y 1=；当x=-1时，y 2=，当x=2时，y 3=，
∵-a 2-1＜0，
∴y 3＜y 2＜y 1．
故选B.
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
6.如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ，若BF=2，则PE 的长为（ ）
A ．2
B ．2
C ．
D ．3
【答案】C ．
【解析】试题解析：∵△ABC 是等边三角形P 是∠ABC 的平分线，
∴∠EBP=∠QBF=30°， ∵BF=2，QF 为线段BP 的垂直平分线， ∴∠FQB=90°，
∴BQ=BF×cos30°=2×=，
∴BP=2BQ=2，
在Rt△BEP中，
∵∠EBP=30°，
∴PE=BP=．
故选C．
【考点】1.等边三角形的性质；2.线段垂直平分线的性质；3.含30度角的直角三角形；4.勾股定理．
7.某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（）
A．94分，96分B．96分，96分C．94分，96.4分D．96分，96. 4分
【答案】D．
【解析】试题解析：总人数为6÷10%=60（人），
则94分的有60×20%=12（人），
98分的有60-6-12-15-9=18（人），
第30与31个数据都是96分，这些职工成绩的中位数是（96+96）÷2=96；
这些职工成绩的平均数是（92×6+94×12+96×15+98×18+100×9）÷60
=（552+1128+1440+1764+900）÷60
=5784÷60
=96.4．
故选D．
【考点】1.中位数；2.扇形统计图；3.条形统计图；4.算术平均数．
8.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C．
【解析】试题解析：连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
，
∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∵AC=，
∴AO=AC=2，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE=5．
故选C．
【考点】1.菱形的性质；2.矩形的性质．
9.如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C， D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】试题解析：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E
∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，
∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，
∴PA=PB=r．
在Rt△PBF和Rt△OAF中，
，
∴Rt△PBF∽Rt△OAF．
∴，
∴AF=FB，
在Rt△FBP中，
∵PF2-PB2=FB2
∴（PA+AF）2-PB2=FB2
∴（r+BF）2-（r）2=BF2，
解得BF=r，
∴tan∠APB=，
故选B．
【考点】1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质；3.锐角三角函数的定义．
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n ＜；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论个数是（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】试题解析：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2a＜0，
对称轴x=-＞1，-b＜2a，
∴2a+b＞0，故选项①正确；
∵-b＜2a，
∴b＞-2a＞0＞a，
令抛物线解析式为y=-x2+bx-，
此时a=c，欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为和2，
则，
解得：b=，
∴抛物线y=-x2+x-，符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，
对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c，（其实a＞c，a＜c，a=c都有可能），
故②选项错误；
∵-1＜m＜n＜1，-2＜m+n＜2，
∴抛物线对称轴为：x=-＞1，＞2，m+n＜，故选项③正确；
当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞-2b，∴-3a-c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），
∴3|a|+|c|=-3a-c＜2b=2|b|，故④选项正确．
故答案为①③④．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
二、计算题
计算：=
【答案】.
【解析】试题解析：
=
=.
【考点】实数的混合运算.
三、填空题
1.如图，是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的表面积是（结果保留π）
【答案】600π（cm2）．
【解析】试题解析：∵圆柱的直径为20cm，高为20cm，
∴表面积=π×20×20+π×（×20）2×2
=400π+200π
=600π（cm2）．
【考点】由三视图判断几何体．
2.如图所示，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，ABD=54o，则
BCD=
【答案】36°．
【解析】试题解析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=54°，
∴∠A=90°-∠ABD=36°，
∴∠BCD=∠A=36°．
【考点】圆周角定理．
3.如图，在Rt△ABC中，已知C=90o，B=55o，点D在边BC上，BD=2CD，把△ABC绕着点D逆时针旋转m （0<m<180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=
【答案】40°或140°．
【解析】试题解析：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠ACB=（180°-∠A）=70°，
①当△ABC绕O点旋转到△A′B′C′位置时，B′落在AB上，
则OB=OB′，旋转角∠BOB′=m=180°-2∠B=40°，
②当△ABC绕O点旋转到△A″B″C″位置时，B″落在AC上，
同理可得∠B″OC=40°，
旋转角∠BOB″=m=180°-∠B″OC=140°.
【考点】1.旋转的性质；2.等腰三角形的性质．
4.在平面直角坐标系中，作△OAB ，其中三个顶点分别是O （0，0），B （1，1），A （x ，y ）（-2≤x≤2，-2≤y≤2，x ，y 均为整数），则所作△OAB 为直角三角形的概率是______．
【答案】．
【解析】试题解析：∵A （x ，y ）（-2≤x≤2，-2≤y≤2，x ，y 均为整数），
∴A 点坐标可以为：
（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2），
（-1，-2），（-1，0），（-1，1），（-1，2），
（0，-2），（0，-1），（0，1），（0，2），
（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，2），
（2，-2），（2，-1），（2，0），（2，1）；
只有A 点坐标为：（0，2）（0，1），（1，0），（2，0），（1，-1），（-1，1），（2，-2），（-2，2）， 一共8种情况时△OAB 为直角三角形，
∴所作△OAB 为直角三角形的概率是
． 【考点】概率公式．
5.如图，将二次函数的图像向上平移m 个单位得到二次函数y 2的图像，且与二次函数
的图像相交于A ，过A 作x 轴的平行线分别交y 1，y 2于点B ，C ，当AC=
BA 时，m 的值是 【答案】. 【解析】试题解析：∵平移后的解析式为y 2=（x-）2-2+m ， 设AC=a ，则AB=2a ，
∴A 的横坐标为-2+a ，B 的横坐标为-2-a ，C 的横坐标为-2+2a ，
∵抛物线y 2=（x-
）2-2+m 的对称轴为x=， ∴x=
=， 解得a=，
∴A 的横坐标为-2+a=-2+=，
把x=
代入y 1=（x+2）2-4得，y=， ∴A （，），
代入y 2=（x-）2-2+m 得，=（-）2-2+m ，解得m=.
【考点】二次函数图象与几何变换．
四、解答题
1.先化简，并回答：原代数式的值可以等于-1吗？为什么？
【答案】不可以.理由见解析.
【解析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，假设代数式的值为-1，求出x 的值，检验即可．
试题解析：
=
=
= 当原式=-1时，a=-1，使分式无意义，所以不可以.
【考点】分式的化简求值．
2.如图：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1的顶点均在格点上，以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系．
（1）画出四边形ABCD 沿y 轴正方向平移4格得到的四边形A 2B 2C 2D 2，并求出点D 2的坐标．
（2）画出四边形A 1B 1C 1D 1绕点O 逆时针方向旋转90°后得到的四边形A 3B 3C 3D 3，并求出A 2、B 3之间的距离．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；．
【解析】（1）将四边形ABCD 沿y 轴正方向平移4格得到的四边形A2B2C2D2，平移四个顶点得出各点的坐标即可．
（2）将图形各顶点绕点O 逆时针方向旋转90°后得出图形即可．
试题解析：（1）如图．D 2（1，3）．
（2）如图．
A 2
B 3=．
【考点】1.坐标与图形变化-平移；2.作图-平移变换；3.坐标与图形变化-旋转；4.作图-旋转变换．
3.如图1，在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，
且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-1，0），AE=4
（1）求点C的坐标；
（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC
【答案】(1)（0，4）．(2)证明见解析.
【解析】（1）求C点的坐标，即求出OC的长．根据垂径定理可得出弧CD=2弧AC，而题中已经告诉了C是弧AE的中点，即弧AE=2弧AC，即弧CD=弧AE，因此CD=AE，那么OC=AE=4，即可求出C点坐标；
（2）由于无法直接证明∠OMG=∠OBC来得出两直线平行，因此可通过相似三角形来求解，可设出圆的半径，然后分别求出OG、OM、OB的长，然后通过证OG、OM，OC、OB对应成比例来得出△OMG与△OBC相似来得
出∠OMG=∠OBC，进行得出所求的结论.
试题解析：（1）∵直径AB⊥CD，
∴CO=CD，，
∵C为的中点，
∴，
∴，
∴CD=AE，
∴CO=CD=4，
∴C点的坐标为（0，4）．
（2）设半径AM=CM=r，则OM=r-2，
由OC2+OM2=MC2得：
42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
∴OM=r-OA=3
∵∠AOC=∠ANM=90°，
∠EAM=∠MAE，
∴△AOG∽△ANM，
∴，
∵MN=OM=3，
即，
∴OG=
∵，，
∴，
∵∠BOC=∠BOC，
∴△GOM∽△COB，
∴∠GMO=∠CBO，
∴MG∥BC．
【考点】1.切线的性质；2.坐标与图形性质；3.直角三角形全等的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定与性质．4.已知二次函数y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=-x+m-1的交点，
（1）用含m的代数式来表示顶点M的坐标（直接写出答案）；
（2）当x≥2时，二次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大，求m的取值范围
（3）若m＝6，当x取值为t-1≤x≤t+3时，二次函数y最小值=2，求t的取值范围
【答案】（1）M坐标为(，)；（2）m的取值范围为m≤；（3）0≤t≤4．
【解析】（1）已知直线y=x+和y=-x+m-1，列出方程求出x，y的等量关系式即可求出点M的坐标；
（2）根据题意得出≤2，解不等式求出m的取值；
=2，解不等式组即可求得．
（3）当t-1≤3时，当3≤t+3时，二次函数y
最小值
试题解析：（1）由，
解得，
即交点M坐标为(，)；
（2）∵二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=-x+m-1的交点为(，)，且当x≥2时，二
次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大，
∴≤2，
解得m≤，
∴m的取值范围为m≤；
（3）∵m=6，
∴顶点为（3，2），
∴抛物线为y=（x-3）2+2，
∴函数y有最小值为2，
∵当x取值为t-1≤x≤t+3时，二次函数y
=2，
最小值
∴t-1≤3，t+3≥3，
解得0≤t≤4．
【考点】二次函数的性质．
5.问题研究：（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4。

如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰△APD，并求出此时BP的长。

（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当
AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决：
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，
用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，
AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求
出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）在等腰三角形△ADP中，若PA=PD，则BP=2；若DP=DA，则BP=4-；若AP=AD，则BP=．（2）BQ的长为3+．（3）DM的长为（400-45-30）米．
【解析】（1）由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理
等知识即可解决问题．
（2）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于
正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．
（3）要满足∠AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，
然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．
试题解析：（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，
则PA=PD．
∴△PAD是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°．
∵PA=PD，AB=DC，
∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．
∴BP=CP．
∵BC=4，
∴BP=CP=2．
②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，
则DA=DP′．
∴△P′AD是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．
∵AB=3，BC=4，
∴DC=3，DP′=4．
∴CP′==．
∴BP′=4-．
③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，
则AD=AP″．
∴△P″AD是等腰三角形．
同理可得：BP″=．
综上所述：在等腰三角形△ADP中，若PA=PD，则BP=2；若DP=DA，则BP=4-；若AP=AD，则BP=．（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC．
∵BC=12，
∴EF=6．
以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．
∵AD⊥BC，AD=6，
∴EF与BC之间的距离为3．
∴OQ=3
∴OQ=OE=3．
∴⊙O与BC相切，切点为Q．
∵EF为⊙O的直径，
∴∠EQF=90°．
过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．
∵EG⊥BC，OQ⊥BC，
∴EG∥OQ．
∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，
∴四边形OEGQ是正方形．
∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．
∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，
∴BG=．
∴BQ=GQ+BG=3+．
∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+．
（3）在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°．
理由如下：
以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，
作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．
设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．
则⊙O是△ABG的外接圆，
∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，
∴AP=PB=AB．
∵AB=270，
∴AP=135．
∵ED=285，
∴OH=285-135=150．
∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，
∴∠BAK=∠GAK=30°．
∴OP=AP×tan30°
=135×
=45．
∴OA=2OP=90．
∴OH＜OA．
∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90．．
∵OH⊥CD，OH=150，OM=90，
∴HM=．
∵AE=400，OP=45，
∴DH=400-45．
若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400-45+30．∵400-45+30＞340，
∴DM＞CD．
∴点M不在线段CD上，应舍去．
若点M在点H的右边，则DM=DH-HM=400-45-30．∵400-45-30＜340，
∴DM＜CD．
∴点M在线段CD上．
综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，此时DM的长为（400-45-30）米．
【考点】圆的综合题.。