湖北省武汉市一中分校高一数学理下学期期末试卷含解析

湖北省武汉市一中分校高一数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列四个函数中，在(－∞,0]上为减函数的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
对于选项A，函数的图像的对称轴为，开口向上，所以函数在上为减函数，
所以选项A是正确的．
对于选项B，在上为增函数，所以选项B是错误的．
对于选项C，在上为增函数，所以选项C是错误的．
对于选项D，，当时，没有意义，所以选项D是错误的．故选A．
2. 函数的定义域为（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
参考答案：
D
3. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
参考答案：
C 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．
【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；
B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；
C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．
D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；
故选C．
【点评】本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．
4. 函数的值域为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
5. 已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，且AB⊥平面BCD，，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）
A. 3π
B.
C.
D. 12π
参考答案：
D
【分析】
由已知中的垂直关系可将四面体放入正方体中，求解正方体的外接球表面积即为所求的四面体外接球的表面积；利用正方体外接球半径为其体对角线的一半，求得半径，代入面积公式求得结果.
【详解】且为直角三角形
又平面，平面
平面
由此可将四面体放入边长为的正方体中，如下图所示：
正方体的外接球即为该四面体的外接球
正方体外接球半径为体对角线的一半，即
球的表面积：
本题正确选项：
【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的求解问题，关键是能够通过线面之间的位置关系，将所求四面体放入正方体中，通过求解正方体外接球来求得结果.
6. 如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台B．②是圆台
C．③是棱锥D．④不是棱柱
参考答案：
C
图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱，很明显③是棱锥．
7. 函数的图象的一条对称轴方程
是（）
A． B.
C. D. 参考答案：
D
略
8. 若，··，则（）
A．B． C. D．
参考答案：
D
9. 如果函数的反函数是增函数，那么函数的图象大致是（）
A B C D
参考答案：
C
10. 已知函数f（x）=ax2+2ax+4（﹣3＜a＜0），其图象上两点的横坐标为x1、x2满足x1＜x2，且
x1+x2=1+a，则由（）
A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）=f（x2）
C．f（x1）＞f（x2）D．f（x1）、f（x2）的大小不确定
参考答案：
C
【考点】二次函数的性质．
【分析】运用作差法比较，将f（x1）﹣f（x2）化简整理得到a（x1﹣x2）（x1+x2+2），再由条件即可判断．
【解答】解：∵函数f（x）=ax2+2ax+4，
∴f（x1）﹣f（x2）=ax12+2ax1+4﹣（ax22+2ax2+4）
=a（x12﹣x22）+2a（x1﹣x2）
=a（x1﹣x2）（x1+x2+2）
∵x1+x2=1+a，
∴f（x1）﹣f（x2）=a（3+a）（x1﹣x2），
∵﹣3＜a＜0，x1＜x2，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
故选：C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若对任意，存在使，则的取值范围为________．
参考答案：
略
12. 不等式的解集为_________________.
参考答案：
；
略
13. 某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为__________．
参考答案：
0.72
【分析】
根据对立事件的概率公式即可求解.
【详解】由题意，在该产品中任抽一件，“抽到优质品”与“抽到合格品或次品”是对立事件，
所以在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为.
故答案为
【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式，熟记对立事件的概念及概率计算公式即可求解，属于基础题型.
14. 若函数满足：对任意实数，有且，当时，
，则时，
．
参考答案：由，可知.
所以函数f(x )是周期为4的周期函数.
时，.
.
对任意实数，有，可知函数f (x )关于点(1,0)中心对称,
所以，又.
所以.
综上可知，时，.
故答案为：.
15. 已知，则.
参考答案：
55
16. 设函数对任意的都满足，且,则
________()
参考答案：
略
17. △ABC中，分别是角的对边，且，若
，则=__________.
参考答案：
4025
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知以点为圆心的圆C被直线：截得的弦长为.
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过与圆C相切的直线方程；
（3）若Q是x轴的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点.试问：直线RS是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标；若不是，说明理由.
参考答案：
（1）；（2）或；（3）见解析
【分析】
（1）根据圆心到直线的距离，半弦长、半径、构成直角三角形，求解即可；（2）利用圆心到直线的距离等于等于半径求解（3）由题意，则，在以为直径的圆上，设，写出圆的方程，与已知圆联立，得到含参的直线方程，确定是否过定点.
【详解】（1）圆心到直线的距离为，设圆的半径为，则
，圆为.
（2）设过点的切线方程为，即，
圆心到直线的距离为，
解得或，
所以过点的切线方程为或；
（3）由题意，则，在以为直径圆上，
设，则以为直径的圆的方程：.
即，
与圆：，
联立得：，
令得，，
故无论取何值时，直线恒过定点.
【点睛】本题主要考查了圆的方程，圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线系过定点问题，属于中档题. 19. 已知为第三象限角，．
（１）化简；（２）若，求的值.
参考答案：
略
20. 已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．
（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；
（2）若圆C与圆x2+y2﹣8x﹣12y+36=0外切，求m的值；
（3）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且，求m的值．
参考答案：
考点：圆与圆的位置关系及其判定；二元二次方程表示圆的条件；直线与圆相交的性质．
专题：综合题；转化思想．
分析：（1）把已知的方程配方后，令等号右边的式子大于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即为方程为圆时m的取值范围；
（2）根据两圆外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，所以利用两点间的距离公式求出两圆心之间的距离d，表示出圆C的半径r，找出已知圆的半径R，令d=R+r列出关于m的方程，求出方程的解即可求出此时m的值；
（3）先求出圆心C到直线l的距离d，然后根据垂径定理及勾股定理，由|MN|和圆的半径及求出的距离d列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
解答：解：（1）把方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，配方得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，
若方程C表示圆，则5﹣m＞0，解得m＜5；
（2）把圆x2+y2﹣8x﹣12y+36=0化为标准方程得：（x﹣4）2+（y﹣6）2=16，得到圆心坐标（4，6），半径为4，
则两圆心间的距离d==5，
因为两圆的位置关系是外切，所以d=R+r即4+=5，解得m=4；
（3）因为圆C圆心C的坐标为（1，2），则圆心C到直线l的距离d==，
所以=（|MN|）2+d2，即5﹣m=1，解得m=4．
点评：此题考查学生掌握二元二次方程表示圆的条件，掌握两圆外切时两圆心之间的距离等于两半径相加，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，是一道综合题．
21. 已知数列的通项公式，如果，求数列的前项和。

参考答案：
解析：，当时，
当时，
∴
22. 设集合，
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围．
参考答案：
（1）（4分）
(2)（5分）
略。