1983年高考数学全国卷（理科）及其参考答案

1981年高考数学全国卷（理科）及其参考答案
（这份试题共九道大题，满分120分）
一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写
在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出
的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．两条异面直线，指的是 （ D ） （A ）在空间内不相交的两条直线
（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线
（C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线
2．方程x 2-y 2=0表示的图形是 （ A ） （A ）两条相交直线 （B ）两条平行直线 （C ）两条重合直线 （D ）一个点
3．三个数a ,b ,c 不全为零的充要条件是 （ D ） （A ）a ,b ,c 都不是零 （B ）a ,b ,c 中最多有一个是零 （C ）a ,b ,c 中只有一个是零（D ）a ,b ,c 中至少有一个不是零
4．设,34π
=
α则)arccos(cos α的值是 （ C ） （A ）34π （B ）32π- （C ）32π （D ）3
π
5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ C ） （A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log <<
二．（本题满分12分）
1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,x y -=
y x -=的图形，并写出它们交点的坐标
2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形解：
1.图形如左图所示
交点坐标是：O （0，0），P （1，-1） 2．曲线名称是：圆
图形如右所示
三．（本题满分12分） 1．已知x e y x 2sin -=，求微分
2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从
小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法
解：1.dx x e x e dx x e dy x x x ]2sin )()2(sin [)2sin ('+'='=---
.)2sin 2cos 2()2sin 2cos 2(dx x x e dx x e x e x x x -=-=---
2．)(1003
416242614种=+⋅+⋅C C C C C 或：)(1002012036310种=-=-C C
四．（本题满分12分） 计算行列式（要求结果最简）：
P
X
βϕ-ββαϕ+ααsin )sin(cos cos )cos(sin
解：把第一列乘以ϕsin 加到第2列上，再把第三列乘以)cos (ϕ-加到第2列上，得
0cos 0sin sin 0cos cos 0sin cos 2cos 2cos sin sin )sin()sin(cos cos )cos()cos(sin =ϕ
ϕββα
α=ϕϕ
-ϕϕ
βϕ-β-ϕ-ββ
α
ϕ+α-ϕ+αα=原式 五．（本题满分15分）
1．证明：对于任意实数t ，复数i t t z |sin ||cos |+=的模||z r = 适合
≤r 2．当实数t 取什么值时，复数i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合
4
0π
≤
θ≤ 1．证：复数i t t z |sin ||cos |+=（其中t 是实数）的模||z r =为
.|sin ||cos |)|sin |()|cos |(22t t t t r +=+=
要证对任意实数t ，有42≤r ，只要证对任意实数t ，
2|sin ||cos |≤+t t 成立
对任意实数t ，因为1|sin ||cos |22=+t t ，所以可令
|,sin |sin |,cos |cos t t =ϕ=ϕ且)2
,0(π
∈ϕ，于是
.2)4
sin(2sin cos |sin ||cos |≤π
+ϕ=ϕ+ϕ=+t t
2．因为复数i t t z |sin ||cos |+=的实部与虚部都是非负数，所以z 的幅角主值θ一定适合2
0≤θ≤从而.104
0≤θ≤⇔π
≤
θ≤tg 显然||≠=z r 因为
.111||010,|||
cos ||sin |≤≤-⇔≤θ≤⇔≤θ≤==
θtgt tg tg tgt t t tg 所以
由于).
(4
411,,22为任意整数的解是因此并且它的周期是内是增函数在k k t k tgt t tgt y π
+π≤≤π-π≤≤-ππ
<<π-
= 这就是所求的实数t 的取值范围
六．（本题满分15分）
如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等 于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB
证：因为SN 是底面的垂线，NC 是斜线
SC 在底面上的射影，
AB ⊥NC ，所以AB ⊥SC （三垂线定理） 连结DM 因为AB ⊥DC ，AB ⊥SC ，
所以AB 垂直于DC 和SC 所决定的平面又
因DM 在这个平面内，所以AB ⊥DM
∴∠MDC 是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC 在△MDC 和△NSC 中，因为∠MDC=∠NSC ，∠DCS 是公共角， 所以∠DMC=∠SNC=900从而DM ⊥SC 从AB ⊥SC ，DM ⊥SC ，
可知SC ⊥截面MAB
七．（本题满分16分）
如图，已知椭圆长轴|A 1A 2|=6，焦距|F 1F 2|=24，过椭圆焦点F 1
作一直线，交椭圆于两点M ，N 设∠F 2F 1M=α（0≤α＜π）当α取什
么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？
S
M
P C A N D B
解一：以椭圆焦点F 1为极点，以F 1为起点并过F 2的射线为极轴建立极坐标系
由已知条件可知椭圆长半轴
a=3，半焦距c=22，短半轴b=1，离心率e=3
2
2，中心到准线距离=
4
2
9, 焦点到准线距离p=
4
2
.椭圆的极坐标方程为 θ
-=
θ-=
ρcos 2231
cos 1e ep .2cos 896
||,
cos 2231||.cos 2231
||2
212211=α
-=ρ+ρ=α
+=
ρ=α
-=
ρ=∴MN N F M F
解得.6
56.22cos π=απ=α∴±
=α或 以上解方程过程中的每一步都是可逆的， 所以当6
π=α或6
5π
=
α时，|MN|等于短轴的长 解二：以椭圆的中心为原点，F 1F 2所在直线为x 轴建立直角坐标系（如
图）由已知条件知，椭圆的方程为.19
22
=+y x
MN 所在直线方程为)()22(α=+=tg k x k y 其中
解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+)
22(1
922x k y y x
消去y 得0)18(9236)91(2222=-+++k x k x k .
X
α
+α
+=
++=
++++=-+-=22
2
2222222
212
2191669166)91()1(36)1(36)()(||tg tg k k k k k k y y x x MN
下同解法一
解三：建立坐标系得椭圆如解二， MN 所在直线的参数方程为
)(sin cos 22是参数t t y t x ⎩
⎨
⎧α=α
+-=代入椭圆方程得 .01)cos 24()sin 9(cos 222=-α-α+αt t
设t 1,t 2是方程两根，则由韦达定理，
.sin 9cos 6
4)(||||.sin 9cos 1
,sin 9cos cos 242
221221212
2212221α+α=-+=-=α+α-=α+αα=
+t t t t t t MN t t t t
下同解一
解四：设|F 1M|=x ,则|F 2M|=6-x |F 1F 2|=24，∠F 2F 1M=α
在△MF 1F 2中由余弦定理得
13cos 22,cos 28)24()6(222=+-αα-+=-x x x x x
α
-=
cos 2231x
同理，设|F 1N|=y ，则|F 2N|=6-y 在△F 1F 2N 中，由余弦定理得
.cos 896
cos 2231cos 2231||,cos 2231,1cos 223).cos(28)24()6(2
222α
-=
α
++
α
-=
α
+==α+α-π-+=-MN y y y y y y
下同解一
已知数列{a n }的首项a 1=b(b ≠0），它的前n 项的和S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),并且S 1，S 2，S n ，…是一个等比数列，其公比为p （p ≠0且|p|＜1）
1．证明：a 2,a 3,a 3,…a n ,…(即{a n }从第二项起）是一个等比数列2．设W n =a 1S 1+a 2S 2+a 3S 3+…+a n S n (n ≥1),求n n W ∞
→lim
（用b,p 表示）1．证：由已知条件得S 1=a 1=b.
S n =S 1p n-1=bp n-1(n ≥1）因为当n ≥2时，S n =a 1+a 2+…+a n-1+a n =S n-1+a n ,所以 a n =S n -S n-1=bp n-2(p-1)(n ≥2)从而
),2()
1()
1(211≥=--=--+n p p bp p bp a a n n n n 因此a 2,a 3,a 3,…a n ,…是一个公比为p 的等比数列
2．解：当n ≥2时，
,)1()1(21
2111p bp
p bp bp p bp S a S a n n n
n n n n n =--=---++ 且由已知条件可知p 2<1，因此数列a 1S 1，a 2S 2，a 3S 3，…a n S n …是公比为p 2<1的无穷等比数列于是
.11)1(1)(lim 2222223322p p b p
p p b p S a S a S a S a n n n +-=--=-=+++∞→ 从而
)
(lim lim )
(lim lim 332211332211n n n n n n n n n S a S a S a S a S a S a S a S a W ++++=++++=∞
→∞
→∞
→∞
→
.112
22
p
b p p b b +=+-=
1．已知a,b 为实数，并且e<a<b ，其中e 是自然对数的底，证明a b >b a . 2.如果正实数a,b 满足a b =b a .且a<1，证明a=b
1．证：当e<a<b 时， 要证a b >b a ， 只要证blna>alnb,
即只要证
b b
a a ln ln >
考虑函数0(ln +∞<<=x x
x
y 因为但e x >时，
,0ln 12
<-='x x y 所以函数),(ln +∞=e x x
y 在内是减函数
因为e<a<b ，所以b
b
a a ln ln >，即得a
b >b a 2．证一：由a b =b a ，得blna=alnb ，从而b
a a ln =考虑函数)0(ln +∞<<=x x
x
y ，它的导数是 .ln 12
x x y -='
因为在（0，1）内0)(>'x f ，所以f(x)在（0，1）内是增函数
由于0<a<1,b>0,所以a b <1,从而b a =a b <1.由b a <1及a>0,
可推出b<1.
由0<a<1,0<b<1,假如b a ≠，则根据f(x)在（0，1）内是增函数，得
)()(b f a f ≠，即
b
b
a a ln ln ≠，从而a
b b a ≠这与a b =b a 矛盾
所以a=b
证二：因为0<a<1，a b =b a ，所以,log log b a a b a a =即a
b
a log =假如a<
b ，则1>a
b
，但因a<1，根据对数函数的性质，得
b a
b
b a b a b a a a a log ,log ,1log log =>=<这与从而
矛盾 所以a 不能小于b
假如a>b ，则1<a b ，而1log >b a ，这也与b a
b a log =矛盾
所以a 不能大于b 因此a=b
证三：假如a<b ，则可设ε+=a b ，其中ε>0由于0<a<1,ε>0,
根据幂函数或指数函数的性质，得1<εa 和1)1(>ε
+a a
， 所以 ,)(,)1(,)1(a a a a a a a a a
a a a a a ε+<ε+<ε+<ε+εε 即a
b <b a .这与a b =b a 矛盾所以a 不能小于b
假如b<a ，则b<a<1，可设a=b+ε,其中ε>0,同上可证得a b <b a .
这于a b =b a 矛盾所以a 不能大于b
因此a=b。