高中数学 第8章 函数应用 8.1.2 用二分法求方程的近似解教学案(含解析)苏教版必修第一册-苏教

8.1.2 用二分法求方程的近似解
学 习 目 标
核 心 素 养
1．通过实例理解二分法的概念．(难点)
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法． 3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点)
通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理的数学核心素养．
通过上一节的学习，利用函数的零点存在性定理可以确定函数的零点所在的区间，请利用计算器尝试探求函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的近似值(精确到0．1)．
1．二分法的定义
对于在区间[a ，b ]上的图象连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值，即f (x )＝0的近似解的方法叫做二分法．
2．用二分法求一元方程f (x )＝0近似解的步骤
(1)确定区间：一元方程f (x )＝0的根所在的区间[a ，b ]，使f (a )·f (b )<0． (2)求区间(a ，b )的中点：x 1＝a ＋b
2
．
(3)计算f (x 1)．
①假设f (x 1)＝0，x 1就是一元方程f (x )＝0的近似解； ②假设f (a )·f (x 1)<0，那么令b ＝x 1，此时零点x 0∈(a ，x 1)； ③假设f (x 1)·f (b )<0，那么令a ＝x 1，此时零点x 0∈(x 1，b )．
(4)判断是否达到题目要求，即假设达到，那么得到一元方程f (x )＝0近似解，否那么重复步骤(2)～(4)．
3．用“二分法〞求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求
f (x )＝
g (x )的近似解时可构造函数
h (x )＝f (x )－g (x )，将问题转化为求h (x )的零点近似值的
问题．
1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)二分法所求出的方程的解都是近似解． ( ) (2)函数f (x )＝|x |可以用二分法求零点．
( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．
( )
(4)用“二分法〞求方程的近似解一定可将y ＝f (x )在[a ，b ]内的所有零点得到．
( )
[提示] 四句话都是错的．(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f (x )＝x －1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x ＝1，而f (1)＝0．(2)中， f (x )＝|x |≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f (x )在[a ，b ]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法〞不一定求出函数的所有零点的近似解．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．函数f (x )＝6
x
－log 2x ，在以下区间中，包含f (x )零点的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,4)
D ．(4，＋∞)
C [由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (1)＝6－0＝6>0，f (2)＝3－1＝2>0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝－1
2<0，由零点存在性定理，可知函数f (x )在区间(2,4)上必
存在零点．]
3．用二分法求函数y ＝f (x )在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f (2)·f (3)＜0，取区间[2,3]的中点x 1＝2＋3
2
＝2．5，计算得f (2．5)·f (3)＞0，此时零点x 0所在的区间是________．
(2,2．5) [由于⎩
⎪⎨
⎪⎧
f
2·f 3＜0，f 2.5·f
3＞0，
所以f (2)·f (2．5)＜0，所以
x 0∈(2,2．5)．]
“二分法〞求方程的近似
解[例1] 证明：方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出该实数解．(精确到0．1)
[思路点拨]构造函数f x＝2x＋3x－6→
验证f1·f2<0→根据图象说明解唯一
→利用二分法求近似解
[解]分别画出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，如下图：
在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解．由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现，
方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1，
并且这个解在区间(1,2)上．
设f(x)＝2x＋3x－6，用二分法逐次计算，得：
f(1)<0，f(2)>0⇒x1∈(1,2)，
f(1)<0，f(1．5)>0⇒x1∈(1,1.5)，
f(1)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1,1.25)，
f(1.125)<0，f(1．25)>0⇒x1∈(1.125,1.25)，
f(1.187 5)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1.187 5,1.25)，
f(1.218 75)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1.218 75，1.25)，
f(1．218 75)<0，f(1.234 375)>0⇒x1∈(1．218 75，1.234 375)．
因为1.218 75与1.234 375精确到0．1的近似值都为1.2，所以原方程的近似解为1.2．
1．由方程的解与函数零点的等价性知，用二分法求方程的近似解问题可通过构造函数，转化为求函数的零点近似值问题．
2．求方程f(x)＝g(x)的近似值注意的问题：①确定初始区间时，一般采用图象法，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，观察两个函数图象的交点的横坐标的取值X围；也可以利用函数的零点存在性定理判定；②运用二分法时，需构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)＝0的近似解．
[跟进训练]
1．求3
2的近似值．(精确到0.1)
[解]3
2是x3＝2的根，因此可构造f(x)＝x3－2，问题转化为“求f(x)的零点的近似解〞．
用二分法求其零点．
由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0．故可取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐次计算，如下：
f(1)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1,1.5)，
f(1.25)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1.25,1.5)，
f(1.25)<0，f(1.375)>0⇒x1∈(1.25,1.375)，
f(1.25)<0，f(1.312 5)>0⇒x1∈(1.25,1.312 5)，
至此可见，区间[1.25,1.312 5]上所有值精确到0.1均为1.3，所以1.3是3
2精确到0.1
的近似值．
二分法求方程近似解的条件
1．使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？
[提示]理论依据是零点存在性定理．
2．能用二分法求方程近似解的条件是什么？
[提示]条件共三点：
(1)f(x)图象连续不断；(2)起始的两个端点处的函数值异号；(3)每次区间等分后，必须有端点函数值异号．
[例2] (1)以下函数没有零点的是________，在有零点的函数中，必须用二分法求零点的是________，一定不能用二分法求零点的是________．(填序号)
①y ＝x －7；②y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－2；③y ＝log 4x ＋3；④y ＝2x ＋x ；⑤y ＝x 2；⑥y ＝－2x 2
；⑦y ＝－
2x
－1．
(2)以下图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求零点的是________，能用二分法求零点的是________．(填序号)
[思路点拨] 根据二分法的概念进行判断．
(1)⑦ ④ ⑤⑥ (2)①⑤ ②③④ [(1)⑦中y <0，故没有零点，①②③可通过解方程求零点，④必须用二分法，⑤⑥虽有零点，但零点左右两侧没有变号，故不能用二分法．
(2)①⑤图中，与x 轴交点两侧符号一致，不能用二分法，②③④均可用二分法，但④应该注意区间的选择．]
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不间断的，且该零点为变号零点(在零点两侧函数值的符号相反)．因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
[跟进训练]
2．(1)下面关于二分法的表达，正确的选项是______．(填序号) ①用二分法可求所有函数零点的近似值；
②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位； ③二分法无规律可循；
④只有在求函数零点时才用二分法．
(2)观察以下函数的图象，能用二分法求其零点的是________．(填序号)
(1)②(2)①[(1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故①错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故③错；求方程的近似解也可以用二分法，故④错．
(2)由图象可知①中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点．]
1．二分法求函数的零点，只适用于变号零点．当f(a)·f(b)>0时，在[a，b]上也可能存在零点．
2．用二分法求函数的近似零点(或方程的近似解)需注意两点
(1)在探索初始区间时，区间长度不易过长，否那么会导致计算量增大，出现错误．
(2)求解过程中，区间两端点的值按要求精确到某一值x i时，是否具有相同的值，假设相同即为所求，否那么继续，直到满足要求为止．
1．用“二分法〞可求一元方程的近似解，对于精确到ε的说法正确的选项是( ) A．ε越大，近似解的精确度越高
B．ε越大，近似解的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
B[依“二分法〞的具体步骤可知，ε越大，近似解的精确度越低．]
2．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，那么第三次所取的区间可能是( )
A．[1,4] B．[－2,1]
C．[－2,2．5] D．[－0．5,1]
D[因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次所取的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0．5]，[－0．5,1]，[1,2．5]，[2．5,4]，只有D在其中，故答案为D．]
3．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，精确到0．1，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋4
2＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，那么此时零点x 0∈________．(填
区间)
(2,3) [由f (2)·f (3)<0可知，x 0∈(2,3)．]
4．用二分法求函数f (x )＝3x
－x －4的一个零点，其参考数据如下：
[解] 由表中f (1．562 5)＝0．003，
f (1．556 2)＝－0．029，
得f (1．562 5)·f (1．556 2)<0．
又因为1．562 5和1．556 2精确到0．01的近似值都为1．56， 故f (x )＝3x
－x －4的一个零点近似值为1．56．。