96高中数学高考总复习函数概念习题及详解96

高中数学高考总复习函数概念习题(附参考答案)
一、选择题
1．(文)(2010·浙江文)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
[答案] B
[解析] 由题意知，f (a )＝log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2， ∴a ＝1.
(理)(2010·广东六校)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
x ∈(－∞，2]
log 2x x ∈(2，＋∞)，则满足f (x )＝4的x 的值是
( )
A ．2
B ．16
C ．2或16
D ．－2或16
[答案] C
[解析] 当f (x )＝2x 时.2x ＝4，解得x ＝2. 当f (x )＝log 2x 时，log 2x ＝4，解得x ＝16. ∴x ＝2或16.故选C.
2．(文)(2010·湖北文，3)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 3x x >02x x ≤0，则f (f (1
9))＝( )
A ．4 B.1
4 C ．－4
D ．－14
[答案] B
[解析] ∵f (19)＝log 31
9＝－2<0
∴f (f (19))＝f (－2)＝2－
2＝14
.
(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
21－
x
－1 (x <1)
lg x (x ≥1)
，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )
A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－2)∪(－1,10)
D ．(0,10) [答案] A
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0<121－x 0－1>1或⎩⎪⎨⎪
⎧
x 0≥1lg x 0>1
⇒x 0<0或x 0>10.
3．(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )
A ．7个
B ．8个
C ．9个
D ．10个
[答案] C
[解析] 由x 2＝1得x ＝±1，由x 2＝4得x ＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1，－2,1,2}，故选C.
4．(2010·柳州、贵港、钦州模拟)设函数f (x )＝1－2x
1＋x ，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图
象关于直线y ＝x 对称，则g (1)等于( )
A ．－32
B ．－1
C ．－12
D ．0
[答案] D
[解析] 设g (1)＝a ，由已知条件知，f (x )与g (x )互为反函数，∴f (a )＝1，即1－2a
1＋a ＝1，
∴a ＝0.
5．(2010·广东六校)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (1－x )的图象大致为( )
[答案] A
[解析] 解法1：y ＝f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．将y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位得y ＝f (1－x )的图象，故选A.
解法2：由f (0)＝0知，y ＝f (1－x )的图象应过(1,0)点，排除B 、C ；由x ＝1不在y ＝f (x )的定义域内知，y ＝f (1－x )的定义域应不包括x ＝0，排除D ，故选A.
6．(文)(2010·广东四校)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表，填写下列g (f (x ))的表格，其三个数依次为( )
A.3,1,2 C ．1,2,3
D ．3,2,1
[答案] D
[解析] 由表格可知，f (1)＝2，f (2)＝3，f (3)＝1，g (1)＝1，g (2)＝3，g (3)＝2， ∴g (f (1))＝g (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2，g (f (3))＝g (1)＝1， ∴三个数依次为3,2,1，故选D.
(理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：
则方程g [f (x )]＝x 的解集为( ) A ．{1} B ．{2} C ．{3}
D ．∅
[答案] C
[解析] g [f (1)]＝g (2)＝2，g [f (2)]＝g (3)＝1； g [f (3)]＝g (1)＝3，故选C.
7．若函数f (x )＝log a (x ＋1) (a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( ) A.13
B. 2
C.
2
2
D ．2
[答案] D
[解析] ∵0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2，
又∵0≤log a (x ＋1)≤1，故a >1，且log a 2＝1，∴a ＝2.
8．(文)(2010·天津文)设函数g (x )＝x 2
－2(x ∈R)，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )
g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )
的值域是( )
A.⎣⎡⎦⎤－9
4，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)
C.⎣⎡⎭⎫－9
4，＋∞
D.⎣⎡⎦
⎤－9
4，0∪(2，＋∞) [答案] D
[解析] 由题意可知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ＋2 x <－1或x >2x 2－x －2 －1≤x ≤2
1°当x <－1或x >2时，f (x )＝x 2＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋7
4 由函数的图可得f (x )∈(2，＋∞)．
2°当－1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94， 故当x ＝12时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－9
4， 当x ＝－1时，f (x )max ＝f (－1)＝0， ∴f (x )∈⎣⎡⎦
⎤－9
4，0. 综上所述，该分段函数的值域为⎣⎡⎦⎤－9
4，0∪(2，＋∞)． (理)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(1－x ) (x ≤0)
f (x －1)－f (x －2) (x >0)，则f (2010)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．2
[答案] B
[解析] f (2010)＝f (2009)－f (2008)＝(f (2008)－f (2007))－f (2008)＝－f (2007)，同理f (2007)＝－f (2004)，∴f (2010)＝f (2004)，
∴当x >0时，f (x )以6为周期进行循环， ∴f (2010)＝f (0)＝log 21＝0.
9．(文)对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ，若a ≤
b ；b ，若a >b
函数f (x )＝log 12(3x
－2)*log 2x 的值域为( )
A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，0]
D ．[0，＋∞)
[答案] C
[解析] ∵a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ，若a ≤
b ，
b ，若a >b .
而函数f (x )＝log 12(3x －2)与log 2x 的大致
图象如右图所示，
∴f (x )的值域为(－∞，0]．
(理)定义max{a 、b 、c }表示a 、b 、c 三个数中的最大值，f (x )＝max{⎝⎛⎭⎫12x
，x －2，log 2x (x >0)}，则f (x )的最小值所在范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,3)
[答案] C
[解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x
，y ＝x －2与y ＝log 2
x 的图象，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝log 2x 图象的交点为A (x 1，y 1)，y ＝x －2与y ＝log 2x 图象的交点为B (x 2，y 2)，则由f (x )的定义知，当x ≤x 1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
，当x 1<x <x 2时，f (x )＝log 2x ，当x ≥x 2时，f (x )＝x －2，
∴f (x )的最小值在A 点取得，∵0<y 1<1，故选C.
10．(文)(2010·江西吉安一中)如图，已知四边形ABCD 在映射f ：(x ，y )→(x ＋1,2y )作用下的象集为四边形A 1B 1C 1D 1，若四边形A 1B 1C 1D 1的面积是12，则四边形ABCD 的面积是
( )
A ．9
B ．6
C ．6 3
D ．12
[答案] B
[解析] 本题考察阅读理解能力，由映射f 的定义知，在f 作用下点(x ，y )变为(x ＋1,2y )，∴在f 作用下|A 1C 1|＝|AC |，|B 1D 1|＝2|BD |，且A 1、C 1仍在x 轴上，B 1、D 1仍在y 轴上，故S ABCD ＝12|AC |·|BD |＝12|A 1C 1|·12|B 1D 1|＝1
2
SA 1B 1C 1D 1＝6，故选B.
(理)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋bx ＋c x ≤02 x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )
＝x 的解的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[答案] C
[解析] 解法1：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－4)2＋b ·(－4)＋c ＝c (－2)2
＋b ·(－2)＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＝4
c ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋4x ＋2 x ≤02 x >0
，
当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋4x ＋2＝x ， 解得x ＝－2，或x ＝－1； 当x >0时，由f (x )＝x 得，x ＝2， ∴方程f (x )＝x 有3个解．
解法2：由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2可得，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图如图所示．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．
二、填空题
11．(文)(2010·北京东城区)函数y ＝x ＋1＋lg(2－x )的定义域是________． [答案] [－1,2)
[解析] 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1≥0
2－x >0得，－1≤x <2.
(理)函数f (x )＝x ＋4－x 的最大值与最小值的比值为________． [答案]
2
[解析] ∵⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≥0
4－x ≥0，∴0≤x ≤4，f 2(x )＝4＋2x (4－x )≤4＋[x ＋(4－x )]＝8，且f
2
(x )≥4，
∵f (x )≥0，∴2≤f (x )≤22，故所求比值为 2.
[点评] (1)可用导数求解；(2)∵0≤x ≤4，∴0≤x 4≤1，故可令x 4＝sin 2θ(0≤θ≤π
2
)转化为
三角函数求解．
12．函数y ＝cos x －1
sin x －2 x ∈[0，π]的值域为________．
[答案] ⎣⎡⎦
⎤0，43 [解析] 函数表示点(sin α，cos α)与点(2,1)连线斜率．而点(sin α，cos α)α∈[0，π]表示单位圆右半部分，由几何意义，知y ∈[0，4
3
]．
13．(2010·湖南湘潭市)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均
为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数，有下列函数
①f (x )＝sin2x ②g (x )＝x 3 ③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ④φ(x )＝ln x .
其中是一阶整点函数的是________．(写出所有正确结论的序号) [答案] ①④
[解析] 其中①只过(0,0)点，④只过(1,0)点；②过(0,1)，(1,1)，(2,8)等，③过(0,1)，(－1,3)等．
14．(文)若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2012)f (2011)＝________.
[答案] 2011
[解析] 令b ＝1，则f (a ＋1)
f (a )＝f (1)＝1，
∴
f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2012)f (2011)
＝2011. (理)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．
上述三个命题中所有的正确命题的序号为________． [答案] ①②
[解析] ①f (x )＝x |x |＋c
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋c ，x ≥0－x 2＋c ，x <0， 如右图与x 轴只有一个交点．
所以方程f (x )＝0只有一个实数根正确． ②c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx 显然是奇函数．
③当c ＝0，b <0时，f (x )＝x |x |＋bx ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋bx ，x ≥0
－x 2＋bx ，x <0
如右图方程f (x )＝0可以有三个实数根． 综上所述，正确命题的序号为①②. 三、解答题
15．(文)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)．
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．
[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24) 令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，
∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)； ∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，
即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x 2－120x <80， 得x 2－12x ＋32<0，
解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <32
3；
∵323－8
3
＝8，∴每天约有8小时供水紧张．
(理)某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米．
(1)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，AB 长度应在什么范围内？ (2)若规划建设的仓库是高度与AB 长度相同的长方体形建筑，问AB 长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)
[解析] (1)依题意得三角形NDC 与三角形NAM 相似，所以DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD
20，
AD ＝20－2
3
x ，
矩形ABCD 的面积为S ＝20x －2
3x 2 (0<x <30)，
要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米， 即20x －2
3
x 2≥144，
化简得x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18. 所以AB 长度应在[12,18]内．
(2)仓库体积为V ＝20x 2－2
3x 3(0<x <30)，
V ′＝40x －2x 2＝0得x ＝0或x ＝20， 当0<x <20时，V ′>0，当20<x <30时V ′<0， 所以x ＝20时，V 取最大值80003m 3
，
即AB 长度为20米时仓库的库容最大．
16．(2010·皖南八校联考)对定义域分别是Df ，Dg 的函数y ＝f (x )，y ＝g (x )，规定： 函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
f (x )
g (x )，当x ∈Df 且x ∈Dg ，f (x )，当x ∈Df 且x ∉Dg ，
g (x )，当x ∈Dg 且x ∉Df .
(1)若函数f (x )＝1
x －1，g (x )＝x 2，写出函数h (x )的解析式；
(2)求问题(1)中函数h (x )的值域；
(3)若g (x )＝f (x ＋α)，其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y ＝f (x )，及一个α的值，使得h (x )＝cos4x ，并予以证明．
[解析] (1)由定义知，
h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
x －1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，1，x ＝1.
(2)由(1)知，当x ≠1时，h (x )＝x －1＋1x －1＋2，
则当x >1时，有h (x )≥4(当且仅当x ＝2时，取“＝”)； 当x <1时，有h (x )≤0(当且仅当x ＝0时，取“＝”)． 则函数h (x )的值域是(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)．
(3)可取f (x )＝sin2x ＋cos2x ，α＝π
4
，则g (x )＝f (x ＋α)＝cos2x －sin2x ，
于是h (x )＝f (x )f (x ＋α)＝cos4x .
(或取f (x )＝1＋2sin2x ，α＝π
2，则g (x )＝f (x ＋α)＝1－2sin2x .于是h (x )＝f (x )f (x ＋α)＝
cos4x )．
[点评] 本题中(1)、(2)问不难求解，关键是读懂h (x )的定义，第(3)问是一个开放性问题，乍一看可能觉得无从下手，但细加观察不难发现，cos4x ＝cos 22x －sin 22x ＝(cos2x ＋sin2x )(cos2x －sin2x )积式的一个因式取作f (x )，只要能够找到α，使f (x ＋α)等于另一个因式也就找到了f (x )和g (x )．
17．(文)某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如图所示：
该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如表所示：
(1)
(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式；
(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)
[解析] (1)P ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
t ＋20 (0<t <25，t ∈N *
)
－t ＋100 (25≤t ≤30，t ∈N *
) (2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *) (3)设日销售金额为y (元)，
则y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－t 2＋20t ＋800 (0<t <25，t ∈N *
)t 2－140t ＋4000 (25≤t ≤30，t ∈N *
)
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－(t －10)2＋900 (0<t <25，t ∈N *)(t －70)2－900 (25≤t ≤30，t ∈N *) 若0<t <25(t ∈N *)，
则当t ＝10时，y max ＝900；
若25≤t ≤30(t ∈N *)，
则当t ＝25时，y max ＝1125.
由1125>900，知y max ＝1125，
∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大． (理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当
地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x 万元，可获得纯利润P ＝－1160
(x －40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售
的投资收益为：每投入x 万元，可获纯利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192
·(60－x )万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？
[解析] 在实施规划前，由题设P ＝－1160
(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W 1＝100×10＝1000(万元)
实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160
(x －40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958
(万元) 前5年的利润和为7958×5＝39758
(万元) 设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x )万元用于外地区的销售投资，
则其总利润为
W 2＝[－1160(x －40)2＋100]×5＋(－159160x 2＋1192
x )×5＝－5(x －30)2＋4950. 当x ＝30时，W 2＝4950(万元)为最大值，
从而10年的总利润为39758
＋4950(万元)． ∵39758
＋4950>1000， ∴该规划方案有极大实施价值．。