2019高考数学考点总动员：考点12三角化简求值(生版)

2019高考数学考点总动员：考点12三角化简求值（生版）
【高考再现】
热点一 利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值
1. 〔2018年高考〔重庆文〕〕sin 47sin17cos30
cos17
-〔 〕
A
、
B 、12-
C 、1
2 D
【方法总结】
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.
（1）运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如TAN α＋TAN β＝TAN （α＋β）·（1－TAN αTAN β）和二倍角的余弦公式的多种变形等、
（2）应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用那么往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用.
热点二 利用倍角公式以及诱导公式求值
1. 〔2018年高考〔辽宁文〕
〕sin cos αα-=，α∈（0，π），那么sin 2α＝
〔 〕
A 、-1 B
、
C
D 、
1
2. 〔2018年高考〔江西文〕〕假设sin cos 1
sin cos 2αααα+=
-，那么TAN2α＝ 〔 〕 A 、－34 B 、34 C 、－43 D 、43
【答案】B
【解析】主要考查三角函数的运算，分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-， 带入所求式可得结果.
3. 〔2018年高考〔大纲文〕〕α为第二象限角，3
sin 5α=
，那么sin 2α=
〔 〕
A 、2425-
B 、1225-
C 、1225
D 、2425
4. 〔2018年高考〔山东理〕〕假设42ππθ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，
，
sin 2θ，那么sin θ=
〔 〕
A 、35
B 、45 C
D 、3
4
5. 〔2018年高考〔江西理〕〕假设TAN θ＋1
tan θ ＝4，那么SIN2θ＝
〔 〕
A 、15
B 、14
C 、13
D 、12
【答案】D
【解析】此题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.
因为221sin cos sin cos 1
tan 4
1tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===，
所以.
1 sin2
2
θ=
.
6. 〔2018年高考〔大纲理〕〕α
为第二象限角，
sin cos
αα
+=
，那么cos2α=
〔〕
A
、B
、C
【方法总结】
【一】利用诱导公式化简求值时的原那么
1、“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数、
2、“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数、
3、“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数、
4、“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，假设是特殊角直接求得，假设是非特殊角可由计算器求得.
【二】利用倍角公式化简求值
二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得、特别地，对于余弦：COS 2α＝COS2α－SIN2α＝ 2COS2α－1＝1－2SIN2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有表达、
【考点剖析】
一、明确要求
1、考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值.
2.公式逆用、变形应用是高考热点、
3.题型以选择题、解答题为主. 三、规律总结 基础梳理
2、诱导公式
公式一：SIN （α＋2K π）＝SIN α，COS （α＋2K π）＝COS ＿α，其中K ∈Z. 公式二：SIN （π＋α）＝－SIN ＿α，COS （π＋α）＝－COS ＿α， TAN （π＋α）＝TAN α.
公式三：SIN （－α）＝－SIN ＿α，COS （－α）＝COS ＿α. 公式四：SIN （π－α）＝SIN α，COS （π－α）＝－COS ＿α.
公式五：SIN ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝COS ＿α，COS ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－α＝SIN α.
公式六：SIN ⎝
⎛⎭⎪
⎫π2＋α＝COS ＿α，COS ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋α＝－SIN ＿α 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
4、二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：SIN2α＝2SIN ＿αCOS ＿α；
（2）C2α：COS2α＝COS2α－SIN2α＝2COS2α－1＝1－2SIN2α；
（3）T2α：TAN2α＝2tan α
1－tan2α
.
5、有关公式的逆用、变形等
6、函数F （α）＝ACOS α＋BSIN α（A ，B 为常数），可以化为F （α）＝a2＋b2SIN （α＋φ）或F （α）＝a2＋b2COS （α－φ），其中φ可由A ，B 的值唯一确定、
一个口诀
诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限、 三种方法
三个防范
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐、
特别注意函数名称和符号的确定、
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，假设开方，要特别注意判断符号、 （3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化、 两个技巧
（1）拆角、拼角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β；β
＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫
α2＋β.
（2）化简技巧：切化弦、“1”的代换等、
三个变化
（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”、 （2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等、
（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等、
【基础练习】
3、〔经典习题〕
1tan 2α=
，那么2cos 2sin 21
cos ααα++等于〔〕
A 、3
B 、6
C 、12
D 、3
2
4、〔经典习题〕SIN585°的值为（） A 、－
22B.22C 、－32D.
3
2
6、〔经典习题〕假设tan 2α=，那么2sin cos sin 2cos αα
αα-+的值为（）
A 、0B.34C 、1D.5
4
7.（教材习题改编）0000
sin 34sin 26cos34cos 26-的值是（）
A.12
B.32C 、－12D 、－32
8.（经典习题）假设
4cos 5α=-
，α是第三象限角，那么sin()4π
α+=
（）
A 、－7210B.7210C 、－210D.2
10
11、（人教A 版教材习题改编）以下各式的值为1
4
的是（）、
A 、2COS2π
12－1 B 、1－2SIN275°
C.
2tan 22.5°
1－tan222.5°
D 、SIN15°COS15°
12、（人教A 版教材习题改编）SIN （π＋α）＝1
2，那么COS α的值为（）、
A 、±12B.12C.32D 、±32
【名校模拟】 一、基础扎实
3、（2018·衡阳模拟）SIN α＝513，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，那么TAN2α的值为＿＿＿＿＿
＿＿＿、
4、（2018·赣州模拟）SIN ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋COS α＝453，那么SIN ⎝
⎛⎭⎪⎫
α＋π3的值为（）
A.45
B.35
C.32
D.3
5
5、（2018·长沙模拟）假设角α的终边落在第三象限，那么cos α1－sin2α
＋
2sin α1－cos2α
的值为（）
A 、3
B 、－3
C 、1
D 、－1
8、（长春市实验中学2018届高三模拟考试〔文〕）)
2,(,53
)cos(πππ∈=+x x ，那
么x sin 等于〔〕
53.-
A 54.-
B 53.
C 54
.D
9、（河南省郑州市2018届高三第二次质量预测文），那么
＝＿＿ 二、能力拔高.
3、（浙江省2018届重点中学协作体高三第二学期4月联考试题理）
33)6
cos(-
=-
π
x ，那么=
-+)3cos(cos π
x x 〔〕 A 、
3
32-
B 、
33
2±
C 、1-
D 、1±
6、（2018·湖州一中模拟）COS α＝17，COS （α－β）＝13
14
，
且0《β《α《π
2
，（1）求TAN2α的值；（2）求β.
7、（2018·温州模拟）假设
sin α＋cos α
sin α－cos α
＝3，TAN （α－β）＝2，
那么TAN （β－2α）＝＿＿＿＿＿＿＿＿. 8、（2017·杭州师大附中月考）如果F （TANX ）＝SIN2X －5SIN XCOSX ，那么F （5）＝＿＿＿＿＿＿＿＿
. 10、（河北省唐山市2017—2018学年度高三年级第二次模拟考试理）
α是第三象限的角，且TAN α＝2，那么SIN 〔α＋4π
〕＝
A
、
B
C
、 D
11、〔成都市2018届高中毕业班第二次诊断性检测理〕假设，
那么
＝〔〕
（A ）
（B ）（C ）
D ）
13、〔宁波四中2017学年第一学期期末考试理〕假设
)
2,0(π
α∈，且
2cos α+1sin(2)22πα+=
，那么tan α=.
三、提升自我
1、（2018年长春市高中毕业班第二次调研测试文）α∈（π
2，π），
3tan 4α=-
，
那么sin()απ+等于〔〕
A.35
B.35-
C.45
D.45-
2、（2018洛阳示范高中联考高三理）tan 2α=，那么2
cos 2(sin cos )α
αα-的值为〔〕
A 、3-
B 、3
C 、2-
D 、2
4、（江西省2018届十所重点中学第二次联考文）假设
(0,)
2πα∈，且
21
sin cos 24αα+=
，那么tan α的值等于（）
5、（浙江省杭州学军中学2018届高三第二次月考理〕
3cos()45πα+=，322ππ
α≤≤
那么α2
cos的值是
.
【原创预测】
1.
()sin()cos()4
f x a x b x
παπβ
=++++（,,,
a bαβ为非零实数），(2011)5
f=那
么
(2012)
f=（）
A、3
B、5
C、1
D、不能确定
2、假设
(,)
2
π
απ
∈
，且
3cos2sin()
4
π
αα
=-
，那么sin2α的值为〔〕A.
1
18 B.
1
18
-
C.
17
18 D.
17
18
-
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