辽宁省葫芦岛市连山区2019-2020学年八年级(上)期中数学试卷(含解析)

2019-2020学年八年级（上）期中数学试卷
一、选择题
1．下列图形中是轴对称图形的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B ＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）
A．15°B．25°C．30°D．10°
3．如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）
A．2对B．4对C．6对D．8对
4．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝（）
A．90°B．135°C．270°D．315°
5．如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
6．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；
④△BDF≌△CDE．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．在平面直角坐标系中，已知点A（m，3），与点B（4，n）关于y轴对称，那么（m+n）2019的值为（）
A．1 B．﹣1 C．﹣72019D．72018
8．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）
A．144°B．84°C．74°D．54°
9．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（）
A．△DBI和△EIC是等腰三角形
B．I为DE中点
C．△ADE的周长是8
D．∠BIC＝115°
10．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）
A．6 B．10 C．15 D．16
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数为，则电子表的实际时刻是．
12．等腰三角形的一个内角为30°，那么其它两个角的度数为．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝度．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，∠ABD＝30°，AB＝BD，则∠ADC 等于．
15．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于°．
16．如图：在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB+BC＝18cm，则AB＝cm．
17．如图，AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DE⊥AB，E为垂足，△ABC的周长为20cm，面积为40cm2，则DE的长为．
18．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕到BC的距离记为h2；
按上述方法不断操作下去…，经过第2019次操作后得到的折痕D2018E2018，到BC的距离记为h2019；若h1＝1，则h2019的值为．
三、解答题（第19题16分，第20题12分，共计28分）
19．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1），请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标．
20．尺规作图作出点P关于直线l的对称点P'（保留作图痕迹，不写作法）．
21．如图，直线a，b相交于点O，P在平面内，P到直线a，b的距离相等，且到A，B的距离相等，尺规作图作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
22．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，请在图中画出△AMN，写出画图过程并直接写出∠MAN 的度数．
23．如图，B，D分别在CF和EF上，CB＝ED，CA＝EA，∠C＝∠E，连接AB，AD．（1）求证：AB＝AD；
（2）求证：BF＝DF．
四、解答题（第21题10分，第22题10分，共计20分）
24．如图，△ABC和△EDC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在AB上，连接AE，求∠EAB的度数．
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，∠BCD＝∠A＝30°，BC＝4cm，求AD的长．
五、解答题
26．如图，在△ABC中，已知∠ABC和△ABC的外角∠ACG的平分线交于点F，过点F 作FD∥BC，FD分别交AB、AC于点D、E，求证：DE＝BD﹣CE．
六、解答题
27．如图，△ABC是等边三角形，CF⊥AC交AB的延长线于点F，G为BC的中点，射线AG交CF于D，E在CF上，CE＝AD，连接BD，BE．
求证：△BDE是等边三角形
七、解答题
28．如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，CE，BD相交于点P，连接PA．
（1）求证：CE＝BD；
（2）求证：PA平分∠BPE．
八、解答题
29．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，F为EC的中点，连接AF．写出AF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中是轴对称图形的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称可得答案．
解：第2、3、4个图形是轴对称图形，第1个图形不是轴对称图形，
故选：B．
2．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B ＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）
A．15°B．25°C．30°D．10°
【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵Rt△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，
∴∠BDF＝∠C+∠E＝90°+30°＝120°，
∵△BDF中，∠B＝45°，∠BDF＝120°，
∴∠BFD＝180°﹣45°﹣120°＝15°．
故选：A．
3．如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）
A．2对B．4对C．6对D．8对
【分析】根据平行线的性质得出∠ADB＝∠CBD，∠DAO＝∠BCO，∠ABD＝∠CDB，∠BAO＝∠DCO，根据ASA即可推出△ADB≌△CBD，△ABC≌△CDA，根据全等三角形的性质得出AD＝BC，AB＝CD，根据ASA推出△AOD≌△COB，△AOB≌△COD 即可．
解：图中全等三角形有4对，是△ADB≌△CBD，△ABC≌△CDA，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，
理由是：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠DAO＝∠BCO，∠ABD＝∠CDB，∠BAO＝∠DCO，
在△ADB和△CBD中，
，
∴△ADB≌△CBD（ASA），
同理△ABC≌△CDA，
∴AD＝BC，AB＝DC，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
同理△AOB≌△COD．
故选：B．
4．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝（）
A．90°B．135°C．270°D．315°
【分析】先根据直角三角形的性质求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．
解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．
故选：C．
5．如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
【分析】根据对称性和等边三角形的性质，作BE⊥AC于点E，交AD于点F，此时BF ＝CF，EF+CF最小，进而求解．
解：如图：
过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，
AF＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ECF＝30°．
故选：C．
6．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；
④△BDF≌△CDE．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据题意，结合已知条件与全等的判定方法对选项一一进行分析论证，排除错误答案．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，
∴△BDF≌△CDE，故④正确；
由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF，故①正确；
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD
∴BF∥CE，故③正确．
故选：D．
7．在平面直角坐标系中，已知点A（m，3），与点B（4，n）关于y轴对称，那么（m+n）2019的值为（）
A．1 B．﹣1 C．﹣72019D．72018
【分析】根据关于y轴对称求出m、n的值，再代入求出即可．
解：∵点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣4，n＝3，
∴（m+n）2019＝（﹣4+3）2019＝﹣1，
故选：B．
8．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）
A．144°B．84°C．74°D．54°
【分析】根据正多边形的内角，可得∠ABE、∠E、∠CAB，根据四边形的内角和，可得答案．
解：正五边形的内角是∠ABC＝＝108°，
∵AB＝BC，
∴∠CAB＝36°，
正六边形的内角是∠ABE＝∠E＝＝120°，
∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB＝360°，
∴∠ADE＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°，
故选：B．
9．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（）
A．△DBI和△EIC是等腰三角形
B．I为DE中点
C．△ADE的周长是8
D．∠BIC＝115°
【分析】由角平分线以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定△IDB和△IEC是等腰三角形，所以BD＝DI，CE＝EI，△ADE的周长被转化为△ABC的两边AB和AC 的和，即求得△ADE的周长为8．
解：∵BI平分∠DBC，
∴∠DBI＝∠CBI，
∵DE∥BC，
∴∠DIB＝∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴BD＝DI．
同理，CE＝EI．
∴△DBI和△EIC是等腰三角形；
∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠IBC+∠ICB＝65°，
∴∠BIC＝115°，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
10．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）
A．6 B．10 C．15 D．16
【分析】根据对称性和等腰三角形的性质，连接AD交EF于点M，此时△CDM周长最小，进而可求解．
解：如图：
连接AD交EF于点M，
∵等腰△ABC的底边BC长为6，
点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
∵EF是腰AC的垂直平分线，连接CM，
∴AM＝CM，
此时△CDM的周长为：CM+DM+CD＝AM+DM+CD＝AD+CD
CD的长为3固定，
∴根据两点之间线段最短，
△CDM的周长最小．
∵S△ABC＝BC•AD，
∴×6•AD＝36，
∴AD＝12，
∴AD+CD＝12+3＝15．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数为，则电子表的实际时刻是10：50．
【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的2实际应为5．
解：电子表的实际时刻是10：50，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．
故答案为10：50
12．等腰三角形的一个内角为30°，那么其它两个角的度数为30°、120°或75°、75°．【分析】分类讨论，①30°是顶角；②30°是底角；结合三角形内角和定理计算即可．解：①30°是顶角，则底角＝（180°﹣30°）＝75°；
②30°是底角，则顶角＝180°﹣30°×2＝120°．
∴另两个角的度数分别是75°、75°或30°、120°．
故答案为75°、75°或30°、120°．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝36度．
【分析】已知有许多线段相等，根据等边对等角及三角形外角的性质得到许多角相等，再利用三角形内角和列式求解即可．
解：设∠A＝x
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x，∠BDC＝2x
∵BD＝BC
∴∠C＝∠BDC＝2x，∠DBC＝x
∵在BDC中x+2x+2x＝180°
∴x＝36°
∴∠A＝36°．
故填36．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，∠ABD＝30°，AB＝BD，则∠ADC 等于105°．
【分析】首先根据等腰三角形的顶角度数求得底角∠A的度数，然后利用平行线的性质求得∠ADC的度数即可．
解：∵∠ABD＝30°，AB＝BD，
∴∠A＝＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝105°，
故答案为：105°．
15．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于45°．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；
解：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝15°，
∴∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，
∴∠ECD＝∠A+∠CDB＝15°+30°＝45°，
故答案为45．
16．如图：在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB+BC＝18cm，则AB＝12cm．
【分析】根据直角三角形的性质得到BC＝AB，根据题意计算．
解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴BC＝AB，
由题意得，AB+AB＝18，
解得，AB＝12，
故答案为：12．
17．如图，AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DE⊥AB，E为垂足，△ABC的周长为20cm，面积为40cm2，则DE的长为4cm．
【分析】根据角平分线的性质和三角形面积公式解答即可．
解：连接CD，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴点D到AC，AB，BC的距离相等，即为DE，
∵△ABC的周长为20cm，面积为40cm2，
∴，
即，
解得：DE＝4，
故答案为：4cm．
18．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕到BC的距离记为h2；
按上述方法不断操作下去…，经过第2019次操作后得到的折痕D2018E2018，到BC的距离记为h2019；若h1＝1，则h2019的值为2﹣．
【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA＝DA'＝DB，从而可得∠ADA'＝2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA'＝2∠ADE，可得∠ADE＝∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1＝2，求出h1＝2﹣1＝1，同理，h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣，经过第n次操作后得到的折痕D n﹣1E n﹣1到BC的距离
h n＝2﹣．
解：由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA＝DB，
∴DB＝DA1，
∴∠BA1D＝∠B，
∴∠ADA1＝2∠B，
又∵∠ADA1＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1＝2h1＝2，
∴h1＝2﹣1＝1，
同理，h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣
…
∴经过第n次操作后得到的折痕D n﹣1E n﹣1到BC的距离h n＝2﹣．
∴h2019＝2﹣．
故答案为：2﹣．
三、解答题（第19题16分，第20题12分，共计28分）
19．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1），请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标．
【分析】根据轴对称的性质找到各点的对应点，然后顺次连接即可，画出图形后即可直接写出各点的坐标．
解：所画图形如下所示：
由图形可得：A1（3，2），B1（4，﹣3），C1（1，﹣1）；
20．尺规作图作出点P关于直线l的对称点P'（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】先过P作PC⊥l于D，在PD的延长线上截取DP'＝DP，则点P'即为所求．解：如图所示：
点P即为所求．
21．如图，直线a，b相交于点O，P在平面内，P到直线a，b的距离相等，且到A，B的距离相等，尺规作图作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】直接利用线段垂直平分线的作法与性质以及角平分线的作法与性质分析得出答案．
解：如图所示：点P1，P2即为所求．
22．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，请在图中画出△AMN，写出画图过程并直接写出∠MAN 的度数．
【分析】根据对称性作点A关于BC和DC的对称点E、F，连接EF，与BC和DC的交点为M和N，此时△AMN周长最小，进而可求得∠MAN的度数．
【解答】
解：如图所示：
作点A关于BC和DC的对称点E和F，
连接EF，与BC和DC相交于点M和N，
连接AM和AN，根据对称性得：
AM＝EM，AN＝FN，
AM+AN+MN＝EM+FN+MN＝EF，
根据两点之间线段最短，
此时△AMN的周长最小，
∵∠BAD＝110°，
∴∠E+∠F＝180°﹣110°＝70°，
∴∠EAM+∠FAN＝70°，
∴∠MAN＝∠EAF（﹣∠EAM+∠FAN）＝40°．
答：∠MAN的度数为40°．
23．如图，B，D分别在CF和EF上，CB＝ED，CA＝EA，∠C＝∠E，连接AB，AD．（1）求证：AB＝AD；
（2）求证：BF＝DF．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得AB＝AD；
（2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠DBF＝∠BDF，可得BF＝DF．【解答】证明：（1）∵CB＝ED，CA＝EA，∠C＝∠E，
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴AB＝AD；
（2）如图，连接BD，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，
∴∠ABF＝∠ADF，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABF﹣∠ABD＝∠ADF﹣∠ADB，
∴∠DBF＝∠BDF，
∴BF＝DF．
四、解答题（第21题10分，第22题10分，共计20分）
24．如图，△ABC和△EDC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在AB上，连接AE，求∠EAB的度数．
【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠CAB＝∠ABC＝45°，CA＝CB，CD＝CE，由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得∠CAE＝∠B＝45°，即可求解．
【解答】证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA，
即∠BCD＝∠ACE．
∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，CA＝CB，CD＝CE，且∠BCD＝∠ACE，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
∴∠CAE＝∠B＝45°，
∴∠CAE+∠CAB＝90°，
∴∠EAB＝90°
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，∠BCD＝∠A＝30°，BC＝4cm，求AD的长．
【分析】根据含30度角的直角三角形性质求出BC和BD，再相减即可．
解：∵△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4cm，
∴AB＝2BC＝8cm，∠B＝60°，
∵∠BCD＝∠A＝30°，
∴∠B+∠BCD＝60°+30°＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∴BD＝BC＝2cm，
∴AD＝AB﹣BD＝8cm﹣2cm＝6cm．
五、解答题
26．如图，在△ABC中，已知∠ABC和△ABC的外角∠ACG的平分线交于点F，过点F 作FD∥BC，FD分别交AB、AC于点D、E，求证：DE＝BD﹣CE．
【分析】证明BD＝FD，CE＝FE，即可解决问题．
【解答】证明：∵∠ABC的平分线和外角∠ACF的平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠GCF；
∵FD∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠GCF，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴BD＝FD，EC＝EF；
∴DE＝BD﹣CE
六、解答题
27．如图，△ABC是等边三角形，CF⊥AC交AB的延长线于点F，G为BC的中点，射线AG交CF于D，E在CF上，CE＝AD，连接BD，BE．
求证：△BDE是等边三角形
【分析】由等边三角形的性质可得AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠CAD ＝∠BAD＝30°，由“SAS”可证△ACD≌△CBE和△ACD≌△ABD，可得∠ADC＝∠CEB ＝60°＝∠ADB，即可得结论．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，G为BC的中点，
∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠CAD＝∠BAD＝30°，
∵AC⊥CF，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝60°，∠BCE＝30°，
∴∠CAD＝∠BCE，且AC＝CE，AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠ADC＝∠CEB＝60°，
∵AC＝AB，∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，
∴△ACD≌△ABD（SAS）
∴∠ADC＝∠ADB＝60°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADC﹣∠ADB＝60°，
∴∠BDE＝∠BED
∴△BDE是等腰三角形，且∠BED＝60°，
∴△BDE是等边三角形．
七、解答题
28．如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，CE，BD相交于点P，连接PA．
（1）求证：CE＝BD；
（2）求证：PA平分∠BPE．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AE＝AD，再由∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，得出∠DAB＝∠EAC，利用SAS可证得△EAC≌△DAB，从而可得出结论．
（2）根据△EAC≌△DAB可得∠ACF＝∠ABE，证明△BAE≌△CAF（AAS），得出AE＝AF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AE＝AD、AB＝AC，
又∵∠EAD＝∠BAC＝60°，∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，
即∠DAB＝∠EAC，
在△EAC和△DAB中，，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴CE＝BD；
（2）证明：作AE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图所示：
则∠BEA＝∠CFA＝90°，
由（1）得：△EAC≌△DAB，
∴∠ACF＝∠ABE，
在△BAE和△CAF中，，
∴△BAE≌△CAF（AAS），
∴AE＝AF，
∵AE⊥BD于E，AF⊥CE于F，
∴PA平分∠BPE．
八、解答题
29．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，F为EC的中点，连接AF．写出AF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．
【分析】过点C作CG∥AE交直线AF于G，直线AF交BD于H，证明△CGF≌△EAF
（AAS），得出CG＝AE，AF＝GF，得出AF＝AG，证明△BAD≌△ACG（SAS），得出BD＝AG，∠ABD＝∠CAG，进而得出结论．
解：AF＝BD，AF⊥BD，理由如下：
过点C作CG∥AE交直线AF于G，直线AF交BD于H，如图所示：
则∠G＝∠EAF，∠EAC+∠ACG＝180°，
∵F为EC的中点，
∴CF＝EF，
在△CGF和△EAF中，，
∴△CGF≌△EAF（AAS），
∴CG＝AE，AF＝GF，
∴AF＝AG，
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠EAC+∠BAD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∠CAG+∠BAH＝90°，∴AD＝CG，∠BAD＝∠ACG，
在△BAD和△ACG中，，
∴△BAD≌△ACG（SAS），
∴BD＝AG，∠ABD＝∠CAG，
∴AF＝BD，∠ABD+∠BAH＝90°，
∴AF⊥BD．。