【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.3 第2课时 抛物线的简单几何性质练习 新人教A版选修1-1

【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.3 第2课时 抛物线的简单
几何性质练习 新人教A 版选修1-1
一、选择题
1．已知P (8，a )在抛物线y 2
＝4px 上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
[答案] B
[解析] 根据题意可知，P 点到准线的距离为8＋p ＝10，可得p ＝2，所以焦点到准线的距离为2p ＝4，选B.
2．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2
＋y 2
＝16相切，则p 的值为( ) A ．1
2 B ．1 C ．2 D ．4
[答案] C
[解析] 本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．
抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2，由题意知，3＋p
2
＝4，p ＝2.
3．设抛物线y 2
＝8x 的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为4，则|PF |等于( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2
[答案] B
[解析] 抛物线准线l ：x ＝－2，P 到l 距离d ＝4－(－2)＝6，∴|PF |＝6.
4．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2
＝4x 的焦点重合，则
mn 的值为( )
A ．316
B ．38
C ．163
D ．83
[答案] A
[解析] 由条件知⎩
⎨
⎧
m ＋n
m ＝2m ＋n ＝1
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝14n ＝3
4
.∴mn ＝3
16
，故选A.
5．(2013·天津理，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2
＝
2px (p >0)的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )
A ．1
B ．32
C ．2
D ．3
[答案] C
[解析] 本题考查了双曲线、抛物线的几何性质与三角形面积．
∵c a ＝2，∴b 2＝3a 2，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3x ，不妨设A (－p 2，3p 2)，B (－p
2，－
3p 2)，则AB ＝3p ，又三角形的高为p 2，则S △AOB ＝12×p 2
×3p ＝3，即p 2
＝4，又p >0，∴p ＝2.
6．P 为抛物线y 2
＝2px 的焦点弦AB 的中点，A 、B 、P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|、|BB 1|、|PP 1|，则有( )
A ．|PP 1|＝|AA 1|＋|B
B 1| B ．|PP 1|＝1
2|AB |
C ．|PP 1|>1
2|AB |
D ．|PP 1|<1
2
|AB |
[答案] B [解析] 如图， 由题意可知|PP 1| ＝
|AA 1|＋|BB 1|
2
， 根据抛物线的定义，得 |AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BC |， ∴|PP 1|＝|AF |＋|BF |2＝1
2|AB |.
二、填空题
7．(2014·长春市调研)已知F 是抛物线y 2
＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，设|FA |>|FB |，则|FA |
|FB |
＝________.
[答案] 3＋2 2
[解析] 抛物线y 2
＝4x 的焦点F (1,0)，过F 斜率为1的直线方程为y ＝x －1，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x －1，
y 2
＝4x ，消去y 得x 2
－6x ＋1＝0，求得x 1＝3＋22，
x 2＝3－22，
故由抛物线的定义可得|FA ||FB |＝x 1＋1
x 2＋1
＝3＋2 2.
8．沿直线y ＝－2发出的光线经抛物线y 2
＝ax 反射后，与x 轴相交于点A (2,0)，则抛物线的准线方程为________．
[答案] x ＝－2
[解析] 由抛物线的几何性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行，及直线y ＝－2平行于抛物线的轴知A (2,0)为焦点，故准线方程为x ＝－2.
9．若抛物线y 2
＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点
M 的坐标为________．
[答案] (－9，－6)或(－9,6)
[解析] 由抛物线方程y 2
＝－2px (p >0)，得其焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－p
2，0，准线方程为x ＝p
2，
设点M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p
2－(－9)＝10，∴p ＝2，故抛物线方程为y
2
＝－4x .
将M (－9，y )代入抛物线方程，得y ＝±6，∴M (－9,6)或M (－9，－6)． 三、解答题
10．一抛物线拱桥跨度为52m ，拱顶离水面6.5m ，一竹排上载有一宽4m ，高6m 的大木箱，问竹排能否安全通过？
[解析] 如图所示建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为x 2
＝－2py ，则有A (26，－6.5)， 设B (2，y )，由262＝－2p ×(－6.5)得p ＝52， ∴抛物线方程为x 2＝－104y . 当x ＝2时，4＝－104y ，y ＝－1
26，
∵6.5－1
26
>6，∴能安全通过.
一、选择题
11．直线y ＝kx －2交抛物线y 2
＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( )
A ．2或－2
B ．－1
C ．2
D ．3
[答案] C
[解析] 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝8x
y ＝kx －2，得k 2x 2
－4(k ＋2)x ＋4＝0，
则
k ＋k 2
＝4，即k ＝2.
12．过抛物线y 2
＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )
A ．12
B ．－12
C ．3
D ．－3
[答案] D
[解析] 设A (y 214，y 1)，B (y 22
4，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB →
＝(y 214，y 1)·(y 2
24，
y 2)＝
y 21y 2
2
16
＋y 1y 2，
又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2
＝－4， ∴OA →·OB →＝
y 1y 2
2
16
＋y 1y 2＝
－
2
16
－4＝－3，故选D.
13．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线准线上的射影是A 1、B 1，则∠A 1FB 1等于( )
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
[答案] C
[解析] 由抛物线的定义得，|AF |＝|AA 1|， |BF |＝|BB 1|，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A 1AF ＋∠B 1BF ＝360°，
且∠A 1AF ＋∠B 1BF ＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2(∠2＋∠4)＝180°，即∠2＋∠4＝90，
故∠A 1FB 1＝90°.
14．(2012·四川文，9)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )
A ．2 2
B ．2 3
C ．4
D ．2 5
[答案] B
[解析] 由抛物线定义知，p
2＋2＝3，所以p ＝2，抛物线方程为y 2
＝4x .因为点M (2，y 0)
在此抛物线上，所以y 2
0＝8，于是|OM |＝4＋y 2
0＝2 3.故选B.
二、填空题
15．已知F 是抛物线y 2
＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是________．
[答案] 4
[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．
16．P 为抛物线y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝x －1，则点P 到直线l 距离的最小值为________．
[答案]
32
8
[解析] 设P (x 0，x 20)为抛物线上的点，则P 到直线y ＝x －1的距离d ＝|x 0－x 2
0－1|
2＝
|x 2
0－x 0＋1|
2
＝x 0－
122
＋34
2
.∴当x 0＝12时，d min ＝32
8
.
三、解答题
17．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．
[解析] 如图，作AA ′⊥l 于A ′，BB ′⊥l 于B ′，M 为AB 的中心，作MM ′⊥l 于M ′，
则由抛物线定义可知|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 在直角梯形BB ′A ′A 中，|MM ′|＝1
2(|AA ′|＋|BB ′|)
＝12(|AF |＋|BF |)＝1
2
|AB |， 即|MM ′|等于以|AB |为直径的圆的半径． 故以|AB |为直径的圆与抛物线的准线相切．
18．已知直线l 经过抛物线y 2
＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．
(1)若|AF |＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 长度的最小值．
[解析] 由y 2
＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)．
(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p
2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2
＝4x ，解得y 1＝±2 3.
∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．
与抛物线方程联立，得⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －
，
y 2
＝4x ，
消去y 整理得，k 2x 2
－(2k 2
＋4)x ＋k 2
＝0. ∵直线与抛物线相交于A 、B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1、x 2， ∴x 1＋x 2＝2＋4
k
2.
由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4
k
2>4.
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，
∴|AB |≥4，即线段AB 长度的最小值为4.。