江西省新余市第四中学2018届高三适应性考试数学(文)试题(附答案) (6)

新余四中2018届高三毕业年级适应性考试卷
文科数学
满分150分 考试用时120分钟
第I 卷
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1. 已知复数z 满足(1)(i z i i -=为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．12-
B ．12
C ．12
i - D ．12i 2．已知平面向量a ＝()1,3-,()4,2b =-，若a b λ-与a 垂直，则λ＝（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
3. 集合{}2=log 2A x x <，{}
2
=230B x x x -->，则A
B 等于（ ）
A ． ()(),13,4-∞-
B ．()(),31,4-∞-
C ．()1,4
D ．()3,4
4．对于一组数据1,2,3,4,5，如果将它们改变为11,12,13,14,15，则下列结论正确的是 A ．平均数不变，方差变 B ．平均数与方差均发生变化 C ．平均数与方差均不变 D ．平均数变，方差保持不变
5.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学。

“更相减损
术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，
若输入的b a ,错误！未找到引用源。

分别为96、36，则输出的为( )
A ．4
B ．5 C. 6 D ．7 6. 下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．命题“若1,12==x x 则”的否命题为：“若1,12≠=x x 则”；
B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件；
C ．命题“01,2<-+∈∃x x R x 使得”的否定是：“01,2>-+∈∀x x R x 均有”；
D ．命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题； 7．设0.3
2
a =，2
0.3b =，()
()2log 0.31m c m m =+>，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．b c a << 8. 已知定义在R 上的函数()f x 在[)1,+∞上单调递减，且(1)f x +是偶函数，不等式
(2)(1)f m f x +≥-对任意的[]1,0x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(]
[),42,-∞-+∞ B ．[]4,2- C. (][),31,-∞-+∞ D ．[]3,1-
9．一个陀螺模型的三视图如图所示，则其表面积是（ ） A ．
7
3
π B
．(4π C ．6π D
．(5π+ 10.若不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域内存在点()00,y x ，使
0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）．
A. [-1，+
∞） B. (-∞,-1] C. (-∞,1] D. [1, +∞)
11．函数()2sin 1x f x x x =
++在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图象为（ ）
A. B. C. D.
12.设A ，B 为双曲线()22
220x y a b
λλ-=≠同一条渐近线上的两个不同的点，若向量
()0,2n =，3AB =且
1AB n n
⋅=-，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2或
4 B ．3或4 C ．3
D ．3
第Ⅱ卷（选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设函数2,3,
()(1) 3.
x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩，则2(log 6)f 的值为 .
14．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称，
若sin 3
α=
，则()cos αβ+= ． 15. 已知在平面直角坐标系中，曲线()ln f x a x x =+在x a =处的切线过原点，则
a = ．
16. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，在数列{}n b 中，32313n n n n b a a a --=++，且16b =，
29b =，则
2
n n
b S n
⋅的最小值为 ． 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必修作答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）
17. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已
知
n c o s B
（1）求cos B 的值；
（2）若1a c +=，求b 的取值范围．
18.（本小题满分12分）
如图,在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中,A 1A=AB ,∠ABC =90°,侧面A 1ABB 1⊥底面ABC . (1) 求证:AB 1⊥平面A 1BC ;
(2) 若AC =5,BC =3,∠A 1AB =60°,求棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积.
19. 在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x （单位：分）与物理偏差y （单位：分）之间的关系进行偏差分析，决定从全班40位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：
（1）已知x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；
（2）若这次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为92分，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩．
参考公式：1
1
2
2
21
1
()()()
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx
====---=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-，
参考数据：
8
1
324i i
i x y
==∑，8
21
1256i i x ==∑．
20、（本题满分12分）
已知A(－2，0)，B(2，0)为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△APB 面积的最大值为32。

(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当点P 在椭圆上运动时，求证：以BD 为直径的圆与直线PF 恒相切．
21．（本题满分12分）已知函数(),ln x x
n
mx mx x f --+
=.,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值；
（3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点()21210,x x x x <<，求证：221>+x x .
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕ
ϕ=⎧⎨=+⎩
（ϕ为参数），以O 为极点，x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的普通方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
射线:6OM π
θ5=与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()21f x x x =++-.
（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围；
（2）若不等式()10f x ax +->的解集为R ，求实数a 的取值范围.
新余四中2018届高三毕业年级适应性考试卷
文科数学答案
一． 选择题BBDDAD BDDBBB 二． 填空题12 3
1
-
e 8
17.解（1
·······3分
因为sin 0A ≠，∴．又cos 0B ≠，∴
又0πB <<，∴·······6分
（2）由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-． 因为1a c +=，1
cos 2
B =
，·······9分
，又01a <<，于是有·······12分
18.解答：
（1）证明：在侧面A 1ABB 1中,因为A 1A =AB , 所以四边形A 1ABB 1为菱形， 所以对角线AB 1⊥A 1B ,
因为侧面A 1ABB 1⊥底面ABC ,∠ABC =90， 所以CB ⊥侧面A 1ABB 1，
因为AB 1⊂平面A 1ABB 1内,所以CB ⊥AB 1 又因为A 1B ∩BC =B ， 所以AB 1⊥平面A 1BC . （2）由勾股定理得AB=4，
由菱形A 1ABB 1中∠A 1AB=60°，得△A 1AB 为正三角形，
易得出A 1B=4，AB 1=
菱形A 1ABB 1的面积为0.5 |A 1B|| AB 1|=, 由（1）可知CB ⊥侧面A 1ABB 1 所以棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积为
11
=22V S h =
⋅⨯
19.解：（1）由题意计算得，52x =
，98
y =， 1
2
221
59
32481285
4
12568()2n
i i
i n
i i x y nx y
b x nx
==--⨯⨯
=
=
=-⨯-∑∑， 所以a y bx =-1518422
9=
-⨯=， 故线性回归方程为1142
y x =
+． （2）由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为92ω-， 而数学偏差为1261206-=， 则（1）的结论可得11
92642
ω-=
⨯+，解得94ω=， 所以可以预测这位同学的物理成绩为94分．
20.解：由题意可设椭圆C 的方程为
22a x ＋2
2b y
＝1 (a>b>0)，F(c ，0)． 由题意知⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧+===⋅⋅222232221
c b a a b a ，解得b=3，c=1.
故椭圆C 的方程为
13
422=+y x ，离心率为21。

（Ⅱ）证明：由题意可设直线AP 的方程为y=k(x+2)(k ≠0)。

则点D 坐标为（2,4k ）,BD 中点E 的坐标为（2，2k ）.
由()
⎪⎩⎪⎨⎧=++=134
222y x x k y 得()
0121616432222=-+++k x k x k 。

设点P 的坐标为()00,y x ，则2
204312
162k k x +-=- 所以2
204386k
k x +-=，()20043122k k
x k y +=+= 因为点F 坐标为(1，0)，
当k
＝±
时，点P 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛
±
231，，直线PF ⊥x 轴，点D 的坐标为(2，±2)． 此时以BD 为直径的圆(x －2)2＋(y ∓1)2＝1与直线PF 相切． 当21±
≠k 时，则直线PF 的斜率2004141k
k x y k PF -=-= 所以直线PF 的方程为()14142
--=
x k k
y
点E 到直线PF 的距离()
2
2
2
2
2
22
2
2414141821
41164142418k k k k k k k k k
k k k d -+-+=+---
--=
又因为|BD|＝4|k|，所以d ＝
2
1
|BD|. 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．
综上得，当点P 在椭圆上运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 恒相切．
21．
解析:（1）由'
2()n x f x x -=
，'
2(2)4
n f -=，
由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，故
2
14
n -=，
解得6n =..............2分
.............6分
（3）若1n =时，()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<， 由11111()ln 0mx f x x x -=
-=，22221()ln 0mx f x x x -=-=，得1212
11
ln ln m x x x x =+=+，
∴212121ln x x x x x x -=，设211x t x =>，11ln t t tx -=，11ln t x t t -=，故21211(1)ln t x x x t t t
-+=+=，
∴2121
2(ln )22ln t t t x x t
--+-=，记函数21()ln 2t h t t t -=-，因2'
2
(1)()02t h t t -=>， ∴()h t 在(1,)+∞递增，∵1t >，∴()(1)0h t h >=，
又2
1
1x t x =>，ln 0t >，故122x x +>成立..............12分
22.解：（1）圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕ
ϕ=⎧⎨=+⎩
，（ϕ为参数），
∴圆C 的普通方程为()2
2
39x y +-=；
（2）化圆C 的普通方程为极坐标方程6sin ρθ=，
设()11,P ρθ，则由6sin 6ρθ
πθ=⎧⎪
5⎨=⎪⎩
解得11
53,6πρθ==， 设()22,Q ρθ
，则由2sin 656πρθπθ⎧⎛
⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=
⎪⎩
，解得2254,6πρθ==，
∴211PQ ρρ=-=.
23.解：（1）∵函数()()21213f x x x x x =++-≥+--=， 故函数()21f x x x =++-的最小值为3， 此时21x -≤≤；
（2）当不等式()10f x ax +->的解集为R ，函数()1f x ax >-+恒成立， 即()f x 的图象恒位于直线1y ax =-+的上方，
函数()21,2
213,2121,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪
=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩
，
而函数1y ax =-+表示过点()0,1，斜率为a -的一条直线， 如图所示：当直线1y ax =-+过点()1,3A 时，31a =-+， ∴2a =-，
当直线1y ax =-+过点()2,3B -时，321a =+，∴1a =， 数形结合可得a 的取值范围为()2,1-.。