2021-2022年高考数学二轮复习第2部分专题一三角函数与解三角形2解三角形限时速解训练

2021年高考数学二轮复习第2部分专题一三角函数与解三角形2解三角形限时速解训练 解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 1．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.
(1)若PB ＝12
，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .
解：(1)由已知得，∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.
在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.故PA ＝72
. (2)设∠PBA ＝α，则∠BCP ＝α，
在Rt △BCP 中，PB ＝BC sin α＝sin α，
在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin 30°－α
， 化简得3cos α＝4sin α.
所以tan α＝
34，即tan ∠PBA ＝34. 2．如图，在△ABC 中，∠B ＝π3
，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2， cos ∠ADC ＝17
.
(1)求sin ∠BAD ；
(2)求BD ，AC 的长．
解：(1)在△ADC 中，因为
cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437
. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )
＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314
. (2)在△ABD 中，由正弦定理得
BD ＝AB ·sin∠BAD sin ∠ADB ＝8×33
1443
7
＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得
AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B
＝82＋52－2×8×5×12
＝49. 所以AC ＝7.
3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12
c 2.
(1)求tan C 的值；
(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．
解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12
＝ 12
sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C . 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34
π，得 －cos 2B ＝－cos[2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－C ]＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－2C ＝sin 2C ＝2sin C cos C ， ∴2sin C cos C ＝sin 2C 解得tan C ＝2.
(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255
， cos C ＝
55. 又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010. 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝223
b ， 又因为A ＝π4，12
bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3. 4．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．
(1)求A ；
(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．
解：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，
又sin B ≠0，从而tan A ＝3，
由于0＜A ＜π，所以A ＝π3
. (2)法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，及a ＝7，b ＝2，A ＝π3
， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，
因为c ＞0，所以c ＝3.
故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332
. 法二：由正弦定理，得7sin π3
＝2sin B ， 从而sin B ＝
217， 又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277
. 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114
. 所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332
.。