一道数学题的多思路解法

该 题 就可 以 这 种 方 法应 该 有很 多同学 都 会想 到 ， 主 的题 目可 以用 类似 的 方法 求解 ， 这样 做 。 要是 利 用 函数 的导 数 来 判 断 该 函数 的 单 调
几 河完 美地 结 合任 一 起 ｒ ， 所 以 题 我们 町
以 尝试 用 几何斜 率 法去 求解 。
Ｖ 一 Ｖ．
的美 妙 ， 而 这 只 不过 是 冰 山 ・ 角。 只要你 喜
欢 数学 ， 只要 你 乐于 思 考， 数 学 的 世 界 就 会
是 美 的 世界 。
即所求 函数 的 值域 ：
， ２ Ｊ 。
解法 三 ：（ 分离 变节 法 ） 这 种 方 法 存 求解 分 式 方 程 里 是 很常 用 的 方法 ， 司空 】 见惯 。 这 道 题 里 的 该 函数 看 起 来很 像 分 式 方程 ， 利 用类 比 的思 想 ， 我 们 称 其为 “ 分式函数” 。那 我 们 能 不 能 用 达 种 方 法 来 求 解 该 题 呢？答 案 显 然 是 肯定 以 及 确 定的， 数 学的 很 多习题 就 是 这 样 ， ・ 些类 似
何学 里 的斜 率 公式 ｋ 二 ＿ ＝
３ ； － ２ 一 Ｉ
有点 类似 ， 那
求 函 数Ｙ ＝ 菩 ｊ ＋ 竺 Ｃ Ｏ 的 Ｓ 值 域 ， ｘ ∈ ［ ０ ， １ ’ 。
这道 高考 数学 题 并不 准 ， 相 信火 多同 学 都 会解 答 ， 下 面就 一 起 探 讨这 题 有 多少种 思 路解 法 ， 来发 现这 道 题 中的 “ 数学 美”。
ｉ 鱼： 塑
Ｓｃｉ ｅｎ ｃｅ ａｎ ｄ Ｔｅｃ ｈｎ ｏｌ ｏｇ ｙ ｌ ｎ ｎｏ ｖａ ｔ ｉ ｏｎ Ｈｅ ｒ ａ ｌ ｄ
学 术 论 坛
一
道 数学 题 的 多思路 解法
乔 凯
（ 包 头市第九 中学
摘
包头 ０ １ ４ ０ １ ０ ）
要： 很 多教 师单纯的认 为要学好数学就得 多做题 ， 见的题 多了 ， 做 的题 多了 ，自然就熟练了， 成绩也就能提 高了！ 于是 ，“ 题海战术” 便受到很
解 法 四：（ 判 别 式 法） 这种 方法是比较难 想到 的， 但 是 如 果 善 于思 考也 就 没有 那 么难 想 到 了。 使 用这 种 方法 一 要 很 熟悉 三角函数 ， 对其 中的 一些 三 角之 间的 变 换 熟 记 于 心 ；二要 联 想 到 一元 二次 方程 ， 对 一 元 二 次 方 程 的 一 些 基 本 性 质很 清 缝 ， 那 么 这 题 的
众所周知， 数 学题 是 做 不完 的。我认 为 要 使 学 生 学 好 数 学 ，还 是 要 从 提 高 学 生 的 数 学 思 维 能 力 和 学 习数 学 的 必 趣 上 多下 工
二 角 函数 来 表 示 ｘ 与ｙ 的 等 式 关 系 了， 如 果
这样 做 了， 就 有点 画蛇 添足 的 感觉 了，“ 数 学 美”也就 没有 ｒ 。
即所求函数的值域 ： ［ ÷ ， ２ Ｊ 。
Ｚ
解法 五 ：（ 几何斜 率法 ） 这道题 是一道纯代 数题 ， 好 像 与几 何
夫， 引导 学 生 体会 数 学 自身是 美 妙 的 。 住数
学的， 】 、 天地里， 你 会 发现 另 外一 番 大世 界 。 茌浩 瀚 无边 的 数学 题 海 中， 下而只是 一 道 简 单 的 高 考 数学 题 ， 淋漓尽致的诠释了“ 她”
多数学教 师的青睐 。 熟话说 ，“ 熟能生巧”， 当然，多做题肯定对数学成绩的提 高有一定的作 用。 但长此以往 ， 只会让数学越 来越枯燥无味 ， 让学
生越来越反感， 因此 ， 要 培 养 学生 学习数 学兴 趣 。
关键词 ： 数 学题
解法 学习兴趣 文献标识 码： Ａ 文章编号 ： ｌ ６ ７ ４ —０ ９ ８ ｘ （ ２ ０ １ ３ ） １ １ （ ｃ ） 一０ ２ ５ ６ —０ １
，
（ 结 合 斜 率
在［ ｏ ， 州上 的单调性， 我
，
ｌ Ｃ ｏ ｓ ｘ ｌ ￣ ｌ ，． ・ ． ２ ≤ ３ ＋ Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ≤ ４，
≤３， ≤ 一 ｌ ＋ ｊ ≤ ２。即 所
公式 ） ， ｌ ｌ ｙ可 看 成 是 由 定 点 Ａ ｛ ３ ， ３ ） 动 点 Ｂ （ －Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ， Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ） 连线 的斜 率 。 显 然 ， Ｂ 点
我 能 不能 把 这 道 函数 题 转 化 成 用斜 率 的 几 何方 法 去 求解 呢 ？一 般 情 况 下， 一 道代 数 题 如果 没有 什么很 好的 解 题 思路 ，不妨 考虑 用儿『 可的 办 法 尝 酞解 答。“ 数 形 结 合”这
一
解法 ：（ 导数 法 ）
经典 数学思 想 就 是很 好 的例 证 ， 把代 数
由 ＝ ３ － ｃ ｏ ｓ ｘ＝
ｊ 十 ＣＯ Ｓ ｊ — ｔ一 ｕ ＾ Ｊ
性， 进 而得 到 函数 的 值域 。 具 体做 法 是 先 判 断函数 Ｙ ＝
们 可求 得 ｙ 二
由 Ｙ ＝
。 ‘
．
，得 ＝ － ｌ ＋ ＿ ６ ＿ ｌ ｌ ｌ 得 ： ： ｙ
是恒 人 于或 等十 零
・
・
≤３ ＋
Ｌ ｊ ＋ ＣＯＳＸ 厂
任 线 段 ＝ 一 ｘ （ ｘ Ｉ ４１ ）卜 ， 如 图１ 所示， 可得 ：
１ Ｉ
：
、
的， 即 可知 Ｙ：
－
是 单 调 递增 的 。 故：
Ｉ目 『 】 ：
求 函数 的值 域 ：【 ÷ ， ２ ］ 。
由 ： ÷ ｊ 十 Ｘ Ｃ Ｏ Ｓ， 得 ： ｃ ｏ ｓ ＝ Ｔ 。 没 有 多大 的 关 系 ，但 是 在 数 学 这 美妙 的 世
． ． １ ． － ｌ ｌ ＜ ｌ ， 解 勰 １
。
界里， 代 数 几何 没 有绝 对 的 界 限 ， 它们 总 是 相辅 卡 Ｉ ｛ 成， 共 同构 成了 ・ 道 道优 美 的风 景 线， 也 就 是 上 义提 剑 的 “ 数学 美 ”。 所以， 心 细 的 同学就 会 发现 ， 我 们 要求 解 的函 数与几