人寿保险的精算现值
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9
本章的基本思路
• 确定随机变量T(x)或K(x)
• 写出关于随机变量T或K的给付现值函数ZT或 ZK+1
它是一个依赖于赔付时间、赔付金额和贴现函数
的随机变量 .
ZT bT vT
定义给付现值函数： ZK 1 bK 1vK 1
10
• 精算现值=给付现值函数的期望 • 趸缴纯保费= EZT 或EZK+1
42
4.3 死亡即付和死亡年末付寿险 精算现值的关系 P61
vn T＞n
•
A x:n ]
=
E（ZT）= n
0
zt
fT (t)d+t
vn
p nx
•
=
1
1
Ax:n] Ax:n]
38
延期寿险的趸缴纯保费 P52
•m | A x:表示（x）投保延期m年的终身寿险，保 险金额为1元，保险金在死亡时立即给付的趸 缴纯保费，则：
• ZT= 0 T≤m
•
1*vT T＞m
（P60）
• 定期寿险 • 终身寿险 • 两全保险 • 延期m年的终身 • 延期m年的定期 • 延期m年的两全
29
4.1连续型的人寿保险模型（P46）
• 死亡即刻赔付 • 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意
时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机 变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保 险人签约时的剩余寿命。
12
4.2 离散型的人寿保险模型（P56）
• 保险金死亡年末赔付 • 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的
当年年末，所以死亡年末赔付时刻是一 个离散随机变量，它距保单生效日的时 期长度就等于被保险人签约时的整值剩 余寿命加一。
13
思路方法 • 引入随机变量K • 写出关于随机变量K的给付现值函数
ZK+1 • 求离散型随机变量的期望
n 1
v k 1 k | q x
k 0
A 1 自然保费，是根据每一保险年度，每一被保险人当年 x :1 年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡保险费。
A1 x:1
cx
vqx
18
• 例:55岁的男性投保5年期定期寿险,保险 金于死亡年末给付, 按中国保险业经验生 命表CL1（2000-2019）和利率6%, 计 算：
• (1)保险金额为1000元的趸缴纯保费。 • (2)趸缴纯保费为1000元的保险金额。
19
终身寿险的趸缴纯保费
• Ax 表示（x）投保保险金额为1元，保 险期限为终身，死亡年末给付的寿险的
趸缴纯保费。
Ax EZ
v k 1 k |q x
k0
• 将上例定期寿险改为终身寿险
20
两全保险的趸缴纯保费
险金额为1元，死亡保险金在死亡时立即给付。
趸缴纯保费用
m|A
表示。
x :n ]
•
1
1
A m| x:n] m| Ax:n]m| Ax:n]
1
1
1
Ax:mn]Ax:m]m| Ax:n]
41
死亡即付寿险的 趸缴纯保费计算公式小结 P56
• 定期寿险 • 终身寿险 • 两全保险 • 延期m年的终身 • 延期m年的定期 • 延期m年的两全
纯保费用 表示。 1 A m | x : n ]
1
mn
m A | x:n] m zt fT (t)dt
mn 0
e t t
pxuxt dt
m 0
e t t
pxuxt dt
1
1
Ax:mn] Ax:m]
P52:4.1.9
40
• 若（x）投保延期m年的n年期两全保险，保
vk1 qx
vk1 qx vk1 qx
km
k|
k0
k|
k0
k|
mn1
m1
vk1 pxqxk vk1 pxqxk
k0
k
k0
k
A1 x:mn]
A1 x:m]
25
延期m年的终身寿险 m | A表x 示(x)投保延期m年保险金额为1单
位元死亡年度末给付的延期终身寿险的 精算现值。
ZT= 1*vT T≤n
0 T＞n
• 趸缴纯保费用
A
1
表示。
x :n ]
32
1
• A x:n ]
• •
•
=E(ZT)=
n
0 zt fT (t)dt
=
n 0
vt
t
pxuxt
dt
=
n 0
ett
pxuxt
dt
• v e ,δ 为利力。
33
fT
(t)
F
' T
(t)
s'(x t) s(x)
n 1
EZ
v k 1 k | q x
k 0
+ vn* npx
=
A
1 x :n
]+
A1 x :n ]
22
• 例：设（35）购买离散型保额为10000 元的5年期两全保险，年利率i=6%,利用 附表1计算该保单的趸缴纯保费。
23
延期寿险的趸缴纯保费
延期m年的n年定期人寿保险
A1
m | x:n ]
表示（x）投保延期m年,保险期限为n年,保险金
为1元死亡年度末给付的寿险的趸缴纯保费。
（1）K
1, k=m,1,2,…m＋n-1
= b K 1 0, 其他
（2）给付现值函数Z
Z= 1* vk+1,k=m,1,2,…m＋n-1
0 , 其他
24
mn1
mn1
m1
A1
m | x:n]
s(x t) [ s'(x t)] s(x) s(x t)
t px xt
ln (1 i ) 1 e
1 i
34
• P48:例4.1.1
设生存函数 s( x) (01≤x<1x00),年
利率为0.1,计算:
100
1
A 3 0 :1 0 ]
35
• f T ( t ) = 1/60 , 0<t<60 ，利力为δ。
•
0 , 其他
• 求趸缴纯保费。
37
两全保险的趸缴纯保费
• A x :n ] :表示（x）投保n年期两全保险。若在n年内 死亡保险人立即给付1元，若生存满n年则在第n 年末支付满期保险金1元的趸缴纯保费。
ห้องสมุดไป่ตู้
• 则：ZT= 1*vT T≤n
人寿保险趸缴纯保费
人寿保险精算现值
1
中英文单词对照
• 趸缴纯保费 • 精算现时值 • 死亡即刻赔付保险
• 死亡年末赔付保险
• Net single premium
• Actuarial present value
• Insurance payable at the moment of death
• Insurance payable at the end of the year of death
m|Ax vk1 qxAxAx1:m] km k|
26
• 例题：设（40）购买了延期10年定期 15年的人寿保险,若保险金额为20000元, 利用附表2求趸缴纯保费.(i=0.06)
27
• 试证：
A A *A 1
m| x:n]
11 x:m] xm:n]
28
离散型的人寿保险模型 各种寿险趸缴纯保费计算公式小结
3
引言
• 本章主要讨论各种人寿保险趸缴纯保 费的计算。将建立一系列的寿险模型, 在这些模型中保险金支付的数量是确 定的，给付时间是不确定的。我们把 保险金支付的时间和数量看成只依赖 于被保险人死亡的时间，模型是利用 T(x)和K(x)的定义建立的。
4
人寿保险的分类
根据不同的标准，人寿保险有不同的分类： （1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，
2
• 定期人寿保险 • 终身人寿保险 • 两全保险 • 生存保险 • 定额受益保险 • 变额受益保险
• Term life insurance • Whole life insurance • Endowment insurance • Pure endowment insurance • Level benefit insurance • Varying benefit insurance
14
• 设被保险人在投保时的年龄为x岁，其未来 寿命整年数为K（x）P ，(K (x ) k ) kp x q x k k |q x
• 保险金在K（x）+1处给付，给付数额为
bk+1元，vk+1为给付1个单位在签单时的贴
现系数，Z则bK1vK1 。 • 离散型的人寿保险模型下的一般表达式是：
x
=
zt fT (t)dt
0
=∑zk+1*p
11
主要内容安排
• 死亡年度末给付的寿险（4.2） • 死亡即付的寿险（4.1） • 死亡即付和死亡年末给付的寿险
的精算现值的关系（4.3） • 利用转换函数计算趸缴纯保费（补充） • 变额寿险趸缴纯保费（4.4） • 离散型终身寿险趸缴纯保费的递推公式（补充）
• 保险赔付金额和赔付时间的不确定性 – 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保 险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一 个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额 也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余 寿命分布。
• 被保障人群的大数性 – 这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的 原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。
E(Z ) bk 1vk q 1k| x
15
定期寿险的趸缴纯保费
A
1 x :n
表示（x）投保保险期限为n年，保险金额为
1单位元，死亡年度末给付的保险的趸缴纯保费。
（1）随机变量为K. k=0,1,2,…n-1,n,n+1......
b K = 1 1,k=0,1,2,…n-1 0,其他
30
连续型的人寿保险模型
基本思路: • 确定随机变量T(x)简写为T • 写出关于随机变量T的给付现值函数ZT • 精算现值=给付现值函数的期望
趸缴纯保费=E（ZT）
31
n年定期保险的趸缴纯保费
• （x）投保连续型的保额为1单位元的n年定 期寿险，其有关函数:
bt= 1(t≤n)
0 (t>n)
vt= v t
6
保险金给付采用的形式
• 死亡即刻赔付的形式
• 在保险期限内，被保险人在保险责任范围内一旦 发生死亡，由保险人立即给付保险金。它是在实 际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
• 死亡年度末赔付的形式
• 在保险期限内，被保险人在保险责任范围内发生 死亡，由保险人在死亡的保单年度末给付保险金。 死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费 时通常先假定的理赔方式。
终身寿险
•
Ax
表示（x）投保终身寿险，保险金额为1
元，死亡时立即给付保险金的趸缴纯保费。
ZbTvT t≥vT0
Ax =
0 zt fT (t )dt
=
e t
0
t
pxuxtdt
36
• 例题:4.1.2
• 设（x）投保连续型的保险金额为1元的终 身寿险，签单时其未来寿命T的密度函数
• Ax:n] 表示（x）投保保险期限为n年，保 险金额为1元的两全保险的精算现值。
• （1）K • （2）Z= 1*vk+1 k=0,1,2 …n-1
1*vn k≥n
21
（3）K、Z的分布律 k 0 1 2 … n-1 ≥ n Z v v2 v3 … vn vn P(K=k) qx 1|qx 2|qx … n-1|qx npx
7
趸缴纯保费的厘定假定条件
– 假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命是独立同分布的。
– 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合。
– 假定三：保险公司可以预测将来的投资收益 （即预定利率）。
8
纯保费厘定原理
保费净均衡原则
– 净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好 等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的 实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数 场合下，收费期望现时值等于支出期望现时 值.
可分为：定额受益保险，变额受益保险。 （2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定
期寿险和终身寿险。 （3）以保单签约日和保障期是否同时进行划分，
可分为：非延期保险和延期保险。 （4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险
（狭义）、生存保险和两全保险。
5
人寿保险的性质
• 保障的长期性 – 这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息） 成为不容忽视的因素。
（2）给付现值函数Z
Z= 1* ,k=V 0k,1 1,2,…n-1
0 ,其他
16
(3)K、Z的分布律
K
0 1 2 ... n-1
Z
v v2 v3 ... vn
P(K=k) qx 1|qx 2|qx … n-1|qx
17
A 1 x : n E Z v * q x v 2 * 1 |q x . . . v n * n 1 |q x
m
|
A x
m zt fT (t)dt
m
e t t
pxuxt
dt
0
e t t
pxuxt
dt
m 0
e t t
pxuxt
dt
1
Ax Ax:m]
P53： 例4.1.4 （1） 39
• 若（x）投保延期m年的n年定期寿险，保险
金额为1元，保险金在死亡时立即给付。趸缴
本章的基本思路
• 确定随机变量T(x)或K(x)
• 写出关于随机变量T或K的给付现值函数ZT或 ZK+1
它是一个依赖于赔付时间、赔付金额和贴现函数
的随机变量 .
ZT bT vT
定义给付现值函数： ZK 1 bK 1vK 1
10
• 精算现值=给付现值函数的期望 • 趸缴纯保费= EZT 或EZK+1
42
4.3 死亡即付和死亡年末付寿险 精算现值的关系 P61
vn T＞n
•
A x:n ]
=
E（ZT）= n
0
zt
fT (t)d+t
vn
p nx
•
=
1
1
Ax:n] Ax:n]
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延期寿险的趸缴纯保费 P52
•m | A x:表示（x）投保延期m年的终身寿险，保 险金额为1元，保险金在死亡时立即给付的趸 缴纯保费，则：
• ZT= 0 T≤m
•
1*vT T＞m
（P60）
• 定期寿险 • 终身寿险 • 两全保险 • 延期m年的终身 • 延期m年的定期 • 延期m年的两全
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4.1连续型的人寿保险模型（P46）
• 死亡即刻赔付 • 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意
时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机 变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保 险人签约时的剩余寿命。
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4.2 离散型的人寿保险模型（P56）
• 保险金死亡年末赔付 • 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的
当年年末，所以死亡年末赔付时刻是一 个离散随机变量，它距保单生效日的时 期长度就等于被保险人签约时的整值剩 余寿命加一。
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思路方法 • 引入随机变量K • 写出关于随机变量K的给付现值函数
ZK+1 • 求离散型随机变量的期望
n 1
v k 1 k | q x
k 0
A 1 自然保费，是根据每一保险年度，每一被保险人当年 x :1 年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡保险费。
A1 x:1
cx
vqx
18
• 例:55岁的男性投保5年期定期寿险,保险 金于死亡年末给付, 按中国保险业经验生 命表CL1（2000-2019）和利率6%, 计 算：
• (1)保险金额为1000元的趸缴纯保费。 • (2)趸缴纯保费为1000元的保险金额。
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终身寿险的趸缴纯保费
• Ax 表示（x）投保保险金额为1元，保 险期限为终身，死亡年末给付的寿险的
趸缴纯保费。
Ax EZ
v k 1 k |q x
k0
• 将上例定期寿险改为终身寿险
20
两全保险的趸缴纯保费
险金额为1元，死亡保险金在死亡时立即给付。
趸缴纯保费用
m|A
表示。
x :n ]
•
1
1
A m| x:n] m| Ax:n]m| Ax:n]
1
1
1
Ax:mn]Ax:m]m| Ax:n]
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死亡即付寿险的 趸缴纯保费计算公式小结 P56
• 定期寿险 • 终身寿险 • 两全保险 • 延期m年的终身 • 延期m年的定期 • 延期m年的两全
纯保费用 表示。 1 A m | x : n ]
1
mn
m A | x:n] m zt fT (t)dt
mn 0
e t t
pxuxt dt
m 0
e t t
pxuxt dt
1
1
Ax:mn] Ax:m]
P52:4.1.9
40
• 若（x）投保延期m年的n年期两全保险，保
vk1 qx
vk1 qx vk1 qx
km
k|
k0
k|
k0
k|
mn1
m1
vk1 pxqxk vk1 pxqxk
k0
k
k0
k
A1 x:mn]
A1 x:m]
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延期m年的终身寿险 m | A表x 示(x)投保延期m年保险金额为1单
位元死亡年度末给付的延期终身寿险的 精算现值。
ZT= 1*vT T≤n
0 T＞n
• 趸缴纯保费用
A
1
表示。
x :n ]
32
1
• A x:n ]
• •
•
=E(ZT)=
n
0 zt fT (t)dt
=
n 0
vt
t
pxuxt
dt
=
n 0
ett
pxuxt
dt
• v e ,δ 为利力。
33
fT
(t)
F
' T
(t)
s'(x t) s(x)
n 1
EZ
v k 1 k | q x
k 0
+ vn* npx
=
A
1 x :n
]+
A1 x :n ]
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• 例：设（35）购买离散型保额为10000 元的5年期两全保险，年利率i=6%,利用 附表1计算该保单的趸缴纯保费。
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延期寿险的趸缴纯保费
延期m年的n年定期人寿保险
A1
m | x:n ]
表示（x）投保延期m年,保险期限为n年,保险金
为1元死亡年度末给付的寿险的趸缴纯保费。
（1）K
1, k=m,1,2,…m＋n-1
= b K 1 0, 其他
（2）给付现值函数Z
Z= 1* vk+1,k=m,1,2,…m＋n-1
0 , 其他
24
mn1
mn1
m1
A1
m | x:n]
s(x t) [ s'(x t)] s(x) s(x t)
t px xt
ln (1 i ) 1 e
1 i
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• P48:例4.1.1
设生存函数 s( x) (01≤x<1x00),年
利率为0.1,计算:
100
1
A 3 0 :1 0 ]
35
• f T ( t ) = 1/60 , 0<t<60 ，利力为δ。
•
0 , 其他
• 求趸缴纯保费。
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两全保险的趸缴纯保费
• A x :n ] :表示（x）投保n年期两全保险。若在n年内 死亡保险人立即给付1元，若生存满n年则在第n 年末支付满期保险金1元的趸缴纯保费。
ห้องสมุดไป่ตู้
• 则：ZT= 1*vT T≤n
人寿保险趸缴纯保费
人寿保险精算现值
1
中英文单词对照
• 趸缴纯保费 • 精算现时值 • 死亡即刻赔付保险
• 死亡年末赔付保险
• Net single premium
• Actuarial present value
• Insurance payable at the moment of death
• Insurance payable at the end of the year of death
m|Ax vk1 qxAxAx1:m] km k|
26
• 例题：设（40）购买了延期10年定期 15年的人寿保险,若保险金额为20000元, 利用附表2求趸缴纯保费.(i=0.06)
27
• 试证：
A A *A 1
m| x:n]
11 x:m] xm:n]
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离散型的人寿保险模型 各种寿险趸缴纯保费计算公式小结
3
引言
• 本章主要讨论各种人寿保险趸缴纯保 费的计算。将建立一系列的寿险模型, 在这些模型中保险金支付的数量是确 定的，给付时间是不确定的。我们把 保险金支付的时间和数量看成只依赖 于被保险人死亡的时间，模型是利用 T(x)和K(x)的定义建立的。
4
人寿保险的分类
根据不同的标准，人寿保险有不同的分类： （1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，
2
• 定期人寿保险 • 终身人寿保险 • 两全保险 • 生存保险 • 定额受益保险 • 变额受益保险
• Term life insurance • Whole life insurance • Endowment insurance • Pure endowment insurance • Level benefit insurance • Varying benefit insurance
14
• 设被保险人在投保时的年龄为x岁，其未来 寿命整年数为K（x）P ，(K (x ) k ) kp x q x k k |q x
• 保险金在K（x）+1处给付，给付数额为
bk+1元，vk+1为给付1个单位在签单时的贴
现系数，Z则bK1vK1 。 • 离散型的人寿保险模型下的一般表达式是：
x
=
zt fT (t)dt
0
=∑zk+1*p
11
主要内容安排
• 死亡年度末给付的寿险（4.2） • 死亡即付的寿险（4.1） • 死亡即付和死亡年末给付的寿险
的精算现值的关系（4.3） • 利用转换函数计算趸缴纯保费（补充） • 变额寿险趸缴纯保费（4.4） • 离散型终身寿险趸缴纯保费的递推公式（补充）
• 保险赔付金额和赔付时间的不确定性 – 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保 险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一 个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额 也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余 寿命分布。
• 被保障人群的大数性 – 这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的 原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。
E(Z ) bk 1vk q 1k| x
15
定期寿险的趸缴纯保费
A
1 x :n
表示（x）投保保险期限为n年，保险金额为
1单位元，死亡年度末给付的保险的趸缴纯保费。
（1）随机变量为K. k=0,1,2,…n-1,n,n+1......
b K = 1 1,k=0,1,2,…n-1 0,其他
30
连续型的人寿保险模型
基本思路: • 确定随机变量T(x)简写为T • 写出关于随机变量T的给付现值函数ZT • 精算现值=给付现值函数的期望
趸缴纯保费=E（ZT）
31
n年定期保险的趸缴纯保费
• （x）投保连续型的保额为1单位元的n年定 期寿险，其有关函数:
bt= 1(t≤n)
0 (t>n)
vt= v t
6
保险金给付采用的形式
• 死亡即刻赔付的形式
• 在保险期限内，被保险人在保险责任范围内一旦 发生死亡，由保险人立即给付保险金。它是在实 际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
• 死亡年度末赔付的形式
• 在保险期限内，被保险人在保险责任范围内发生 死亡，由保险人在死亡的保单年度末给付保险金。 死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费 时通常先假定的理赔方式。
终身寿险
•
Ax
表示（x）投保终身寿险，保险金额为1
元，死亡时立即给付保险金的趸缴纯保费。
ZbTvT t≥vT0
Ax =
0 zt fT (t )dt
=
e t
0
t
pxuxtdt
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• 例题:4.1.2
• 设（x）投保连续型的保险金额为1元的终 身寿险，签单时其未来寿命T的密度函数
• Ax:n] 表示（x）投保保险期限为n年，保 险金额为1元的两全保险的精算现值。
• （1）K • （2）Z= 1*vk+1 k=0,1,2 …n-1
1*vn k≥n
21
（3）K、Z的分布律 k 0 1 2 … n-1 ≥ n Z v v2 v3 … vn vn P(K=k) qx 1|qx 2|qx … n-1|qx npx
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趸缴纯保费的厘定假定条件
– 假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命是独立同分布的。
– 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合。
– 假定三：保险公司可以预测将来的投资收益 （即预定利率）。
8
纯保费厘定原理
保费净均衡原则
– 净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好 等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的 实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数 场合下，收费期望现时值等于支出期望现时 值.
可分为：定额受益保险，变额受益保险。 （2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定
期寿险和终身寿险。 （3）以保单签约日和保障期是否同时进行划分，
可分为：非延期保险和延期保险。 （4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险
（狭义）、生存保险和两全保险。
5
人寿保险的性质
• 保障的长期性 – 这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息） 成为不容忽视的因素。
（2）给付现值函数Z
Z= 1* ,k=V 0k,1 1,2,…n-1
0 ,其他
16
(3)K、Z的分布律
K
0 1 2 ... n-1
Z
v v2 v3 ... vn
P(K=k) qx 1|qx 2|qx … n-1|qx
17
A 1 x : n E Z v * q x v 2 * 1 |q x . . . v n * n 1 |q x
m
|
A x
m zt fT (t)dt
m
e t t
pxuxt
dt
0
e t t
pxuxt
dt
m 0
e t t
pxuxt
dt
1
Ax Ax:m]
P53： 例4.1.4 （1） 39
• 若（x）投保延期m年的n年定期寿险，保险
金额为1元，保险金在死亡时立即给付。趸缴