抽象函数定义域的求法

抽象函数定义域的求法(总6
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抽象函数的定义域
总结解题模板
1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为
()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由
()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．
分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．
解：
()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，410
33x ∴≤≤．
故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，．
变式训练：
若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域
为 。

分析：由函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡2,21可知：221≤≤x ；所以
)(log 2x f y =中有
2log 2
1
2≤≤x 。

解：依题意知： 2log 2
1
2≤≤x 解之，得：42≤≤x ∴
)(log 2x f 的定义域为{}
42|≤≤x x
例2已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．
分析：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．这种情况下，()f x 的定义域即为复合函数[]()f g x 的内函数的值域。

本题中令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=， 由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．
令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤． 故()f x 的定义域为[]15，． 变式训练： 已知函数的定义域为
，则
的定义域为
________。

解：由，得
所以，故填
例3. 函数
定义域是
，则
的定义域是（ ）
A. B. C. D.
分析：已知的定义域，求
的定义域，可先由
定义域求得
的定义域，再由的定义域求得
的定义域
解：先求
的定义域 的定义域是
，
即的定义域是，再求的定义域
的定义域是
，故应选A
变式训练：
已知函数f(2x ）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.
分析：先求2x 的值域为M 则log 2x 的值域也是M ，再根据log 2x 的值域求定义域。

解 ∵y=f(2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21
≤2x ≤2.
∴函数y=f(log 2x)中21
≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.
故函数f(log 2x)的定义域为［2，4］
例4 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．
分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．
解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨
-+⎩
，，≤≤≤≤解得40x -≤≤．
所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．
变式训练：
已知函数的定义域是，求的定
义域。

分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。

解：由已知，有
，即
函数的定义域由
确定
函数
的定义域是
例5 若函数f (x +1)的定义域为[－21
，2]，求f (x 2)的定义域．
分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21
＜x ＋1
＜3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．
解：先求f (x )的定义域： 由题意知－
21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[2
1
，3]， 再求f [h (x )] 的定义域： ∴
2
1
＜x 2＜3，解得－3＜x ＜－22或22＜x ＜3．
∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x 22＜x ＜3}． 例6、 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m)的矩形.上部
是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2
. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。

实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：
（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；
（2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；
（3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；（4）路程问题中，要考虑路程的范围。

本题中总面积为
8412=+
=+x xy S S 矩形三角形，由于0>xy ，于是84
1
2<x ，即24<x 。

又0>x ，∴x 的取值范围是240<<x 。

解：由题意得
xy+41x 2=8,∴y=
x x 482-
=4
8x x -(0<x<42). 于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2(x 22)=(23+2)x+x
16
≥4246+. 当(
23+2)x=x
16
,即x=8－42时等号成立. 此时, x≈2.343,y=22≈2.828.
故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省. 变式训练：
13.（2007·北京理，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S.
(1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；
(2)求面积S 的最大值.
解（1）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O-xy （如图）， 则点C 的横坐标为x,点C 的纵坐标y 满足方程
142
2
22=+r y r x (y ≥0),
解得y=222x r - (0<x<r).S=
2
1
(2x+2r)·222x r -
=2(x+r)·22x r -,其定义域为{x|0<x<r}.
（2）记f(x)=4(x+r)2(r 2-x 2),0<x<r,则f ′(x)=8(x+r)2(r-2x).
令f ′(x)=0,得x=21r.因为当0<x<2
r
时，f ′(x)>0; 当2r <x<r 时,f ′(x)<0，所以f （21
r ）是f(x)的最大值. 因此，当x=
2
1
r 时，S 也取得最大值，最大值为22
33)21(r r f =.
即梯形面积S 的最大值为.2
332
r
巩固训练（各专题题目数量尽量一致，各题均附答案及解析） 1. 设函数的定义域为
，则
（1）函数的定义域为________。

（2）函数
的定义域为__________。

分析：做法与例题1相同。

解：（1）由已知有，解得
故
的定义域为
（2）由已知，得，解得
故
的定义域为
2、已知函数的定义域为
，则的定义域为
________。

分析：做法与例题2相同。

解：由，得
所以，故填
3、已知函数的定义域为
，则y=f(3x-5)的定义域为
________。

分析：做法与例题3相同。

解：由，得
所以
，所以0≤3x-5≤1,所以5/3≤x ≤2.
4、设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，q 求y=f ()31
()31-++x f x 定义域。

分析：做法与例题4相同。

解 ：由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)3
1
(-x 定义域的交集.
列出不等式组,323134
3
13
231
13101310≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤-≤≤+≤x x x x x 故y=f )31()31(-++x f x 的定义域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡32,31.。