宣化区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

宣化区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）
A．B．C．4 D．12
2．已知实数x，y满足约束条件，若y≥kx﹣3恒成立，则实数k的数值范围是（）
A．[﹣，0] B．[0，] C．（﹣∞，0]∪[，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）
3．已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ=（）
A．B．C．﹣D．﹣
4．函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是（）
A．R B．[1，+∞）C．（﹣∞，1] D．[2，+∞）
x-=表示的曲线是（）
5．方程1
A．一个圆B．两个半圆C．两个圆D．半圆
6．设函数f（x）满足f（x+π）=f（x）+cosx，当0≤x≤π时，f（x）=0，则f（）=（）
A．B．C．0 D．﹣
7．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）
A．3 B．C．D．
8．如图可能是下列哪个函数的图象（）
A ．y=2x ﹣x 2﹣1
B ．y=
C ．y=（x 2﹣2x ）e x
D ．y=
9． 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式＜0的解集为（ ）
A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）
B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D ．（﹣1，0）∪（0，1）
10．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a=，c=2，cosA=，则b=（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
11．如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．32
D ．33
12．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则
实数m 的取值范围是（ ）
A ．1-<m
B ．10<<m
C ．1>m
D ．1≥m
【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.
二、填空题
13．△ABC 中，
，BC=3，，则∠C=
．
14．长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与棱CB 、CD 、1CC 所成角分别为α、β、， 则2
22sin
sin sin αβγ++= ．
15．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式f（log8x）＞0的解集是．16．已知条件p：{x||x﹣a|＜3}，条件q：{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是．
17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若6a=4b=3c，则cosB=．
18．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____．
三、解答题
19．在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（t为参数）．
（1）求圆C和直线l的极坐标方程；
（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．
20．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在[10,60]岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成5组，分
A B C D E，其频率分布直方图如下图所示．
别记为,,,,
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；
C D E三组中用分层抽样的方法抽取了6名团员负责全团协调，然后从这6名团员中（Ⅱ）该团导游首先在,,
随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自C组的概率．
21．已知△ABC的顶点A（3，2），∠C的平分线CD所在直线方程为y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
22．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
23．已知函数f （x ）=a x （a ＞0且a ≠1）的图象经过点（2，）． （1）求a 的值；
（2）比较f （2）与f （b 2
+2）的大小；
（3）求函数f （x ）=a （x ≥0）的值域．
24．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E 为AC 与BD 的交点，PA ⊥平 面ABCD ，M 为PA 中点，N 为BC 中点． （1）证明：直线//MN 平面ABCD ；
（2）若点Q 为PC 中点，120BAD ∠=︒，PA =1AB =，求三棱锥A QCD -的体积．
宣化区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：由已知|a|=2，
|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，
∴|a+2b|=．
故选：B．
【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
2．【答案】A
【解析】解：由约束条件作可行域如图，
联立，解得B（3，﹣3）．
联立，解得A（）．
由题意得：，解得：．
∴实数k的数值范围是．
故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
3． 【答案】C
【解析】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，
∴=
=
，
∴λ=﹣． 故选：C ．
【点评】本题考查了空间向量平行（共线）的问题，解题时根据两向量平行，对应坐标成比例，即可得出答案．
4． 【答案】C
【解析】解：由于f （x ）=x 2
﹣2ax 的对称轴是直线x=a ，图象开口向上，
故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a ，+∞）上为增函数，
又由函数f （x ）=x 2
﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则a ≤1．
故答案为：C
5． 【答案】A 【解析】
试题分析：由方程()2
111x y -=-+()2
22
1(11)x y -=-+，即22(1)(1)1x y -++=，所
以方程表示的轨迹为一个圆，故选A. 考点：曲线的方程.
6． 【答案】D
【解析】解：∵函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x+π）=f （x ）+cosx ， 当0≤x ＜π时，f （x ）=1，
∴f （）=f （）=f （）+cos =f （）+cos +cos =f （）+cos +cos =f
（
）+cos
+cos
=f （
）+cos
+cos
+cos
=0+cos
﹣cos
+cos
=﹣．
故选：D ．
【点评】本题考查抽象函数以及函数值的求法，诱导公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
7． 【答案】B
【解析】解：依题设P 在抛物线准线的投影为P ′，抛物线的焦点为F ，
则F（，0），
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|，
则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，
d=|PF|+|PM|≥|MF|==．
即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为．
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．
8．【答案】C
【解析】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，
∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；
B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，
∴B中的函数不满足条件；
C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；
且y=e x＞0恒成立，
∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；
∴C中的函数满足条件；
D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，
∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．
9．【答案】D
【解析】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，
而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，
当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；
当x ＞1时，f （x ）＞f （1）=0，得＞0，不满足，舍去；
当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＞f （﹣1）=0，得＜0，满足；
当x ＜﹣1时，f （x ）＜f （﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；
所以x 的取值范围是﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1． 故选D ．
【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．
10．【答案】D
【解析】解：∵a=
，c=2，cosA=，
∴由余弦定理可得：cosA===
，整理可得：3b 2
﹣8b ﹣3=0，
∴解得：b=3或﹣（舍去）． 故选：D ．
11．【答案】D 【解析】
试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图,,AD AB AG 相互垂直，面AEFG ⊥面
,//,3,1ABCDE BC AE AB AD AG DE ====,根据几何体的性质得：AC GC ==
GE ===4,BG AD EF CE ====所以最长为GC =
考点：几何体的三视图及几何体的结构特征． 12．【答案】C
【解析】画出可行域如图所示，)3,1(A ，要使目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则需直线l 过点A 时截距最大，即z 最大，此时1>l k 即可.
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：由，a=BC=3，c=，
根据正弦定理
=得：
sinC==，
又C 为三角形的内角，且c ＜a ， ∴0＜∠C ＜，
则∠C=
．
故答案为：
【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C 的范围．
14．【答案】 【解析】
试题分析：以1AC 为斜边构成直角三角形：1111,,AC D AC B AC A ∆∆∆，由长方体的对角线定理可得：
222
2
2
2
1111
222111sin sin sin BC DC AC AC AC AC αβγ++=++22212
12()2AB AD AA AC ++==.
考点：直线与直线所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键．
15．【答案】（0，）∪（64，+∞）．
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（log8x）＞0，等价为：f（|log8x|）＞f（2），
又f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴|log8x|＞2，∴log8x＞2或log8x＜﹣2，
∴x＞64或0＜x＜．
即不等式的解集为{x|x＞64或0＜x＜}
故答案为：（0，）∪（64，+∞）
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．
16．【答案】[0，2]．
【解析】解：命题p：||x﹣a|＜3，解得a﹣3＜x＜a+3，即p=（a﹣3，a+3）；
命题q：x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，即q=（﹣1，3）．
∵q是p的充分不必要条件，
∴q⊊p，
∴，
解得0≤a≤2，
则实数a的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定与应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
17．【答案】
．
【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c
∴
b=，c=2a，
由余弦定理可得
cosB=
=
=．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．18．【答案】27
【解析】由程序框图可知：
43
符合，跳出循环．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=2，
代入圆C得：（ρcosθ﹣2）2+ρ2sin2θ=2
化简得圆C的极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ+2=0…
由得x+y=1，∴l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1…
（2
）由得点P的直角坐标为P（0，1），
∴直线l
的参数的标准方程可写成…
代入圆C得：
化简得：，
∴，∴t1＜0，t2＜0…
∴…
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识，意在考查审读能力、识图能力、获取数据信息的能力．
21．【答案】
【解析】解：（1）由高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0，∴=﹣2．
∵直线AC⊥BH，∴k AC k BH=﹣1．
∴，
直线AC的方程为，
联立
∴点C的坐标C（1，1）．
（2），
∴直线BC的方程为，
联立，即．
点B到直线AC：x﹣2y+1=0的距离为．
又，
∴．
【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．
22．【答案】
【解析】
【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF 和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．
【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．…（4分）
解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，
所以．
由AD=3，可知，．
则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），
所以，．
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．
令，则=．
因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．
所以cos．
因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．
则．
因为AM∥平面BEF，
所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），
即当时，AM∥平面BEF．…（12分）
23．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，），
∴a2=，
∴a=
（2）∵f（x）=（）x在R上单调递减，
又2＜b2+2，
∴f（2）≥f（b2+2），
（3）∵x≥0，x2﹣2x≥﹣1，
∴≤（）﹣1=3
∴0＜f（x）≤（0，3]
24．【答案】（1）证明见解析；（2）18
. 【解析】
试题解析：（1）证明：取PD 中点R ，连结MR ，RC ， ∵//MR AD ，//NC AD ，1
2
MR NC AD ==， ∴//MR NC ，MR AC =， ∴四边形MNCR 为平行四边形，
∴//MN RC ，又∵RC ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ， ∴//MN 平面PCD ．
（2）由已知条件得1AC AD CD ===，所以ACD S ∆=， 所以111328
A QCD Q ACD ACD V V S PA --∆==
⨯⨯=．
考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式.。