【精品】2015-2016年四川省宜宾市高一(上)期末数学试卷带解析

2015-2016学年四川省宜宾市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00分）设U=R，集合A={x|x＞0}，集合B={x|lgx＞0}，则A∩（∁U B）=（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{x|x＞1}
2．（5.00分）已知函数y=，其定义域为（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，2]D．[2，3）∪（3，+∞）
3．（5.00分）下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是（）
A．y=|x|B．y=lnx C．y=x D．y=x﹣3
4．（5.00分）将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将所得到的图象上所有点向左平移个单位，所得函数图象的解析式为（）
A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=sin （x+）
5．（5.00分）设ta nα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
6．（5.00分）已知函数y=Acos（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）
A．A=4 B．ω=1 C．B=4 D．φ=﹣
7．（5.00分）设f（x）=，则f（f（e））的值为（）
A．0 B．C．2 D．3
8．（5.00分）已知＜θ＜，sinθ+cosθ=，则sinθ﹣cosθ=（）A．B．﹣C．D．﹣
9．（5.00分）把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O 为圆心，OA⊥OB，设∠AOB=θ，把面积y表示为θ的表达式，则有（）
A．y=50cos2θB．y=25sinθC．y=25sin2θD．y=50sin2θ
10．（5.00分）函数y=x3cosx，x∈（﹣，）的大致图象是（）
A．B．C．
D．
11．（5.00分）已知f（x）在R上是以3为周期的偶函数，f（﹣2）=3，若tanα=2，则f（10sin2α）的值是（）
A．1 B．﹣1 C．3 D．8
12．（5.00分）设函数f（x）是R上的偶函数，在[0，+∞）上为增函数，又f（1）
=0，则函数F（x）=f（x）•xln的图象在x轴上方时x的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填在题中横线上.
13．（5.00分）sin43°cos2°+cos43°sin2°的值为．
14．（5.00分）若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（﹣3）=．15．（5.00分）函数f（θ）=12cosθ+5sinθ（θ∈[0，2π））在θ=θ0处取得最小值，则点M（cosθ0，sinθ0）关于坐标原点对称的点坐标是．
16．（5.00分）关于函数有如下四个结论：
①函数f（x）为定义域内的单调函数；
②当ab＞0时，是函数f（x）的一个单调区间；
③当ab＞0，x∈[1，2]时，若f（x）min=2，则；
④当ab＜0，x∈[1，2]时，若f（x）min=2，则．
其中正确的结论有．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10.00分）（Ⅰ）计算：；
（Ⅱ）若tanx=2，求值：．
18．（12.00分）已知函数f（x）=log2（2+x）+log2（2﹣x）．
（Ⅰ）求证：函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）求的值．
19．（12.00分）已知A、B是单位圆O上的点，且点B在第二象限，点C是圆O 与x轴正半轴的交点，点A的坐标为，若△AOB为正三角形．
（Ⅰ）若设∠COA=θ，求sin2θ的值；
（Ⅱ）求cos∠COB的值．
20．（12.00分）已知函数．
（Ⅰ）证明：y=f（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=﹣2x+1的根在区间（k，k+1）（k∈Z）内，求k的值．
21．（12.00分）已知函数的图象经过三点，在区间内有唯一的最小值．（Ⅰ）求出函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在R上的单调递增区间和对称中心坐标．
22．（12.00分）已知点A（﹣a，2a）关于y轴对称的点为B，点B关于点M（1，m）对称的点为C，且m＞2，a∈（0，1]．
（Ⅰ）设△ABC的面积S，把S表示为关于a的解析式S=f（a）；
（Ⅱ）若f（a）＜m2﹣k﹣1恒成立，求实数k的取值范围．
2015-2016学年四川省宜宾市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00分）设U=R，集合A={x|x＞0}，集合B={x|lgx＞0}，则A∩（∁U B）=（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{x|x＞1}
【解答】解：由B中不等式变形得：lgx＞0=lg1，
解得：x＞1，即B={x|x＞1}，
∵全集U=R，
∴∁U B={x|x≤1}，
∵A={x|x＞0}，
∴A∩（∁U B）={x|0＜x≤1}，
故选：B．
2．（5.00分）已知函数y=，其定义域为（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，2]D．[2，3）∪（3，+∞）
【解答】解：∵函数y=，
∴，
解得，
即x≤2且x≠﹣3；
∴函数y的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，2]．
故选：C．
3．（5.00分）下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是（）
A．y=|x|B．y=lnx C．y=x D．y=x﹣3
【解答】解：A．y=|x|为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；
B．根据y=lnx的图象知该函数非奇非偶，∴该选项错误；
C.，，∴该函数为奇函数；
x增大时，y增大，∴该函数为在定义域R上的增函数，∴该选项正确；
D．y=x﹣3，x＞0，x增大时，减小；
∴该函数在（0，+∞）上为减函数，在定义域上没有单调性；
∴该选项错误．
故选：C．
4．（5.00分）将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将所得到的图象上所有点向左平移个单位，所得函数图象的解析式为（）
A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=sin （x+）
【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），可得y=sin2x的图象；
再将所得到的图象上所有点向左平移个单位，
所得函数图象的解析式为y=sin2（x+）=sin（2x+），
故选：B．
5．（5.00分）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【解答】解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，
∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，
则tan（α+β）===﹣3．
故选：A．
6．（5.00分）已知函数y=Acos（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）
A．A=4 B．ω=1 C．B=4 D．φ=﹣
【解答】解：根据函数y=Acos（ωx+φ）+B的一部分图象，可得B=2，A=4﹣2=2，
•=﹣，求得ω=2．
再根据五点法作图可得2•+φ=0，求得φ=﹣，∴y=2cos（2x﹣）+2，
故选：D．
7．（5.00分）设f（x）=，则f（f（e））的值为（）
A．0 B．C．2 D．3
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（e）==，
f（f（e））=f（）==2．
故选：C．
8．（5.00分）已知＜θ＜，sinθ+cosθ=，则sinθ﹣cosθ=（）A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：∵＜θ＜，sinθ+cosθ=，sin2θ+cos2θ=1，sinθ＞cosθ，
∴sinθ=，cosθ=，
则sinθ﹣cosθ=，
故选：A．
9．（5.00分）把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O 为圆心，OA⊥OB，设∠AOB=θ，把面积y表示为θ的表达式，则有（）
A．y=50cos2θB．y=25sinθC．y=25sin2θD．y=50sin2θ
【解答】解：由题意可得矩形的长为2OA=2×5cosθ=10cosθ，
矩形的宽为2AB=2×5sinθ=10sinθ，
∴矩形的面积y=10cosθ×10sinθ=50sin2θ
故选：D．
10．（5.00分）函数y=x3cosx，x∈（﹣，）的大致图象是（）
A．B．C．
D．
【解答】解：令f（x）=x3cosx，
故f（﹣x）=（﹣x）3cos（﹣x）=﹣x3cosx=﹣f（x），
故函数f（x）是奇函数，
又∵当x∈（0，）时，f（x）＞0，
故选：A．
11．（5.00分）已知f（x）在R上是以3为周期的偶函数，f（﹣2）=3，若tanα=2，则f（10sin2α）的值是（）
A．1 B．﹣1 C．3 D．8
【解答】解：∵tanα=2，
∴sin2α=2sinαcosα====，
则10sin2α=10×=8，
∵f（x）在R上是以3为周期的偶函数，
∴f（10sin2α）=f（8）=f（8﹣6）=f（2），
∵f（﹣2）=3，
∴f（2）=3，
即f（10sin2α）=f（2）=3，
故选：C．
12．（5.00分）设函数f（x）是R上的偶函数，在[0，+∞）上为增函数，又f（1）
=0，则函数F（x）=f（x）•xln的图象在x轴上方时x的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，
∴对应的图象如图：
∵ln＜0，
∴由F（x）=f（x）•xln＞0，
得f（x）•x＜0，
即或，
即0＜x＜1或x＜﹣1，
即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），
故选：B．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填在题中横线上.
13．（5.00分）sin43°cos2°+cos43°sin2°的值为．
【解答】解：sin43°cos2°+cos43°sin2°=sin（43°+2°）=sin45°=，
故答案为：．
14．（5.00分）若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（﹣3）=8．【解答】解：设指数函数y=f（x）=a x（a＞0且a≠1），
其图象过点（﹣2，4），
∴a﹣2=4，
解得a=；
∴f（x）=，
f（﹣3）==8．
故答案为：8．
15．（5.00分）函数f（θ）=12cosθ+5sinθ（θ∈[0，2π））在θ=θ0处取得最小值，则点M（cosθ0，sinθ0）关于坐标原点对称的点坐标是（，）．
【解答】解：∵f（θ）=12cosθ+5sinθ=13（cosθ+sinθ）
=13sin（θ+φ），其中sinφ=，cosφ=，
∴当θ+φ=时，函数f（θ）取最小值﹣13，
此时θ=θ0=﹣φ，故cosθ0=cos（﹣φ）=﹣sinφ=﹣，
sinθ0=sin（﹣φ）=﹣cosφ=﹣，即M（﹣，﹣），
由对称性可得所求点的坐标为（，），
故答案为：（，）．
16．（5.00分）关于函数有如下四个结论：
①函数f（x）为定义域内的单调函数；
②当ab＞0时，是函数f（x）的一个单调区间；
③当ab＞0，x∈[1，2]时，若f（x）min=2，则；
④当ab＜0，x∈[1，2]时，若f（x）min=2，则．其中正确的结论有②．
【解答】解：∵f（x）=ax+，
∴f′（x）=a﹣==，
（1）当ab＜0时，
当a＞0，b＜0时，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[1，2]单调递增，
∴f（x）min=2=f（1）=a+b，即b=2﹣a，
当a＜0，b＞0时，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，
∴f（x）在[1，2]单调递减，
∴f（x）min=2=f（2）=2a+，即b=4﹣4a，
（2）当ab＞0时，
令f′（x）=0，解得x=±，
当a＞0，b＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调递增，在（﹣，0），（0，）单调递减，
当＜1时，即＜1时，
∴f（x）在[1，2]单调递增，
∴f（x）min=2=f（1）=a+b，即b=2﹣a，
当＞2时，即＞4时，
∴f（x）在[1，2]单调递减，
∴f（x）min=2=f（2）=2a+，即b=4﹣4a，
当1≤≤2时，即1≤≤4时，
∴f（x）在[1，]单调递减，在（，2]上单调递增，
∴f（x）min=2=f（）=a•+=2，即b=，
当a＜0，b＜0时，f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调递减，在（﹣，0），（0，）单调递增，
当＜1时，即＜1时，
∴f（x）在[1，2]单调递减，
∴f（x）min=2=f（2）=2a+，即b=4﹣4a，
当＞2时，即＞4时，
∴f（x）在[1，2]单调递增，
∴f（x）min=2=f（1）=a+b，即b=2﹣a，
当1≤≤2时，即1≤≤4时，
∴f（x）在[1，]单调递增，在（，2]上单调递减，
∵f（1）=a+b，f（2）=2a+，
当1≤≤2时，f（1）≥f（2），f（x）min=2=f（2）=2a+，即b=4﹣4a，
当2＜≤4，f（1）≤f（2），f（x）min=2=f（1）=a+b，即b=2﹣a，
综上所述：②正确，①③④其余不正确
故答案为：②
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10.00分）（Ⅰ）计算：；
（Ⅱ）若tanx=2，求值：．
【解答】（Ⅰ）解：=1﹣+=1．
（Ⅱ）解：∵tanx=2，∴=．
18．（12.00分）已知函数f（x）=log2（2+x）+log2（2﹣x）．
（Ⅰ）求证：函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）求的值．
【解答】证明：（Ⅰ）解得﹣2＜x＜2
∴f（x）的定义域为（﹣2，2）
又当x∈（﹣2，2）时，有﹣x∈（﹣2，2），
f（﹣x）=log2（2﹣x）+log2（2+x）=f（x）．
∴f（x）为偶函数．
（Ⅱ）f（x）=log2（2+x）+log2（2﹣x）=log2（4﹣x2），
∴f（）=log2（4﹣3）=0．
19．（12.00分）已知A、B是单位圆O上的点，且点B在第二象限，点C是圆O
与x轴正半轴的交点，点A的坐标为，若△AOB为正三角形．
（Ⅰ）若设∠COA=θ，求sin2θ的值；
（Ⅱ）求cos∠COB的值．
【解答】解：（1）因为A点的坐标为，根据三角函数定义可知cosθ=，sinθ=，…（3）分
∴sin2θ=2sinθcosθ=．…（6）分
（2）因为三角形AOB为正三角形，所以∠AOB=60°，
cos∠COA=，sin∠COA=，
所以cos∠COB=cos（∠COA+60°）=cos∠COAcos60°﹣sin∠COAsin60°=．…（12）分
20．（12.00分）已知函数．
（Ⅰ）证明：y=f（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=﹣2x+1的根在区间（k，k+1）（k∈Z）内，求k的值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵x∈R，设x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=a﹣﹣a+=，
∵x1＜x2，且a＞1，
∴．
又，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）为增函数．
（Ⅱ）解：令g（x）=f（x）+2x﹣1，
当a=2时，由（Ⅰ）知，函数f（x）是R上的增函数，
∴函数g（x）是R上的增函数且连续，
又g（0）=f（0）﹣1=﹣1＜0，g（1）=＞0，
所以，函数g（x）的零点在区间（0，1）内，
即方程f（x）=﹣2x+1的根在区间（0，1）内，
∴k=0．
21．（12.00分）已知函数的图象经过三点，在区间内有唯一的最小值．（Ⅰ）求出函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在R上的单调递增区间和对称中心坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数的周期T=2（﹣）=1，
∴ω==2π，又由题意当x=时，y=0，
∴Asin（2π×+ϕ）=0即sin（+ϕ）=0
结合0＜ϕ＜可解得ϕ=，
再由题意当x=0时，y=，
∴Asin=，∴A=
∴；
（Ⅱ）由2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+可解得k﹣≤x≤k+
∴函数的单调递增区间为[k﹣，k+]（k∈Z）
当2πx+=kπ时，f（x）=0，解得x=﹣，
∴函数的对称中心为
22．（12.00分）已知点A（﹣a，2a）关于y轴对称的点为B，点B关于点M（1，m）对称的点为C，且m＞2，a∈（0，1]．
（Ⅰ）设△ABC的面积S，把S表示为关于a的解析式S=f（a）；
（Ⅱ）若f（a）＜m2﹣k﹣1恒成立，求实数k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由已知有B（a，2a）；…（1）分
C（2﹣a，2m﹣2a）．…（2）分
所以△ABC的高为2m﹣2a﹣2a=2m﹣4a，底为2a，…（3）分
∴S=f（a）=×2a×（2m﹣4a）=﹣4a2+2ma …（5）分
（Ⅱ）由f（a）=﹣4a2+2ma的图象是开口朝上，且以直线a=为对称的抛物线，①当2＜m＜4时，对称轴a=∈（，1），
所以函数在（0，1]上的最大值为，
∵f（a）＜m2﹣k﹣1恒成立，即恒成立．
∵2＜m＜4
∴k≤﹣1=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（※）…（9）分
②当m≥4时，对称轴为a=≥1
所以函数在（0，1]上的最大值为﹣4+2m，
∵f（a）＜m2﹣k﹣1恒成立，即k≤m2﹣2m+3恒成立．
∵m≥4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（※※），
∴m2﹣2m+3≥11，即k≤11，…（11）分
由（※），（※※）求交得，k≤2．…（12）分
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【模型三】
双垂型：图形特征：
60°
运用举例：
1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；
（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.
P
2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.
（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；
（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝3
5
，求
AB
BC的值.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积
（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

C
D
B。