重心坐标简介
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重心坐标简介
邵美悦 2017 年 9 月 30 日
1 重心坐标的定义
若 A, B, C 是 R2 上不共线的三个固定点, 那么对于任意一点 P ∈ R2, 总存在 唯一的 [p1, p2, p3]T ∈ R3 使得
P = Ap1 + Bp2 + Cp3, p1 + p2 + p3 = 1.
这里的 [p1, p2, p3]T 称为 P 关于 △ABC 的重心坐标, 也叫面积坐标.
5
4 高维 Euclid 空间中的重心坐标
对于 Rn 上的 n + 1 个固定点 A1, A2, . . ., An+1, 只要它们能构成非退化的 (n + 1)-单纯形, 即 {A1 − An+1, A2 − An+1, . . . , An − An+1} 线性无关, 那么对于任意 的 P ∈ Rn, 总存在唯一的 [p1, p2, . . . , pn+1] ∈ Rn+1 使得
心的重心坐标由以下公式给出:
1. 内心
A sin α + B sin β + C sin γ I = sin α + sin β + sin γ ;
2. 重心 3. 外心
A+B+C
M=
;
3
A sin 2α + B sin 2β + C sin 2γ O = sin 2α + sin 2β + sin 2γ ;
若 A, B, C, P 在 R2 上的线性坐标 (仿射坐标) 分别为 [xA, yA]T, [xB, yB]T,
[xC, yC]T, [xP , yP ]T, 那么
xyPP = xyAA
xB yB
xC yC
pp12
,
1
1 1 1 p3
由 Cramer 法则得
的比例关系, 所以为简便起见有时我们也允许非归一化的重心坐标 (只要求 p1 +p2 + p3 ̸= 0), 而在使用的时候要注意多做一步归一化:
P = Ap1 + Bp2 + Cp3 . p1 + p2 + p3
2 三角形四心的重心坐标
如果我们分别用 α, β, γ 表示 △ABC 的三个内角 ∠A, ∠B, ∠C, 那么三角形四
利用
xyPP
xQ yQ
xyRR = xyAA
xB yB
xC yC
pp21
q1 q2
r1 r2
,
111
1 1 1 p3 q3 r3
所以在重心坐标下 P , Q, R 三点共线的充要条件是
det pp12
q1 q2
rr12 = 0,
p3 q3 r3
4
利用 Cramer 法则可以给出 Rn 中线性坐标和重心坐标之间的转换关系, 重心坐 标依然具有有向体积比的几何意义. 如果将 n 维 Euclid 空间 Rn 嵌入到 n 维射影空 间 Pn 并选取适当的参考点, 那么重心坐标也可以视为一种射影坐标, 射影几何中的 不少工具可以直接应用到重心坐标上.
P = A1p1 + A2p2 + · · · + An+1pn+1, p1 + p2 + · · · + pn+1 = 1. 向量 [p1, p2, . . . , pn+1] ∈ Rn+1 称为 P 关于 A1, A2, . . ., An+1 的重心坐标, 只不过当 n ̸= 2 时一般不再叫做面积坐标. (注意, 重心坐标的定义包含了 n = 1 的情况, 也就 是所谓的定比分点公式.)
4. 垂心
A tan α + B tan β + C tan γ H = tan α + tan β + tan γ .
证明留作练习.
3 重心坐标下的直线方程
重心坐标下直线的一般方程与线性坐标下的一般方程形式一致. 在线性坐标下 P 点落在某直线上可写成
ζxP + ηyP + θ = 0,
2
在重心坐标下则变成
ζ∗p1 + η∗p2 + θ∗p3 = 0,
其中方程的系数满足
[ζ∗, η∗, θ∗] = [ζ, η, θ] xyAA
xB yB
xC yC
.
111
在线性坐标下三点 P , Q, R 共线的充要条件是
R yR
=
0,
111
把其中的 [xP , yP ]T 视为动点 P 的坐标即为过 Q, R 的直线的两点式方程. 类似地,
3
[r1, r2, r3]T 的直线坐标为
qq12 × rr12 ;
q3
r3
而重心坐标下两直线 [ζ1, η1, θ1]T 和 [ζ2, η2, θ2]T 交点的坐标为 ηζ11 × ηζ22 .
θ1
θ2
因此利用向量的叉积可以很方便地解决求交点问题, 只不过需要注意这里得到的坐
p1
=
S△P BC , S△ABC
p2
=
S△AP C , S△ABC
p3
=
S△ABP , S△ABC
其中
S△ABC
=
1 2
det xyAA
xB yB
xC yC
111
1
表示三角形的有向面积. 在重心坐标中归一化 (即 p1 + p2 + p3 = 1) 并不很重要, 较为重要的是
p1 : p2 : p3 = S△P BC : S△AP C : S△ABP
把其中的 [p1, p2, p3]T 视为动点 P 的坐标即为重心坐标下过 Q, R 的直线的两点式方 程, 形式上也与线性坐标下的两点式方程一致.
尽管在上述推导中使用的都是归一化的重心坐标, 但直线的一般式和两点式方 程对于非归一化的重心坐标依然有效.
在一般式方程中点的坐标和系数形式上地位大致是对偶的, 所以我们可以把系 数作为直线的坐标. 与线性坐标下的结论类似, 在重心坐标下过两点 [q1, q2, q3]T 和
标是没有经过归一化的.
事实上重心坐标可以看成是一种特殊的射影坐标 (齐次坐标), 如果我们把 Eu-
clid 平面 R2 嵌入到射影平面 P2, 并取参考点
A = 10 ,
B = 01 ,
C = 00 ,
0
0
1
M = 11 ,
1
那么这样得到的射影坐标和未归一化的重心坐标是一致的, 并且无穷远点都满足 p1 + p2 + p3 = 0. 由此可见本节中的结论在射影几何的观点下都是自然的, 我们还 可以建立重心坐标下的二次曲线方程, 这里不再细表.
邵美悦 2017 年 9 月 30 日
1 重心坐标的定义
若 A, B, C 是 R2 上不共线的三个固定点, 那么对于任意一点 P ∈ R2, 总存在 唯一的 [p1, p2, p3]T ∈ R3 使得
P = Ap1 + Bp2 + Cp3, p1 + p2 + p3 = 1.
这里的 [p1, p2, p3]T 称为 P 关于 △ABC 的重心坐标, 也叫面积坐标.
5
4 高维 Euclid 空间中的重心坐标
对于 Rn 上的 n + 1 个固定点 A1, A2, . . ., An+1, 只要它们能构成非退化的 (n + 1)-单纯形, 即 {A1 − An+1, A2 − An+1, . . . , An − An+1} 线性无关, 那么对于任意 的 P ∈ Rn, 总存在唯一的 [p1, p2, . . . , pn+1] ∈ Rn+1 使得
心的重心坐标由以下公式给出:
1. 内心
A sin α + B sin β + C sin γ I = sin α + sin β + sin γ ;
2. 重心 3. 外心
A+B+C
M=
;
3
A sin 2α + B sin 2β + C sin 2γ O = sin 2α + sin 2β + sin 2γ ;
若 A, B, C, P 在 R2 上的线性坐标 (仿射坐标) 分别为 [xA, yA]T, [xB, yB]T,
[xC, yC]T, [xP , yP ]T, 那么
xyPP = xyAA
xB yB
xC yC
pp12
,
1
1 1 1 p3
由 Cramer 法则得
的比例关系, 所以为简便起见有时我们也允许非归一化的重心坐标 (只要求 p1 +p2 + p3 ̸= 0), 而在使用的时候要注意多做一步归一化:
P = Ap1 + Bp2 + Cp3 . p1 + p2 + p3
2 三角形四心的重心坐标
如果我们分别用 α, β, γ 表示 △ABC 的三个内角 ∠A, ∠B, ∠C, 那么三角形四
利用
xyPP
xQ yQ
xyRR = xyAA
xB yB
xC yC
pp21
q1 q2
r1 r2
,
111
1 1 1 p3 q3 r3
所以在重心坐标下 P , Q, R 三点共线的充要条件是
det pp12
q1 q2
rr12 = 0,
p3 q3 r3
4
利用 Cramer 法则可以给出 Rn 中线性坐标和重心坐标之间的转换关系, 重心坐 标依然具有有向体积比的几何意义. 如果将 n 维 Euclid 空间 Rn 嵌入到 n 维射影空 间 Pn 并选取适当的参考点, 那么重心坐标也可以视为一种射影坐标, 射影几何中的 不少工具可以直接应用到重心坐标上.
P = A1p1 + A2p2 + · · · + An+1pn+1, p1 + p2 + · · · + pn+1 = 1. 向量 [p1, p2, . . . , pn+1] ∈ Rn+1 称为 P 关于 A1, A2, . . ., An+1 的重心坐标, 只不过当 n ̸= 2 时一般不再叫做面积坐标. (注意, 重心坐标的定义包含了 n = 1 的情况, 也就 是所谓的定比分点公式.)
4. 垂心
A tan α + B tan β + C tan γ H = tan α + tan β + tan γ .
证明留作练习.
3 重心坐标下的直线方程
重心坐标下直线的一般方程与线性坐标下的一般方程形式一致. 在线性坐标下 P 点落在某直线上可写成
ζxP + ηyP + θ = 0,
2
在重心坐标下则变成
ζ∗p1 + η∗p2 + θ∗p3 = 0,
其中方程的系数满足
[ζ∗, η∗, θ∗] = [ζ, η, θ] xyAA
xB yB
xC yC
.
111
在线性坐标下三点 P , Q, R 共线的充要条件是
R yR
=
0,
111
把其中的 [xP , yP ]T 视为动点 P 的坐标即为过 Q, R 的直线的两点式方程. 类似地,
3
[r1, r2, r3]T 的直线坐标为
qq12 × rr12 ;
q3
r3
而重心坐标下两直线 [ζ1, η1, θ1]T 和 [ζ2, η2, θ2]T 交点的坐标为 ηζ11 × ηζ22 .
θ1
θ2
因此利用向量的叉积可以很方便地解决求交点问题, 只不过需要注意这里得到的坐
p1
=
S△P BC , S△ABC
p2
=
S△AP C , S△ABC
p3
=
S△ABP , S△ABC
其中
S△ABC
=
1 2
det xyAA
xB yB
xC yC
111
1
表示三角形的有向面积. 在重心坐标中归一化 (即 p1 + p2 + p3 = 1) 并不很重要, 较为重要的是
p1 : p2 : p3 = S△P BC : S△AP C : S△ABP
把其中的 [p1, p2, p3]T 视为动点 P 的坐标即为重心坐标下过 Q, R 的直线的两点式方 程, 形式上也与线性坐标下的两点式方程一致.
尽管在上述推导中使用的都是归一化的重心坐标, 但直线的一般式和两点式方 程对于非归一化的重心坐标依然有效.
在一般式方程中点的坐标和系数形式上地位大致是对偶的, 所以我们可以把系 数作为直线的坐标. 与线性坐标下的结论类似, 在重心坐标下过两点 [q1, q2, q3]T 和
标是没有经过归一化的.
事实上重心坐标可以看成是一种特殊的射影坐标 (齐次坐标), 如果我们把 Eu-
clid 平面 R2 嵌入到射影平面 P2, 并取参考点
A = 10 ,
B = 01 ,
C = 00 ,
0
0
1
M = 11 ,
1
那么这样得到的射影坐标和未归一化的重心坐标是一致的, 并且无穷远点都满足 p1 + p2 + p3 = 0. 由此可见本节中的结论在射影几何的观点下都是自然的, 我们还 可以建立重心坐标下的二次曲线方程, 这里不再细表.