弛豫振荡(relaxation oscillation)

工作时
gH
(
q
,
I
q
)
L
q
0 q
c
( q 2
0 ) 0L H
c H
( q
0 )
c
c 2 0L
引入牵引参量H，它表示为
H
q
0 q
q 0
c H
2、非均匀加宽激光器
当 q
0
时，
D
q
0 q
c( q 0 ) ln 3 20 D
2
gi0( 0 ) exp[4 ln
2(
q
0
D
)2 ]
c( q 0 ) ln 3 20 D
H D, 1
WI ( i)
2 e 2 et2 dt
0
非均匀加宽时的折射率变化为
( )
c
2 3 2
gi0
(
0
)
exp[4
ln
2( 0 D
)2
]
2 0
e dt ln 2 0 D
t2
当考虑0附近的色散现象时，( 0) D ，上式 积分在很小的范围内进行，在此范围内t<<1， 被积函数 et2 1 ，可近似得到
源腔中，由于增益物质的色散，使纵模频
率比无源腔纵模更靠近中心频率，这种现
象称为频率牵引。
•
(If
the
passive
cavity
resonance
0 q
is not equal
to the atomic line center 0, oscillation takes
place
near
0 q
but
is
0 q
qc
2 0 L
在有源谐振腔中，由于色散的存在，纵模频率
变为
q
qc
2L
2[ 0
qc
(
)]L
显然它偏离了无源腔的纵模频率，偏离量为
q
0 q
2[0
qc
( q )]L
qc
2 0 L
( 0
q
)
0 q
•
当
0 q
0 时， (
q
)
0
，因而
q
0 q
0
；
当
0 q
0 时， (
q
)
0
，因而
q
0 q
0 。在有
3、理论处理：
• 利用一级微扰近似的方法对非稳态的速率方 程求解(we consider the behavior of small perturbations from equilibrium)
N (t) N0 N(t)
• 假定n(t) n0 n(t) ，考察四能级系统中光子 数密度N(t)及反转粒子数密度n(t)的速率方程
• 忽略二阶小量，得到 dN dt和 dn dt，然后再 分别求导，得到二阶常系数微分方程
d 2n dt 2
dn dt
n
0
d 2N dt 2
dN dt
N
0
21N 0 A21 W03 1
R 21N0
n(t) n(0)et sin t
N(t) N(0)et sin(t 2)
i
(
)
c( 0 ) 3 2 D
ln
2
gi0
(
0
)
exp[
4
ln
2( 0 D
)2
]
均匀加宽的情况为
H
(
)
( 0 )c 2 H
gH
(
,
I
)
• 从H()和i()的表达式中看出，当 0 时， ()>0；当 0 时，()<0。
（二）频率牵引(frequency pulling)
在无源谐振腔中，纵模频率表示为
• 只考虑输出损耗T，稳定工作时，
P0 Pst nt 21( , 0 )Nl SLh nt al Nl (SL)2 h
另外，
P0
Nl 2
hST
Nl
2P0
TSh
al
P0
(SL)2 hnt Nl
T
2SL2nt
s
s 2L
al n2t
L
Nl
2L
T 2
2L
c
s
n2t nt
2 ( c )2 h 0
器的输出功率包括受激辐射功率和自发辐射功 率两部分：P0=Pst+Psp。由于Pst小于P0，稳态 振荡时，受激过程的增益略小于损耗，其不足
的部分由自发辐射补充。但自发辐射具有随机
的相位，所以输出激光是一个略有衰减的有限 长波列，因此具有一定的谱线宽度s。这种 线宽是由于自发辐射的存在而产生的，因而是 无法排除的，所以称为线宽极限。
即尖峰时间间隔越小，衰减越迅速
A21
R
W03 (W03 )t
1
4、普遍意义：
• 激光的建立过程是建立新的平衡的过程， 在任何一个新平衡状态的建立过程中，都 存在程度不同的驰豫振荡。即使是连续运 转的激光器，其稳定状态建立的过程就是 一种驰豫振荡的过程，在一般情况下，我 们并不关心稳态建立的过程，只是作为一 种瞬态噪声处理。
小结： 掌握基本概念：
• 什么是驰豫振荡，如何定性分析？ • 什么是线宽极限？ • 什么是频率牵引？
end
2
gi ( q ,
I q
)
1 Iq Is
稳态工作时
q
0 q
c( q 0) ln 2 L 3 20 D
1 Iq Is
2
ln 2 c D
1
I q Is
( q
0)
非均匀加宽的牵引参量i为
i
q
0 q
q 0
2
ln 2 c H
1 Iq Is
对632.8nm氦氖激光器， i的数量约为10-3。
尖峰脉冲序列。泵浦功率越大，尖峰形成越快，
尖峰的时间间隔越小。
• The basic physical mechanism is an interplay between the oscillation field in the resonator and the atomic inversion. An increase in the field intensity causes a reduction in the inversion due to the increased rate of stimulated transitions. This causes a reduction in the gain which in turn tends to decrease the field intensity.
• 当 t 1 时，n(t)与 N (t) 趋近于0，N(t)N0， n(t) (n)0，此时达到稳态，激光器具有稳 定的输出。
• 尖峰序列是向稳态振荡过渡的弛豫过程的产物。 如果脉冲激励持续时间较短，输出具有尖峰序
列；而在连续激光工作器件中，则可得到稳定 输出。
• 激励越强(W03越大) ，则阻尼振荡频率越高，
shifted
slightly
toward
0.
This phenomenon is referred to as frequency
pulling.)
增益曲线、色散曲 线及谐振腔模谱
1、均匀加宽激光器
q
0 q
( 0
q
)
0 q
c
( q 2
0 0
)
H
gH ( q , Iq )
假定腔长与工作物质长度相等，当激光器稳态
(
0 )2
( H )2
2
( H )2[1
2
I Is
d 0
]
全部反转粒子对折射率变化的贡献为各种表观中 心频率贡献的总和
( )
c
2 H
A21 2n0 4 2 02 H
0
( (
0 ) g~D 0 )2
( 0 , 0 ( H
2
)( H )2
2 )2[1 I ]
Is
d
0
g~D ( 0, 0 )
• 自然界不可能存在绝对的单色光，实际的单 纵模激光器的线宽也不会等于零。
• 在光子数密度方程中曾忽略了自发辐射，在 讨论阈值及输出功率等问题时，因自发辐射 比受激辐射的贡献微弱，忽略是可行的，但 在考虑线宽问题时必须考虑自发辐射。
dNl dt
n 21( , 0 )Nl
al n2
Nl
R
假设腔长L等于工作物质长l。
al
A21g~( , 0 )
nV
A21g~( , 0 )
n
1 SL
21( , 0 )
SL
dNl dt
g( , I )Nl
aln2
Nl
L
在稳定工作时，dNl dt
0，n2
n2t
s
g( ,
I
)l
al n2t
L
Nl
由于存在自发辐射，稳定振荡时的单程增益略
小于单程损耗，有源腔的净损耗s不等于零。
实际激光器中由于自发辐射的存在，使得激光
1
(162nme2 00
)
(
0 0 )2
( H
2
)2
1 ( 0 )c g H
增益系数为零时，折射率为常数，记为0。增
益系数不为零时，折射率是频率的函数，记
为( ) 0 ( ) ，其中()表示折射率随频
率变化的部分。
在均匀加宽工作物质中，
H
(
)
( 0 )c 2 H
gH
(
,
I
)
gH ( , I )
四 弛豫振荡(relaxation oscillation)
1、概念
• 一般固体脉冲激光器所输出的并不是一个平 滑的光脉冲，而是宽度只有微秒数量级的短 脉冲序列，即所谓的“尖峰”序列。激励越 强，短脉冲之间的时间间隔越小。这种现象 称作弛豫振荡效应或尖峰振荡效应。
腔内光子 数密度及 反转集居 数密度随 时间的变 化
P0
• 输出功率越大，线宽越窄。因为输出功率 增大就意味着腔内相干光子数增多，受激 辐射比自发辐射占更大优势，因而线宽变 窄。
• 减小损耗和增加腔长也可使线宽变窄。
s
n2t nt
2 ( c )2 h 0
P0
六 激光器的频率牵引
（一）色散现象 (Dispersion)
从光和物质相互作用的经典理论得知：激光工 作物质在增益（或吸收）曲线中心频率0附近 呈现强烈的色散，即折射率随频率而急剧变化； 色散随工作物质增益系数的增高而增大。
A21 2n0 4 2 02 H
(
0 )2
( H )2
2
( H )2[1
2
I ] Is
在综合加宽工作物质中，粒子必须按其表观中心频率
分类。设表观中心频率在0~0+d0范围内的反转集 居数密度为 n0gD (0,0)d0 ，这部分反转粒子对折射率 变化的贡献为
c( 0) 2 H
A21 2n0g~D ( 0, 0 ) 4 2 02 H
2
D
( ln 2 ) e 1 2
[
4
ln
2•( 0 D
2
0
)2
]
代入上式
( )
c
2 H
A21 2n0
4
2
2 0
H
0
( (
0 )g~D 0 )2
( 0, 0 ( H
2
)( H )2
2 )2[1 I ]
Is
d
0
c
4 2
A21 2n0
4
2 0
D
ln 2
(
0) exp[4 ln
2( 0
(
0 )2
( H
2
)2[1
0
D
I Is
)2 ]
]

d
0
令
t 2 ln 2 ( 0 0 )
D
2 ln 2 ( 0 ) D
H
ln 2
1 I Is
D
(
)
c
4 2
gi0(0 )
( t)et2 ( t)2 2
dt
c
4
gi0(0)WI ( i)
如果工作物质具有非均匀加宽线型，即
(t 0)
其中 t=0时刻相应于n上升至nt的时刻。起伏 量 n(t) 与 N(t) 随时间作阻尼周期变化
其中阻尼振荡的衰减常数及振荡频率分别
为
1 2
(W03
A21
21N0 )
21N0 2 R
The predicted perturbation in the power output (which is proportional to the number of photons) is, thus, a damped sinusoid with the damping rate and the oscillation frequency increasing with pumping.
2、定性物理解释
在脉冲泵浦源的作用下，反转集居数密度和腔
内光子数密度处于剧烈的变化之中。当
，
开始n产 生nt激光，受激辐射将使腔内光子数急剧 增加并达到极值。与此同时又消耗了大量高能
级粒子，致使
，由于n 腔内nt 增益小于损
耗，光子数减少而形成一个尖峰。这种过程在
脉冲泵浦持续作用时间内反复出现，构成一个
五 单模激光器的线宽极限
无源腔—单程损耗为，本征模式的谱线宽度
为
c
1 2
R
c 2 L
实际激光器腔内工作物质的增益系数恒大于0， 所以称作有源谐振腔。其单程净损耗为
s g( , I )l
激光器稳态工作时,
g( , I )l
,
所以 s
c s 0 2L
???
理想情况的物理图像
• 腔内的受激辐射能量补充了损耗的能量， 而且由于受激辐射产生的光波与原来的光 波具有相同的相位，二者相干叠加使腔内 光波的振幅始终保持恒定，因而输出激光 在理想情况下为一无限长的波列，其线宽 应等于零。