高考数学一轮复习 第八章 第五节 椭圆课时作业 理 新人教版

课时作业
一、选择题
1．(2014·浙江绍兴一模)椭圆x 225＋y 2
9＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，
则|ON |等于
( )
A ．2
B ．4
C ．8
D.32
B [连接MF 2，已知|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝10，
∴|MF 2|＝10－|MF 1|＝8. 如图，|ON |＝1
2
|MF 2|＝4.故选B.]
2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是3
4
，则此椭圆的标准方程是
( )
A.x 2
16
＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 2
16
＝1 C.
x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 2
16
＝1 B [∵a ＝4，e ＝3
4，∴c ＝3.
∴b 2
＝a 2
－c 2
＝16－9＝7.
∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 2
16
＝1.]
3．(2014·广东韶关4月调研)F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，与直线
y ＝b 相切的⊙F 2交椭圆于点E ，E 恰好是直线EF 1与⊙F 2的切点，则椭圆的离心率为
( )
A.
32 B.
33 C.53
D.
54
C [依题意，△EF 1F 2为直角三角形，∠F 1EF 2＝90°， |F 1F 2|＝2c ，|EF 2|＝b ，由椭圆的定义知|EF 1|＝2a －b ， 又|EF 1|2
＋|EF 2|2
＝|F 1F 2|2
，
即(2a －b )2＋b 2＝(2c )2
，整理得b ＝23
a ，
所以，e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝59，故e ＝5
3
.选C.]
4．(2014·沈阳二中月考)已知椭圆x 2
4＋y 2
＝1的两焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，MF 1―
→,·MF 2―→,＝0，则M 到y 轴的距离为
( )
A.23
3 B.26
3
C.33
D. 3
B [由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上， 该圆的方程是x 2
＋y 2
＝3，即y 2
＝3－x 2
， 代入椭圆方程得x 2
4＋3－x 2＝1，解得x 2
＝83，
则|x |＝263，即点M 到y 轴的距离为26
3
.]
5．(2014·温州模拟)设椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝1
2，右焦点为F (c ，0)，方程
ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)
( )
A ．必在圆x 2
＋y 2
＝2内 B ．必在圆x 2
＋y 2
＝2上 C ．必在圆x 2
＋y 2
＝2外 D ．以上三种情形都有可能
A [由已知得e ＝c a ＝12，则c ＝a
2
.
又x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a
，
所以x 2
1
＋x 22
＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ca a 2＝b 2＋a 2a 2＜2a 2
a
2＝2，
因此点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2
＝2内．] 二、填空题
6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
3
2
，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．
解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆定义知2a ＝12，即a ＝6，由c a ＝3
2
，
得c ＝33，b 2
＝a 2
－c 2
＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 2
9＝1.
答案
x 236＋y 2
9
＝1 7．(2014·乌鲁木齐第一次诊断)如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，
B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离
心率的取值范围为________．
解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，得b
2
＜ac ，即a 2
－c 2
＜ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a
－1＞0，即e 2
＋e －1＞0，e ＞5－12或e ＜－5－12，
又0＜e ＜1，∴5－1
2
＜e ＜1. 答案 ⎝
⎛⎭
⎪⎫
5－12，1
三、解答题
8．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6
3
，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l
与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．
解析 (1)由已知得c ＝22，c
a ＝
6
3
.解得a ＝23，
又b 2＝a 2－c 2
＝4.
所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2
4＝1.
(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 2
4
＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2
－12＝0.①
设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，
AB 中点为E (x 0，y 0)，
则x 0＝
x 1＋x 2
2＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m
4
.
因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB .
所以PE 的斜率k ＝
2－
m
4
－3＋
3m 4＝－1.解得m ＝2. 此时方程①为4x 2
＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.
此时，点P (－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝32
2，
所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝9
2
.
9．(2013·烟台一模)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆C ：y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上两点，已知m
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2b ，y 2a ，若m·n ＝0且椭圆的离心率e ＝
3
2
，短轴长为2，O 为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
解析 (1)∵2b ＝2，∴b ＝1，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝3
2
.
∴a ＝2，c ＝ 3.∴椭圆的方程为y 2
4＋x 2
＝1. (2)①当直线AB 的斜率不存在，即x 1＝x 2时，
y 1＝－y 2，由m·n ＝0得x 2
1
－y 21
4
＝0，∴y 21＝4x 2
1.
又A (x 1，y 1)在椭圆上，
∴x 21
＋4x 2
1
4
＝1，
∴|x 1|＝
22，|y 1|＝2，△AOB 的面积S ＝12|x 1||y 1－y 2|＝1
2
|x 1|·2|y 1|＝1. ②当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋b (其中b ≠0)，代入y 2
4＋x 2
＝1，得
(k 2
＋4)x 2
＋2kbx ＋b 2
－4＝0.
Δ＝(2kb )2
－4(k 2
＋4)(b 2
－4)＝16(k 2
－b 2
＋4)， x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2
－4
k 2＋4，
由已知m·n ＝0得x 1x 2＋
y 1y 2
4
＝0，
∴x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）4＝0，代入整理得2b 2－k 2
＝4，代入Δ中，满足题意，
∴△AOB 的面积S ＝12·|b |1＋k 2
|AB |＝12|b |·（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2＝|b |4k 2
－4b 2
＋16k 2＋4＝4b
2
2|b |
＝1. ∴△AOB 的面积为定值1。