高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)章末检测 新人教A版必修1

第二章 基本初等函数（Ⅰ）
章末检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.4
－
2
＝( )
A ．e －3
B ．3－e C.3－e
D ．±3－e
解析：∵e<3，∴e －3<0， ∴4
e －3
2
＝[(e －3)2
] 14
＝[(3－e)2
] 14
＝(3－e)
124
⨯
＝3－e.
答案：C
2．函数y ＝3|x |
－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为( ) A ．[2,8] B.[0,8] C ．[1,8]
D ．[－1,8]
解析：当x ＝0时，y min ＝30
－1＝0， 当x ＝2时，y max ＝32
－1＝8， 故值域为[0,8]． 答案：B
3．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
e x －1，x ≤1，
ln x ，x >1，那么f (ln 2)的值是( ) A ．0 B.1 C ．ln(ln 2)
D ．2
解析：∵0<ln 2<1，∴f (ln 2)＝e ln 2
－1＝2－1＝1.
答案：B 4．函数f (x )＝
x |x |
·a x
(a ＞1)的图象的大致形状是( )
解析：当x ＞0时，f (x )＝a x
， 当x ＜0时，f (x )＝－a x
，
则f (x )＝x
|x |
·a x
(a ＞1)的图象为B.
答案：B
5．幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B.[0，＋∞) C ．(－∞，0)
D ．(－∞，＋∞)
解析：设幂函数f (x )＝x α，∴2α
＝14，∴α＝－2，
∴f (x )＝x －2
＝1x
2，图象如图所示：
∴f (x )的增区间为(－∞，0)． 答案：C
6．若0<a <b <1，则( ) A ．3b
<3a
B.log a 3<log b 3
C ．log 4a <log 4b
D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14a <⎝ ⎛⎭
⎪⎫14b 解析：对于选项A ：∵y ＝3x
是增函数，∴3a
<3b
. 对于选项B ：∵log a 3－log b 3＝lg 3lg a －lg 3
lg b
＝
b －lg a lg a lg b
，∵0<a <b <1，∴lg b <0，
lg a <0，lg 3>0，lg b －lg a >0，∴log a 3－log b 3>0，∴log a 3>log b 3. 对于选项C ：∵y ＝log 4x 是增函数，∴C 正确．
对于选项D ：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14a >⎝ ⎛⎭
⎪⎫14b
.
答案：C
7．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x
＋1，x <1，
x 2
＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝6，则a 的值等于( ) A ．－1 B.1 C ．2
D ．4
解析：∵0<1，∴f (0)＝30
＋1＝2，而2≥1， ∴f (f (0))＝f (2)＝22
＋2a ＝6，∴a ＝1. 答案：B
8．已知a ＝0.3，b ＝20.3
，c ＝0.30.2
，则a ，b ，c 三者的大小关系是( ) A ．b >c >a B.b >a >c C ．a >b >c
D ．c >b >a
解析：a ＝0.3＝0.312
＝0.30.5
，
∵y ＝0.3x 是减函数，∴0.30.5<0.30.2<0.30
＝1， 即a <c <1；而y ＝2x 是增函数，∴20.3>20
＝1， ∴b >c >a . 答案：A
9．下列函数中，定义域为R 的是( ) A ．y ＝x －2
B.y ＝x 1
2
C ．y ＝x 2
D ．y ＝x －1
答案：C
10．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 5
5，则有( )
A ．a >b >c B.b >a >c C ．b >c >a
D ．a >c >b
解析：∵a －b ＝ln 22－ln 33＝3ln 2－2ln 36＝ln 8－ln 9
6<0，∴a <b ，
∵a －c ＝ln 22－ln 55＝5ln 2－2ln 510＝ln 32－ln 25
10>0，
∴a >c ∴b >a >c . 答案：B
11．已知f (x )＝ln (1＋x 2
＋x )，且f (a )＝2， 则f (－a )＝( ) A ．1 B.0 C ．2
D ．－2
解析：f (a )＝ln (1＋a 2
＋a )，
f (－a )＝ln (1＋a 2－a )
∴f (a )＋f (－a )＝ln (1＋a 2
＋a )＋ln (1＋a 2
－a )＝ln [(1＋a 2
＋a )(1＋a 2
－a )]＝ln (1＋a 2
－a 2
)＝ln 1＝0. 答案：D 12
．
(2016·
高
考
天
津卷)已知函数f (x )＝
{ x 2＋
a －x ＋3a ，x <0，a
x ＋
＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，
且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，23
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，34
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
34
D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫34 解析：由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a <1. 又由f (x )在R 上单调递减，则 ⎩⎪⎨⎪
⎧
02
＋a －＋3a ≥f ＝1，
3－4a
2
≥0⇒13≤a ≤3
4
.如图所示，
在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象．
由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解，故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a >2，即a >23时，由x 2
＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，
得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2
－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝
1(舍去)；
当1≤3a ≤2，即13≤a ≤2
3时，由图象可知，符合条件．
综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C. 答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．函数f (x )
＝
4－2x
＋
x －
x －
的定义域为________．
解析：若解析式有意义，则
⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2x
≥0，
x －1≠0，x －1＞0，x －1≠1，
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤2，
x ≠1，x ＞1，x ≠2.
∴1＜x ＜2. 答案：(1,2)
14．若a ＞0，a 2
3
＝4
9
，则log 23a ＝________.
解析：∵a 23
＝49，∴3232
32
4()9a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
∴a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫233
，
∴log 23
a ＝log 23
⎝ ⎛⎭
⎪⎫233
＝3.
答案：3
15．若函数f (x )＝a x
－x －a ＝0有两个解，则实数a 的取值范围是________．
解析：题设等价于a x
＝x ＋a 有两个解，即y ＝a x
与直线y ＝x ＋a 有两个交点，如图所示：
答案：a >1
16. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2
a
－1
)>f (－2)，则a 的取值范围是________．
解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2
|a －1|
)>f (2)，∴2
|a －1|
<2＝2.
∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <3
2
.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)计算：(1)73
3－33
24－6319
＋ 433
3；
(2)(0.008 1)
14
-－[3×⎝ ⎛⎭⎪⎫780]－1×[81－0.25
＋(278)13-]12-－10×0.0271
3.
解析：(1)原式＝73
3－3×23
3－6×
3
33
＋33＝733－633－233＋3
3＝0.
(2)原式＝[(0.3)4
]
14
-
－3－1
×
－10×0.3
133
⨯
＝
103－13×(13＋23)1
2-－10×0.3＝103－1
3－3＝0. 18．(本小题满分12分)求下列各式的值： (1)12lg 3249－4
3lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2
＋2lg 2－(lg 2)2
.
解析：(1)12lg 3249－4
3lg 8＋lg 245
＝lg
32
49
－lg 234
23⨯＋lg 245 ＝lg 427－lg 4＋lg 7 5
＝lg 42×757×4＝lg 10＝12.
(2)(lg 5)2
＋2lg 2－(lg 2)2
＝(lg 5) 2
－(lg 2)2
＋2lg 2
＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 5－lg 2＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x －1＋1
2，
(1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性． 解析：(1)x 的取值需满足2x
－1≠0，则x ≠0， 即f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由(1)知定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 则f (－x )＝12－x －1＋1
2
＝2x
1－2x ＋12 ＝12－2
x 2x －1， ∴f (x )＋f (－x ) ＝12x －1＋12＋12－2x
2x －1 ＝1－2
x
2x －1
＋1＝0. ∴f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．
20．(本小题满分12分)若－3≤log 12
x ≤－12，求f (x )＝⎝
⎛⎭⎪⎫log 2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x 4的最大值和最小值． 解析：f (x )＝(log 2x －1)(log 2x －2) ＝(log 2x )2
－3log 2x ＋2 ＝⎝
⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14.
又因为－3≤log 12
x ≤－12，所以1
2
≤log 2x ≤3.
所以当log 2x ＝32时，f (x )min ＝f (22)＝－1
4.
所以log 2x ＝3时，f (x )max ＝f (8)＝2.
21．(本小题满分13分)对于函数f (x )＝log 12
(x 2
－2ax ＋3)．
(1)若函数在[－1，＋∞)上有意义，求a 的取值范围； (2)若函数在(－∞，1]上是增函数，求a 的取值范围．
解析：(1)函数f (x )在[－1，＋∞)上有意义，则u ＝x 2
－2ax ＋3＝g (x )>0对于
x ∈[－1，＋∞)恒成立，因此保证g (x )在[－1，＋∞)上的图象位于x 轴上方，因此应按g (x )
的对称轴x ＝a 分类，则得对称轴在[－1，＋∞)左侧，即g (x )在[－1，＋∞)上为增函数，对称轴在[－1，＋∞)上，这时保证顶点都在x 轴上方即可．
则得⎩⎪⎨
⎪⎧
a <－1，
g －
，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥－1，
Δ＝4a 2
－12<0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a <－1，
4＋2a >0，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥－1，
a 2
－3<0，
得－2<a <－1或－1≤a <3，即－2<a < 3. 故a 的取值范围是(－2，3)．
(2)令u ＝g (x )＝x 2
－2ax ＋3，f (u )＝log 12
u .
由复合函数的单调性可知，函数f (x )在(－∞，1]上是增函数⇔g (x )在(－∞，1]上是减函
数，且g (x )>0，对x ∈(－∞，1]恒成立⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≥1，
g ，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≥1，
4－2a ＞0，解得a ∈[1,2)．
22．(本小题满分13分)已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x
2x ＋a
是奇函数．
(1)求a ，b 的值；
(2)用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2
－2t )＋f (2t 2
－k )<0恒成立，求k 的范围． 解析：(1)∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，b ＝1.
又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1. (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，
∵x 1<x 2，∴22
x －2
1
x >0，
又(2
1
x ＋1)(2
2
x ＋1)>0，f (x 1)－f (x 2)>0
∴f (x )为R 上的减函数．
(3)∵t ∈R ，不等式f (t 2
－2t )＋f (2t 2
－k )<0恒成立， ∴f (t 2
－2t )<－f (2t 2
－k )
∵f (x )是奇函数，∴f (t 2
－2t )<f (k －2t 2
)，由f (x )为减函数， ∴t 2
－2t >k －2t 2
.
即k <3t 2－2t 恒成立，而3t 2
－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13.
∴k <－1
3.。