2018无锡一模（八）数学

2018无锡一模（八）数学
2018届无锡高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
1. 3
2. 6
3. 47
4.
1
12 5. 21 6. 50π 7. 5 8. π6
9. 1 024 10. 19 11. 8 12. 6 13. (－2，0) 14. (－∞，－1]∪72，＋∞
15. 解析：(1) 因为DE ⊥平面ABCD ，
所以DE ⊥AC. (2分)
因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD.(4分)
因为DE ∩BD ＝D ，(5分) 所以AC ⊥平面BDE.(6分)
(2) 设AC ∩BD ＝O ，取BE 的中点G ，连结FG ，OG ，所以OG ∥12DE 且OG ＝1
2
DE.(8分)
因为AF ∥DE ，DE ＝2AF ，
所以AF ∥OG 且AF ＝OG ，
从而四边形AFGO 是平行四边形，FG ∥AO. (10分) 因为FG ?平面BEF ，AO ?平面BEF ，
所以AO ∥平面BEF ，即AC ∥平面BEF. (14分)
16. 解析：(1) 因为cos A ＝3
4
，
所以cos C ＝cos 2A ＝2cos 2
A －1＝2×342
－1＝1
8
. (3分) 在△ABC 中，因为cos A ＝34，所以sin A ＝7
4.(4分)
因为cos C ＝1
8
，所以sin C ＝
1－182
＝378，(5分)
所以cos B ＝－cos (A ＋B)＝sin A sin B －cos A cos B ＝9 16. (7分)
(2) 根据正弦定理a sin A ＝c
sin C
，
所以a c ＝2
3.又ac ＝24，所以a ＝4，c ＝6.(10分)
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ＝25，b ＝5.
所以△ABC 的周长为15. (14分)
17. 解析：(1) 由题意，∠CAP ＝π
3－θ，所以CP ︵＝π3－θ，
又PQ ＝AB －AP cos θ＝1－cos θ，
所以观光专线的总长度f (θ)＝
π3－θ＋1－cos θ＝－θ－cos θ＋π3＋1，0<θ<π
3
.(3分) 因为当0<θ<π
3时，f ′(θ)＝－1＋sin θ<0，(5分)
所以f(θ)在?
0，π
3上单调递减，
即观光专线CP ︵
PQ 的总长度随θ的增大而减小．(6分) (2) 设翻新道路的单位成本为a(a>0)，
则总成本g(θ)＝a π3－θ＋2－2cos θ＝a －θ－2cos θ＋π
3＋2，0<θ<π3，(8分)
g ′(θ)＝a(－1＋2sin θ)．(9分) 令g′(θ)＝0，得sin θ＝1
2.
因为0<θ<π3，所以θ＝π
6.(10分)
当0<θ<π
6时，g ′(θ)<0，
当π6<θ<π
3时，g ′(θ)>0，(12分) 所以当θ＝π
6
时，g (θ)最小．(13分)
故当θ＝π
6时，观光专线CP ︵PQ 的修建总成本最低. (14分)
18. 解析：(1) 因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为2
2，
所以a 2＝2c 2，b ＝c ，(1分) 所以直线DB 的方程为y ＝－2 2
x ＋b ，又O 到直线BD 的距离为63
，所以
b 1＋1
2
＝63
，所以b ＝1，a ＝2，(3分)
所以椭圆E 的方程为x 22
＋y 2
＝1.(4分)
(2) 设P(2，t)，t>0，
直线PA 的方程为y ＝t
22
(x ＋2)，(5分)
由x 22
＋y 2
＝1，y ＝
t
22（x ＋
2），
整理得(4＋t 2)x 2＋22t 2x ＋2t 2－8＝0，
解得x C ＝42－2t 24＋t 2，则点C 的坐标是? ????42－2t
2
4＋t
2
，4t 4＋t 2，(7分) 因为三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，所以三角形AOC 的面积等于三角形
BPC 的面积，
S △AOC ＝12×2×4t 4＋t 2＝22t
4＋t 2
，S △PBC ＝12×t ×? ????2－42－2t 24＋t 2＝2t 34＋t 2，则2t 34＋t 2＝22t 4＋t 2
，解得t ＝ 2.(9分) 所以直线PA 的方程为x －2y ＋2＝0. (10分)
(3) 因为B(2，0)，P(2，t)，C(42－2t 24＋t 2
，4t
4＋t 2)，所以BP 的垂直平分线为y ＝t
2，
BC 的垂直平分线为y ＝
2t 2x －2t t 2＋4
，所以过B ，C ，P 三点的圆的圆心为(t 2＋82（t 2
＋4），t
2
)，(12分) 则过B ，C ，P 三点的圆方程为? ????x －t 2
＋82（t 2＋4）2＋
y －t 22
＝t 42（t 2＋4）2＋t 24，(14分) 即所求圆方程为x 2
－2t 2＋82t 2＋4x ＋y 2－ty ＋8
t 2＋4
＝0.(16分)
19. 解析：(1) 因为1－1a 11－1a 2…1－1a n ＝1
a n ，n ∈N *，所以当n ＝1时，1－1a 1＝1
a 1，a 1＝2，(1分)
当n ≥2时，
由1－1a 11－1a 2…1－1a n ＝1a n 和1－1a 11－1a 2…1－1a n －1＝1
a n －1，
两式相除可得1－1a n ＝a n －1
a n
，
即a n －a n －1＝1(n ≥2)，
所以数列{a n }是首项为2，公差为1的等差数列. 于是，a n ＝n ＋1. (4分)
(2) 因为a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，
所以?
a p ＋S q ＝60，a p S q ＝182
，于是a p ＝6，S q ＝54或?
a p ＝54，S q ＝6.(7分) 当a p ＝6，S q ＝54时，?
p ＋1＝6，
（q ＋3）q 2＝54，解得p ＝5，q ＝9，当a p ＝54，S q ＝6时，p ＋1＝54，（q ＋3）q 2＝6，无正整数解，所以p ＝5，q ＝9.(10分)
(3) 假设存在满足条件的正整数k ，使得a k a k ＋1＋16＝a m (m ∈N *)，则（k ＋1）（k ＋2）＋16＝m ＋1，
平方并化简得(2m ＋2)2－(2k ＋3)2＝63，(11分) 则(2m ＋2k ＋5)(2m －2k －1)＝63，(12分)
所以2m ＋2k ＋5＝63，2m －2k －1＝1或2m ＋2k ＋5＝21，2m －2k －1＝3 或?
2m ＋2k ＋5＝9，2m －2k －1＝7，(4分) 解得m ＝15，k ＝14或m ＝5，k ＝3或m ＝3，k ＝－1(舍去)，综上所述，k ＝3或14. (16分)
20. 解析：(1) 设切点为(x 0，y 0)，f ′(x)＝e x (3x ＋1)，则切线斜率为e x 0(3x 0＋1)，所以切线方程为y －y 0＝e x 0(3x 0＋1)(x －x 0)，因为切线过(2，0)，所以－e x 0(3x 0－2)＝e x 0(3x 0＋1)(2－x 0)，化闻得3x 20－8x 0＝0，解得x 0＝0或x 0＝8
3
. (3分)
当x 0＝0时，切线方程为y ＝x －2，(4分)
当x 0＝83
时，切线方程为y ＝9e 83x －18e 8
3
. (5分)
(2) 由题意，对任意x ∈R 有e x (3x －2)≥a (x －2)恒成立，
①当x ∈(－∞，2)时，a ≥e x （3x －2）x －2?a ≥e x （3x －2）x －2max
，
令F (x )＝e x （3x －2）x －2，则F ′(x )＝e x （3x 2－8x ）
（x －2）2，令F ′(x )＝0得x ＝0，
F (x )max ＝F (0)＝1，故此时a ≥1.(7分)
②当x ＝2时，恒成立，故此时a ∈R.(8分)
③当x ∈(2，＋∞)时，a ≤e x （3x －2）x －2?a ≤e x
（3x －2）x －2min ，
令F ′(x )＝0?x ＝83，
F (x )min ＝F 83＝9e 8
3，故此时a ≤9e 8
3
. 综上1≤a ≤9e 83
.(10分) (3) 因为f (x )
由(2)知a ∈(－∞，1)∪(
)
9e 8
，＋∞，令F (x )＝e x （3x －2）
x －2，则
(12分)
当x ∈(－∞，2)，存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<="">
x －2
存在唯一的整数x 0成立，
因为F (0)＝1最大，F (－1)＝53e ，F (1)＝－1e ，所以当a <5 3e 时，至少有两个整数成立，
所以a ∈53e ，1. (14分)
当x ∈(2，＋∞)，存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<="" bdsfid="260" p="">
等价于a >e x （3x －2）
x －2
存在唯一的整数x 0成立，
因为F 83＝9e 8
3
；最小，且F (3)＝7e 3，F (4)＝5e 4，所以当a >5e 4时，至少有两个整数成立，
所以当a ≤7e 3时，没有整数成立，所有a ∈(7e 3，5e 4].
综上：a ∈
5
3e ，1∪(7e 3，5e 4]. (16分) 21. 解析：由矩阵A 属于特征值λ1的一个特征向量为a 1＝
1－2可得，
34a b 1－2＝λ1
1－2，即3－8＝λ1，a －2b ＝－2λ1，
(2分) 得a ＝2b ＝10，
由矩阵A 属于特征值λ2的一个特征向量为a 2＝
2－3，可得??
34a b 2－3＝λ2
2－3，
即?
6－12＝2λ2，
2a －3b ＝－3λ2，(6分) 得2a －3b ＝9，
解得?
a ＝－12，
b ＝－11，即A ＝??
34
－12－11，(10分) 22. 解析：由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，
所以x 2＋y 2＝4x ，
即圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4，(3分)
又由x ＝12
t ，y ＝3
2t ＋m ，
消去t ，得
3x －y ＋m ＝0，(6分)
由直线l 与圆C 相交，
所以|m －2|2
<2，即－2<m<6.(10分)< bdsfid="299" p=""></m<6.(10分)<>
23. 解析：(1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A ，则A 为该公司在星期四最多有一辆汽车出车．
P(A)＝142
122
＋C 123414122
＋C 121212142
＝964. ∴ P(A)＝1－P(A)＝55
64
.(3分)
答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为55
64.
(2) 由题意，ζ的可能值为0，1，2，3，4，P (ζ＝0)＝122
142
＝1
64；
P (ζ＝1)＝C 12
1212142＋C 1234·14122
＝18
；P (ζ＝2)＝122
142
＋342
122
＋C 12122
C 12
3414＝132；P (ζ＝3)＝122
C 123414＋342
C 12122
＝3
8；P (ζ＝4)＝342
122＝964.(8分)
E (ζ)＝18＋2×1132＋3×38＋4×964＝52.
答：ζ的数学期望为5
2
.(10分)
24. 解析：(1)因为PE ⊥底面ABCD ，过点E 作ES ∥BC ，则ES ⊥AB ，以E 为坐标原点，EB 方向为x 轴的正半轴，
ES 方向为y 轴的正半轴，EP 方向为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，
则E(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A(－1，0，0)，D(－1，2，0)，P(0，0，3)，CD →＝(－2，1，0)，PC →
＝(1，1，－3)．(2分) 设平面PCD 的一个法向量为n(x ，y ，z )，则n·CD →＝－2x ＋y ＝0，
n·PC →＝x ＋y －3z ＝0，解得n ＝(1，2，3)，因为平面ABCD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，(3分)
所以cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝31＋4＋3＝6
4，(4分)
所以sin 〈n ，m 〉＝
10
4
.(5分) (2) 设点M 的坐标为(x 1，y 1，z 1)．因为EM ⊥平面PCD ，
所以EM →
∥n ，即x 11＝y 12＝z 13，
即y 1＝2x 1，z 1＝3x 1，(6分)
因为PM →＝(x 1，y 1，z 1－3)，PD →＝(－1，2，－3)，PC →
＝(1，1，－3)，所以PM →＝λPC →＋μPD →
＝(λ－μ，λ＋2μ，－3λ－3μ)，所以x 1＝λ－μ，y 1＝λ＋2μ＝2x 1＝2(λ－μ)，即λ＝3μ，(8分)
z 1－3＝－3λ－3μ，λ＝12，所以μ＝1
6
，(9分)
1 3，5
6，
3
3
.(10分)
所以点M的坐标为。