高三物理一轮总复习 专题14.3 单摆名师伴学

专题14.3 单摆
课前预习●自我检测
1.(多选)单摆是为了研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是()
A.摆线质量不计
B.摆线长度不伸缩
C.摆球的直径比摆线长度小得多
D.实际生活中的“秋千”就是单摆
【答案】ABC
【解析】一根不可伸长的且没有质量的细线悬挂一大小不计的小球组成的装置,我们称作单摆,它是一个理想化模型,所谓理想化是指细线不伸缩且无质量,小球的大小不计可视为质点,故选项A、B、C正确,D错误。

2.下列有关单摆运动过程中的受力说法,正确的是 ()
A.单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力
C.单摆经过平衡位置时合力为零
D.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力
【答案】B
3.(多选)下列情况下会使单摆的周期变大的是()
A.将摆的振幅减为原来的一半
B.将摆从高山上移到平地上
C.将摆从北极移到赤道
D.用一个装满沙子的漏斗(漏斗质量很小)和一根较长的细线做成一个单摆,摆动中沙慢慢从漏斗中漏出
【答案】CD
【解析】将摆从北极移到赤道,g变小,由T=2π知T变大;漏斗漏沙后摆长变长,故T变大。

4.某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验中,先测得摆线长101.00 cm,摆球直径为2.00 cm,然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为101.5 s。

则:
(1)他测得的重力加速度g= m/s2。

(2)他测得的g值偏小,可能的原因是。

A.测摆线长时摆线拉得过紧
B.摆线上端未牢固地系于悬点,振动中出现松动,使摆线长度增加了
C.开始计时时,秒表过迟按下
D.实验中误将49次全振动次数记为50次
【答案】(1)9.76(2)B
5.在一个单摆装置中,摆动物体是个装满水的空心小球,球的正下方有一小孔,当摆开始以小角度摆动时,让水从球中连续流出,直到流完为止,则此单摆的周期将()
A.逐渐增大
B.逐渐减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
【答案】C
【解析】单摆小角度摆动,做简谐运动的周期为T=2π,式中l为摆长,其值为悬点到摆动物体重心之间的距离,当小球装满水时,重心在球心,水流完后,重心也在球心,但水刚流出过程中重心要降低,因此,在水整个流出过程中,重心位置先下降后上升,即摆长l先增大后减小,所以摆动周期将先增大后减小。

6．单摆在振动过程中，摆动幅度越来越小，这是因为( )
A．单摆做的是阻尼振动
B．能量正在逐渐消灭
C．动能正在转化为势能
D．机械能不守恒
E．总能量守恒，减少的机械能转化为内能
【答案】ADE
7．下列振动，不属于受迫振动的是( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动
B．打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动
D．弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
E．共振筛的振动
【答案】ACD
【解析】受迫振动是指在周期性驱动力作用下的振动，故A、C、D都是自由振动，B、E是受迫振动．
8.如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是( )
A．甲的振幅较大
B．甲的振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大
D．乙的振动频率为9 Hz
E．甲、乙两振子的振幅、频率均相等
【答案】ABD
【解析】根据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，又因为做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，所以选项A、B、D正确．
9.研究单摆受迫振动规律时得到如图所示的图象，则下列说法正确的是( )
A．其纵坐标为位移
B．其纵坐标为振幅
C．单摆的固有周期为2 s
D．图象的峰值表示共振时的振幅
E．单摆的摆长为2 m
【答案】BCD
课堂讲练●典例分析
要点提炼
一、单摆及单摆的回复力
1．单摆模型
如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫做单摆．单摆是实际摆的理想化的物理模型．
2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿切线方向的分力．
(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置．
(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律．
3．运动特点
(1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力．.
(2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力．
4．摆球的受力 (1)任意位置
如图所示，G 2＝G cos θ，F －G 2的作用就是提供摆球绕O ′做变速圆周运动的向心力；G 1
＝G sin θ的作用提供摆球以O 为中心做往复运动的回复力．
(2)平衡位置
摆球经过平衡位置时，G 2＝G ，G 1＝0，此时F 应大于G ，F －G 提供向心力，因此，在平衡位置，回复力F 回＝0，与G 1＝0相符．
(3)单摆的简谐运动
在θ很小时(理论值为＜5°)，sin θ≈tan θ＝x l
，
G 1＝G sin θ＝mg
l
x ，
G 1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力 F 回＝G 1＝－mg l x ＝－kx (k ＝mg
l
)．
因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动． 二、单摆的周期 1．影响单摆周期的因素
(1)单摆的周期与摆球质量、振幅无关．
(2)单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大． 2．周期公式 (1)公式：T ＝2π
l
g
. (2)单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关的性质． 3．摆长l 的确定
实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l ＝l 0＋D
2
，
l 0为摆线长，D 为摆球直径．
4．重力加速度g 的变化
(1)公式中的g 由单摆所在地空间位置决定
由G M
R
2＝g 知，g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g ′代入公式，即g 不一定等于9.8 m/s 2
.
(2)g 还由单摆系统的运动状态决定
如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a ，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g ′＝g ＋a .
(3)g 还由单摆所处的物理环境决定
如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有g ′的问题．
三、用单摆测重力加速度 1．实验目的
利用单摆测定当地的重力加速度，巩固和加深对单摆周期公式的理解． 2．实验原理
单摆在偏角很小(小于5°)时，可看成简谐运动，其周期T ＝2πl g ，可得g ＝4π2
l T 2.据此，通过实验测出摆长l 和周期T ，即可计算得到当地的重力加速度．
3．实验器材
铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(长1 m 左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺．
4．实验步骤
(1)让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆． (2)将小铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．
(3)用刻度尺量出悬线长l ′，用游标卡尺测出摆球直径d ，然后计算出悬点到球心的距离l ＝l ′＋d
2
即为摆长．
(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角小于5°，再释放小球．当摆球摆动稳定以后，在最低点位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，然后求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期．
(5)改变摆长，重做几次．
(6)根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度；求出几次实验得到的重力加速
度的平均值，即是本地区的重力加速度的值．
(7)将测得的重力加速度数值与当地重力加速度数值加以比较，如有误差，分析产生误差的原因．
5．数据处理
(1)公式法：根据公式g ＝4π2n 2
l
t
2
，将每次实验的l 、n 、t 数值代入，计算重力加速度g ，然后取平均值．
(2)图象法：作出T 2
­l 图象，由T 2
＝4π2
l g
可知T 2­l 图线是一条过原点的直线，其斜率k
＝
4π
2
g
，求出k ，可得g ＝4π2
k
.
6．注意事项
(1)摆线要选1 m 左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数． (2)摆长要悬挂好摆球后再测，不要先测摆长再系小球，因为悬挂摆球后细绳会发生形变． (3)计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当做摆长．
(4)摆球要选体积小、密度大的，不要选体积大、密度小的，这样可以减小空气阻力的影响．
(5)摆角要小于5°(具体实验时可以小于15°)，不要过大，因为摆角过大，单摆的振动不再是简谐运动，公式T ＝2π
l
g
就不再适用． (6)单摆要在竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆． (7)要从平衡位置计时，不要从摆球到达最高点时开始计时． (8)要准确记好摆动次数，不要多记或少记． 7．误差分析
(1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；球、线是否符合要求；振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等等．
(2)本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶数误差，进行多次测量后取平均值．
(3)本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米)；在时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可．
四、受迫振动、共振
1．受迫振动
(1)驱动力：作用于振动系统的周期性的外力．
(2)受迫振动：振动系统在驱动力作用下的振动．
(3)受迫振动的频率：做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率没有关系．
2.共振
(1)定义：驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大的现象．
(2)条件：驱动力频率等于系统的固有频率．
(3)特征：共振时受迫振动的振幅最大．
(4)共振曲线：如图所示．表示受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系图象，图中f0为振动物体的固有频率．
题型分析
一、对单摆及回复力的理解
【典例1】关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )
A．摆球受重力、摆线的张力作用
B．摆球的回复力最大时，向心力为零
C．摆球的回复力为零时，向心力最大
D．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大
E．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
【答案】ABC
【典例2】下列关于单摆的说法，正确的是( )
A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移
处运动到平衡位置时的位移为零
B ．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力
C ．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D ．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
E ．摆球在最高点时的回复力等于小球受的合力 【答案】 ACE
【反思总结】 对于单摆的两点说明
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置．实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡．
（2）回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F ＝mg sin θ提供的，不可误认为回复力是重力G 与摆线拉力T 的合力．
二、对单摆周期性的理解
【典例3】如图所示是一个单摆(θ＜5°)，其周期为T ，则下列说法正确的是( )
A ．把摆球的质量增加一倍，其周期不变
B ．摆球的振幅变小时，周期也变小
C ．此摆由O →B 运动的时间为T
4
D ．摆球由B →O 时，动能向势能转化
E ．摆球由O →C 时，动能向势能转化 【答案】 ACE
【解析】 单摆的周期与摆球的质量无关，A 正确；单摆的周期与振幅无关，B 错误；此
摆由O →B 运动的时间为T
4，C 正确；摆球B →O 时，势能转化为动能，O →C 时动能转化势能，
D 错误，
E 正确．
【典例4】如图所示，三根细线在O 点处打结，A 、B 端固定在同一水平面上相距为l 的两点上，使∠AOB ＝90°，∠BAO ＝30°，已知OC 线长是l ，下端C 点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动)．
让小球在纸面内振动，周期T ＝________.让小球在垂直纸面内振动，周期T ＝
________.
【答案】 2π
l
g
2π3
4
＋l
g
【反思总结】 确定单摆周期的方法
(1)明确单摆的运动过程，判断是否符合简谐运动的条件． (2)运用T ＝2πl
g
时，注意l 和g 是否发生变化，若发生变化，则分别求出不同l 和g 时的运动时间．
(3)单摆振动周期改变的途径： ①改变单摆的摆长；
②改变单摆的重力加速度(改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重)． (4)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系． 三 、用单摆测重力加速度的理解
【典例5】在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出如下建议，其中对提高测量结果精确度有利的是( )
A ．适当加长摆线
B ．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
C ．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D ．当单摆经过最高位置开始计时
E ．当单摆经过平衡位置时开始计时，且测量30～50次全振动的时间 【答案】 ACE
【典例6】(1)在用单摆测定重力加速度的实验中，应选用的器材为________． A ．1 m 长的细线 B ．1 m 长的粗线 C ．10 cm 长的细线 D ．泡沫塑料小球 E ．小铁球 F ．秒表 G ．时钟 H ．厘米刻度尺 I ．毫米刻度尺 J ．游标卡尺
(2)在该实验中，单摆的摆角φ应________，从摆球经过________开始计时，测出n 次全振动的时间为t ，用毫米刻度尺测出摆线长为L ，用游标卡尺测出摆球的直径为d .用上述物理量的符号写出测出的重力加速度的一般表达式为g ＝________.
【答案】 (1)AEFIJ (2)小于5° 平衡位置 4π2
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
L ＋d 2n
2
t
2
【解析】 (1)做摆长的细线要用不易伸长的细线，一般不应短于1米，选A ；小球应是密度较大，直径较小的金属球，选E ；计时仪器宜选用秒表F ；测摆长应选用毫米刻度尺I ，用游标卡尺测摆球的直径．
(2)根据单摆做简谐运动的条件知φ＜5°；因平衡位置易判断，且经平衡位置时速度大，用时少，误差小，所以从平衡位置开始计时．
根据T ＝2π
l g ，又T ＝t n ，l ＝L ＋d
2 得g ＝4π2
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
L ＋d 2n 2
t
2
. 【典例7】如图所示为受迫振动的演示装置，当单摆A 振动起来后，通过水平悬绳迫使单摆B 、C 振动，则下列说法正确的是( )
A．只有A、C摆振动周期相等
B．A摆的振幅比B摆的小
C．B摆的振幅比C摆的小
D．A、B、C三摆的振动周期相等
E．B、C两摆振动时的振幅与其摆长有关，而周期与摆长无关．
【答案】CDE
【典例8】如图所示为两个单摆受迫振动的共振曲线．两个单摆的固有周期之比为TⅠ∶T
Ⅱ＝________.若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则图线________是月球上的单摆的共振曲线.
【答案】5∶2 Ⅰ
【解析】由共振曲线及共振的条件可知，Ⅰ和Ⅱ的固有频率分别为0.2 Hz和0.5 Hz，
周期之比TⅠ∶TⅡ＝5∶2.当摆长相等时，重力加速度越大，频率越大，月球表面重力加速度小
于地球表面重力加速度，故图线Ⅰ是月球上的单摆的共振曲线．
【总结反思】
1．自由振动、受迫振动及共振的比较
2．共振曲线的理解和应用 (1)两坐标轴的意义：
纵轴：受迫振动的振幅，如图所示．横轴：驱动力频率．
(2)f 0的意义：表示固有频率．
(3)认识曲线形状：f ＝f 0，共振；f ＞f 0或f ＜f 0，振幅较小；f 与f 0相差越大，振幅越小． (4)结论：驱动力的频率f 越接近振动系统的固有频率f 0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小．
3．分析受迫振动的方法
(1)在分析受迫振动时，首先要弄清驱动力的来源．
(2)受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关，因而首先应确定驱动力的频率．
(3)当驱动力的频率等于固有频率时，发生共振． 2．改变受迫振动的振幅的方法
当f 驱＝f 固时，振幅最大．若改变受迫振动的振幅，可采取两种方法： (1)改变给予振动系统周期性外力的周期，即改变驱动力频率． (2)了解影响固有频率的因素，改变固有频率．
课后巩固 ● 课时作业
1.一个单摆做小角度摆动，其振动图象如图所示，以下说法正确的是( )
A．t1时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球速度最大，但加速度不为零
C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
E．t4时刻摆球所受合力为零
【答案】ABD
2．在月球上周期相等的弹簧振子和单摆，把它们放到地球上后，弹簧振子的周期为T1，单摆的周期为T2，则T1和T2的关系为________．
【答案】T1＞T2
【解析】弹簧振子的周期与重力加速度无关，故其周期不变；单摆的周期为T＝2πL g ，
由于g的增大，故单摆的周期减小，故有T1＞T2.
3.如图所示,升降机中有一单摆,当升降机静止时,单摆的周期为T1,当升降机以加速度a 向上匀加速运动时,单摆的周期为T2,则()
A.T1=T2
B.T2=T1
C.T1=2π
D.T2=2π
【答案】B
【解析】处于加速上升的升降机中的单摆的周期T2=2π,升降机静止时的周期T1=2π,T2=T1,故B选项正确。

4．如图所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅A与驱动力的频率f的关系，
下列说法不正确的是( )
A．摆长约为10 cm
B．摆长约为1 m
C．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动
D．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动
E．若减小摆长，共振曲线的“峰”将向左移动
【答案】ACE
5.有一根张紧的水平绳上挂有5个双线摆，其中b摆摆球质量最大，另4个摆球质量相等，摆长关系为L c＞L b＝L d＞L a＞L e，如图所示，现将b摆垂直纸面向里拉开一微小角度，放手后让其振动，经过一段时间，其余各摆均振动起来，达到稳定时( )
A．周期关系为T c＝T d＝T a＝T e
B．频率关系为f c＝f d＝f a＝f e
C．振幅关系为A c＝A d＝A a＝A e
D．四个摆中，d的振幅最大，且A e＜A a
E．四个摆中c摆的振幅最大
【答案】ABD
【解析】 b 摆的振动，作为一种驱动力迫使其他四个摆做受迫振动，受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而和自身的固有周期(固有频率)无关，A 、B 正确．四个摆做受迫振动的振幅与驱动力的频率跟自身的固有频率之差有关，这个差越小，做受迫振动的振幅越大．在a ，c ，d ，e 四个摆中，d 的摆长跟b 的摆长相等．因此d 的固有频率和驱动力的频率相等，d 摆做受迫振动的振幅最大．同理e 摆做受迫振动的振幅最小，D 正确．
6．某简谐振子，自由振动时的振动图象如图甲中的曲线Ⅰ所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图象如图甲中的曲线Ⅱ所示，那么，关于此受迫振动对应的状态下列说法正确的是( )
甲 乙
A ．可能是图乙中的a 点
B ．可能是图乙中的b 点
C ．可能是图乙中的c 点
D ．一定不是图乙中的c 点
E ．一定不是图乙中的b 点 【答案】 ADE
【解析】 振子的固有周期与驱动力周期的关系是T 驱＝3
2T 固，所以受迫振动的状态一定
不是图乙中的b 点和c 点，可能是a 点，故A 、D 、E 正确．
7、如图所示,物体静止于水平面上的O 点,这时弹簧恰为原长l 0,物体的质量为m ,与水平面间的动摩擦因数为μ,现将物体向右拉一段距离后自由释放,使之沿水平面振动,下列结论正确的是
( )
A.物体通过O 点时所受的合外力为零
B.物体将做阻尼振动
C.物体最终只能停止在O 点
D .物体停止运动后所受的摩擦力为μmg 【答案】B
8.(多选)将一个电动传感器接到计算机上,就可以测量快速变化的力,用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。

某同学由此图象提供的信息作出的下列判断中,正确的是( )
A.t=0.2 s 时摆球正经过最低点
B.t=1.1 s 时摆球正经过最低点
C.摆球摆动过程中机械能减小
D.摆球摆动的周期是T=1.4 s 【答案】AC
【解析】悬线拉力在摆球经过最低点时最大,t=0.2 s 时,F 有正向最大值,故A 选项正确;t=1.1 s 时,F 取最小值,不在最低点,周期应为T=1.2 s,因振幅减小,故机械能减小,C 选项正确。

9.在“利用单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g ＝4π2
l
T
2.
只要测出多组单摆的摆长l 和运动周期T ，作出T 2
­l 图象，就可以求出当地的重力加速度．理论上T 2
­l 图象是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图象如图所示．
(1)造成图象不过坐标原点的原因可能是________．
(2)由图象求出的重力加速度g ＝________ m/s 2
.(π2
取9.87) 【答案】 (1)测摆长时漏掉了摆球半径 (2)9.87
10．图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设摆球向右方向运动为正方向．图乙是这个单摆的振动图象．根据图象回答：
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时刻摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个摆的摆长是多少．
【答案】(1)1.25 Hz (2)B点(3)0.16 m
11.下图为演示沙摆振动图象的实验装置和实验结果。

沙摆的摆动可看作简谐运动。

若手拉木板的速率为0.2 m/s,由刻度尺上读出图线的尺寸,计算这个沙摆的摆长。

(图中单位为cm)
【答案】0.56 m
【解析】由题图可知沙摆摆动周期即为木板移动30 cm所需的时间,即T= s=1.5 s,由T=2π,得l≈0.56 m。