台安县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

台安县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1．
某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ）
A ．80＋20π
B ．40＋20π
C ．60＋10π
D ．80＋10π
2． 若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f ′（x ）＞0的解集为（ ）
A ．（0，+∞）
B ．（﹣1，0）∪（2，+∞）
C ．（2，+∞）
D ．（﹣1，0）
3． 下列4个命题：
①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”；②若“¬p 或q ”是假命题，则“p 且¬q ”是真命题；
③若p ：x （x ﹣2）≤0，q ：log 2x ≤1，则p 是q 的充要条件；
④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2；其中正确命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4． 如果向量满足
，且，则
的夹角大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．75°
D ．135°
5． 已知为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点．若线段的中点的纵坐标为，
M N 、2
4y x =F MN 2，则直线的方程为（ ）
||||10MF NF +=MN A ． B ． 240x y +-=240x y --= C ．
D ．20
x y +-=20
x y --=6． “”是“圆关于直线成轴对称图形”的（ ）
3<-b a 05622
2
=++-+a y x y x b x y 2+=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考
查，属于中等难度．
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
7． 设直线y=t 与曲线C ：y=x （x ﹣3）2的三个交点分别为A （a ，t ），B （b ，t ），C （c ，t ），且a ＜b ＜c ．现给出如下结论：
①abc 的取值范围是（0，4）；②a 2+b 2+c 2为定值；③c ﹣a 有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（ ）A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8． 已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（
）
A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1
B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1
C ．存在x 0＞0，使2
≥1D ．存在x 0≤0，使2
＜19． 下列各组函数中，表示同一函数的是（
）
A 、x 与
B 、 与
()f x =()f x =2x x
()1f x x =-()f x =
C 、与
D 、与()f x x =()f x =()f x x =2
()f x =10．已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（
）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
11．已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得e 1[,1]x e
∈[1,1]y ∈-2ln 1y
x x a y e -++=成立，则实数的取值范围是（ ）
a A.
B.
C.
D.1[,]e e
2(,]e e
2(,)e +∞21(,e e e
+【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．12．定义运算：,,a a b
a b b a b
≤⎧*=⎨>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A ．⎡
⎢⎣ B ．[]1,1- C ．⎤⎥⎦
D ．⎡-⎢⎣二、填空题
13．椭圆+
=1上的点到直线l ：x ﹣2y ﹣12=0的最大距离为 ．
14．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点An （n ，f （n ））（n ∈N +），向量=（0，1），θn 是向量
与i 的夹角，则
+
+…+
= ．
15．已知（1+x+x 2）（x ）n （n ∈N +）的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n= ．
16．命题“(0,)2
x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．
17．已知，，则的值为
．
1
sin cos 3αα+=
(0,
)απ∈sin cos 7sin 12
ααπ-18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=与直线x=1及x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥=
π（）2dx=
x 3|=
．
据此类推：将曲线y=x 2与直线y=4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=x 3+ax+2．
（Ⅰ）求证：曲线=f （x ）在点（1，f （1））处的切线在y 轴上的截距为定值；（Ⅱ）若x ≥0时，不等式xe x +m[f ′（x ）﹣a]≥m 2x 恒成立，求实数m 的取值范围．　
20．已知椭圆Γ：（a ＞b ＞0）过点A （0，2），离心率为，过点A 的直线l 与椭圆交于另一点M
．
（I ）求椭圆Γ的方程；
（II ）是否存在直线l ，使得以AM 为直径的圆C ，经过椭圆Γ的右焦点F 且与直线 x ﹣2y ﹣2=0相切？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．
（1）写出圆C 的直角坐标方程；
（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
22．（本小题满分12分）
已知平面向量，，.
(1,)a x =r (23,)b x x =+-r
()x R ∈（1）若，求；
//a b r r ||a b -r r
（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.
23．在平面直角坐标系xOy 中，经过点且斜率为k 的直线l 与椭圆有两个不同的交点P
和Q ．
（Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量与共线？
如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
24．设锐角三角形的内角所对的边分别为．ABC ,,A B C ,,a b c 2sin a b A =（1）求角的大小；
B
（2）若，，求．
a =5c =
台安县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】
【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．依题意得（2r ×2r ＋πr 2）×2＋5×2r ×2＋5×2r ＋πr ×5＝92＋14π，
12 即（8＋π）r 2＋（30＋5π）r －（92＋14π）＝0，即（r －2）[（8＋π）r ＋46＋7π]＝0，∴r ＝2，
∴该几何体的体积为（4×4＋π×22）×5＝80＋10π.
12
2． 【答案】C
【解析】解：由题，f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=2x ﹣2﹣，
令2x ﹣2﹣
＞0，整理得x 2﹣x ﹣2＞0，解得x ＞2或x ＜﹣1，
结合函数的定义域知，f ′（x ）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C ．　
3． 【答案】C
【解析】解：①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”，①正确；
②若“¬p 或q ”是假命题，则¬p 、q 均为假命题，∴p 、¬q 均为真命题，“p 且¬q ”是真命题，②正确；③由p ：x （x ﹣2）≤0，得0≤x ≤2，
由q ：log 2x ≤1，得0＜x ≤2，则p 是q 的必要不充分条件，③错误；
④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2，④正确．∴正确的命题有3个．故选：C ．　
4． 【答案】B 【解析】解：由题意故
，即
故两向量夹角的余弦值为=
故两向量夹角的取值范围是45°故选B
【点评】本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并进而求出两向量的夹角．属于基础公式应用题．　
5． 【答案】D
【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．
设，那么，，∴线段的中点坐标为
1122(,)(,)M x y N x y 、12||||210MF NF x x +=++=128x x +=MN .由，两式相减得，而
，∴，∴
(4,2)2114y x =2
224y x =121212()()4()y y y y x x +-=-12
22
y y +=12121y y x x -=-直线的方程为，即，选D ．MN 24y x -=-20x y --=6． 【答案】A
【解析】
7． 【答案】C
【解析】解：令f （x ）=x （x ﹣3）2=x 3﹣6x 2+9x ，f ′（x ）=3x 2﹣12x+9，令f ′（x ）=0得x=1或x=3．当x ＜1或x ＞3时，f ′（x ）＞0，当1＜x ＜3时，f ′（x ）＜0．
∴f （x ）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x=1时，f （x ）取得极大值f （1）=4，当x=3时，f （x ）取得极小值f （3）=0．作出函数f （x ）的图象如图所示：
∵直线y=t 与曲线C ：y=x （x ﹣3）2有三个交点，∴0＜t ＜4．
令g （x ）=x （x ﹣3）2﹣t=x 3﹣6x 2+9x ﹣t ，则a ，b ，c 是g （x ）的三个实根．∴abc=t ，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，
∴a 2+b 2+c 2=（a+b+c ）2﹣2（ab+bc+ac ）=18．
由函数图象可知f （x ）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c ﹣a 的值先增大后减小，故c ﹣a 存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C ．
【点评】本题考查了导数与函数的单调性，函数的图象，三次方程根与系数的关系，属于中档题．
8．【答案】A
【解析】解：∵命题p：存在x0＞0，使2＜1为特称命题，
∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2x≥1．
故选：A
9．【答案】C
【解析】
试题分析：如果两个函数为同一函数，必须满足以下两点：①定义域相同，②对应法则相同。

选项A中两个函数定义域不同，选项B中两个函数对应法则不同，选项D中两个函数定义域不同。

故选C。

考点：同一函数的判定。

10．【答案】B
【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C；
∴A⊆B∩C={0，2}
∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素，
故最多有4个子集．
故选：B．
11．【答案】B
【解析】
12．【答案】D
【解析】
考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
二、填空题
13．【答案】　4　．
【解析】解：由题意，设P（4cosθ，2sinθ）
则P到直线的距离为d==，
当sin（θ﹣）=1时，d取得最大值为4，
故答案为：4．
14．【答案】 ．
【解析】解：点An（n，）（n∈N+），向量=（0，1），θn是向量与i的夹角，
=，=，…，=，
∴++…+=+…+=1﹣=，
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【答案】　5　．
【解析】二项式定理．
【专题】计算题．
【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x）n（n∈N+）的展开式中无常数项、x﹣1项、x﹣2项，利用
（x）n（n∈N+）的通项公式讨论即可．
【解答】解：设（x ）n （n ∈N +）的展开式的通项为T r+1，则T r+1=
x n ﹣r x ﹣3r =
x n ﹣4r ，2≤n ≤8，
当n=2时，若r=0，（1+x+x 2）（x ）n （n ∈N +）的展开式中有常数项，故n ≠2；当n=3时，若r=1，（1+x+x 2）（x ）n （n ∈N +）的展开式中有常数项，故n ≠3；当n=4时，若r=1，（1+x+x 2）（x
）n （n ∈N +）的展开式中有常数项，故n ≠4；
当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x 2）（x ）n （n ∈N +）的展开式中均没有常数项，故n=5适合
题意；
当n=6时，若r=1，（1+x+x 2）（x ）n （n ∈N +）的展开式中有常数项，故n ≠6；当n=7时，若r=2，（1+x+x 2）（x ）n （n ∈N +）的展开式中有常数项，故n ≠7；当n=8时，若r=2，（1+x+x 2）（x ）n （n ∈N +）的展开式中有常数项，故n ≠2；
综上所述，n=5时，满足题意．故答案为：5．
【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．16．【答案】()
0,2x π
∃∈，sin 1
≥【解析】
试题分析：“(0,2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是()
0,2
x π∃∈，sin 1
≥考点：命题否定
【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.
17．【解析】
,
7sin
sin sin cos cos sin 12434343πππππππ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
Q =,
sin cos 7sin 12
ααπ-∴==
考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正弦公式.
18．【答案】　8π　．
【解析】解：由题意旋转体的体积V===8π，
故答案为：8π．
【点评】本题给出曲线y=x 2与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy 轴转一周得到旋转体的体积．着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：f （x ）的导数f ′（x ）=x 2+a ，即有f （1）=a+，f ′（1）=1+a ，
则切线方程为y ﹣（a+）=（1+a ）（x ﹣1），令x=0，得y=为定值；
（Ⅱ）解：由xe x +m[f ′（x ）﹣a]≥m 2x 对x ≥0时恒成立，得xe x +mx 2﹣m 2x ≥0对x ≥0时恒成立，即e x +mx ﹣m 2≥0对x ≥0时恒成立，则（e x +mx ﹣m 2）min ≥0，记g （x ）=e x +mx ﹣m 2，g ′（x ）=e x +m ，由x ≥0，e x ≥1，
若m ≥﹣1，g ′（x ）≥0，g （x ）在[0，+∞）上为增函数，∴
，
则有﹣1≤m ≤1，
若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
∴，
∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，
令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1），
φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，
由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意．
综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．
【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得，解得，
所以所求的椭圆方程为；
（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切，
因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，
又=﹣1，所以直线MF的方程为y=x﹣2，
由消去y，得3x2﹣8x=0，解得x=0或x=，
所以M（0，﹣2）或M（，），
（1）当M为（0，﹣2）时，以AM为直径的圆C为：x2+y2=4，
则圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==≠，
所以圆C与直线x﹣2y﹣2=0不相切；
（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（），半径为r==
=，
所以圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==r，
所以圆心C 与直线x ﹣2y ﹣2=0相切，此时k AF =
，所以直线l 的方程为y=﹣+2，即x+2y ﹣4=0，
综上所述，存在满足条件的直线l ，其方程为x+2y ﹣4=0．
【点评】本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．　
21．【答案】
【解析】解：（1）圆C 的极坐标方程为
，可得直角坐标方程为x 2+y 2=2
，即x 2+（y ﹣）
2=3
；
（2）设P （3+，
t ），
∵C （0，），
∴|PC|=
=，
∴t=0时，P 到圆心C 的距离最小，P 的直角坐标是（3，0）．
22．【答案】（1）2或2）．(1,0)(0,3)-U 【解析】
试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；
（2）两向量的夹角为锐角的充要条件是且不共线，由此可得范围．
,a b r r 0a b ⋅>r r ,a b r r
试题解析：（1）由，得或，
//a b r r
0x =2x =-当时，，，
0x =(2,0)a b -=-r r ||2a b -=r r
当时，，.
2x =-(2,4)a b -=-r r ||a b -=r r
（2）与夹角为锐角，，，，
0a b ∙>r r 2
230x x -++>13x -<<又因为时，，
0x =//a b r r
所以的取值范围是.
(1,0)(0,3)-U 考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．
【名师点睛】由向量的数量积可得向量的夹角公式，当为锐角时，，但当cos a b a b θ⋅=r r r r
cos 0θ>cos 0
θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是且不同
0a b
a b
⋅>r r
r r ,a b r r 向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是且不反向．
0a b
a b
⋅<r r
r r ,a b r r 23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为
，
代入椭圆方程得．整理得
①
直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，等价于①的判别式△=，
解得
或
．即k 的取值范围为
．
（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则，
由方程①，． ②又． ③
而．
所以
与
共线等价于
，
将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知
或
，
故没有符合题意的常数k ．
【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．
24．【答案】（1）；（2）．
6
B π
=b =【解析】1111]
（2）根据余弦定理，得
，
2222cos 2725457b a c ac B =+-=+-=
所以.
b =
考点：正弦定理与余弦定理．。