江苏省南京市高淳外国语学校2020-2021学年高三数学理联考试题含解析

江苏省南京市高淳外国语学校2020-2021学年高三数学理联考
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若实数x，y∈R，则“x＞0，y＞0”是“xy＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可．
【解答】解：由x＞0，y＞0，能推出xy＞0，是充分条件，
而xy＞0推不出x＞0，y＞0，不是必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．
2. 在等比数列中，若是方程的两根，则的值是
A． B．
C． D．
参考答案：
C
3. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
参考答案：
B
解答：由题意.故选B.
4. 已知函数满足,且,则不等式的解集为（）A． B． C． D．
参考答案：
B
5. 设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α等于
()
参考答案：
A
略
6. （5分）（2015?万州区模拟）已知等差数列{a n}中，a3+a7﹣a10=0，a11﹣a4=4，记S n=a1+a2+…+a n，则S13=（）
A． 52 B． 56 C． 68 D． 78
参考答案：
【考点】：等差数列的前n项和．
【专题】：等差数列与等比数列．
【分析】：已知两式相加由等差数列的性质可得a7=4，再由求和公式和性质可得S13=13a7，代值计算可得．
解析：∵等差数列{a n}中，a3+a7﹣a10=0，a11﹣a4=4，
∴两式相加可得（a3+a11）+a7﹣（a4+a10）=4，
由等差数列的性质可得a3+a11=a4+a10=2a7，
代入上式可得a7=4，
∴S13==13a7=52，
故选：A
【点评】：本题考查等差数列的求和公式和性质，熟练掌握公式并转化为a7是解决问题的关键，属基础题．
7. 已知点、、为椭圆上三点，其中，且的内切圆圆心在直线
上，则三边斜率和为（）
A、B、C、D、
参考答案：
B
8. 函数的单调递增区是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
9. (文)(2015·江西赣州博雅文化学校月考)运行如图的程序框图，则输出s的结果是( )
参考答案：
B
程序运行过程为：开始→s＝0，n＝2，n<10成立→10. 若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解, 则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 算法流程图如图所示，则输出的
值是
.
参考答案：
5
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数基本知识.
【知识内容】方程与代数/算法初步/程序框图.
【试题分析】执行第一次，，不满足判断条件，继续循环；
，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，满足判断条件，输出k，故答案为5.
12. 函数的图象与的图象所有交点的横坐标之和等
于．
参考答案：
4
试题分析：解：函数与的图象有公共的对称中心，作出两个函数的图象当时，，而函数在上出现1．5个周期的图象，在上是单调增且为正数，函数在上单调减，所以在处取最大值，而函数在上为负数与的图象没有交点，所以两个图象在上有两个交点，根据它们有公共的对称中心，可得在区间上也有两个交点如图，，故横坐标之和为4
考点：函数的零点与方程的根
13. 已知，，，，若
，则的最大值是____________________.
参考答案：
略
14. 命题“”的否定是_________________.
参考答案：
略15. 若对任意的，均有，则a的取值范围是________。

参考答案：
16. 已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，则m+c的值
是．
参考答案：
3
【考点】相交弦所在直线的方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】两圆的公共弦的方程与两圆连心线垂直，求出公共弦的方程，然后求出m，利用中点在连心线上，求出c，即可求出结果．
【解答】解：已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，所以公共弦方程为：y﹣3=﹣1（x﹣1），所以x+y﹣4=0，因为（m，1）在公共弦上，m=3；
中点在连心线上，即（2，2）在连心线上，所以c=0，所以m+c=3；
故答案为：3．
17. 已知，，且，，成等比数列，则的最小值是_______.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=lnx﹣+1．
（I）证明：曲线y=f（x）在x=1处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（II）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣1）x恒成立，求整数a的最小值．
参考答案：
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（I）求出导函数，得出切线方程，化为斜截式可得出定点坐标；
（II）构造函数g（x）=lnx﹣+1﹣（a﹣1）x，把恒成立问题转化为最值问题进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx﹣+1．
∴f'（x）=﹣ax，
∴f'（1）=1﹣a，f（1）=﹣a+1，
∴在x=1处的切线为y﹣（﹣a+1）=（1﹣a）（x﹣1），
∴y=﹣a（x﹣）+x，恒过（，）；
（II）令g（x）=lnx﹣+1﹣（a﹣1）x≤0恒成立，
∵g'（x）=，
（1）当a≤0时，g'（x）＞0，g（x）递增，
g（1）=﹣a+2＞0，不成立；
（2）当a＞0时，
当x在（0，）时，g'（x）＞0，g（x）递增；
当x在（，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）递减，
∴函数最大值g（）=﹣lna，
令h（a）=﹣lna，可知为减函数，
∵h（1）＞0，h（2）＜0，
∴整数a的最小值为2．
19. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）
设函数
（1）求函数和的解析式；（2）是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）定义，且，
①当时，求的解析式；
已知下面正确的命题：当时，都有恒成立.
② 若方程恰有15个不同的实数根，确定的取值；并求这15个不同的实数根的和.
参考答案：
解：（1）函数
函数…………………………………4分
（2），……6分
则当且仅当时，即.
综上可知当时，有恒成立.……………8分
（3）①当时，对于任意的正整数，
都有，故有.……13分
②由①可知当时，有，根据命题的结论可得，
当时，，
故有，
因此同理归纳得到，当时，
…………………15分
时，解方程得，
要使方程在上恰有15个不同的实数根，
则必须解得
方程的根………………………17分
这15个不同的实数根的和为：
.…………18分
略
20. （本题满分12分）椭圆C：的离心率e＝，且过点P（l，）。

（l）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且△OAB的面积为，求l的方程。

参考答案：
21. 设的内角，，的对边长分别为，，，且
⑴求证：；
⑵若，求角的大小.
参考答案：
⑴整理得
⑵由可以得，又由
得，在三角形中有，由⑴得为锐角，所以有
22. 已知函数，，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）已知，若对任意，有，求实数的取值范围. 参考答案：
解：（1）
①当时，，，在上单调递增
②当时，，，在上单调递增
③当时，
时，，在上单调递增
时，，在上单调递减
④当时，，，在上单调递增
综上所述，当或时，在上单调递增
当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）
依题意，时，恒成立.
已知，则
当时，，在上单调递减，而在上单调递增
，
，得
当时，，与在上均单调递增
，
，得与矛盾
综上所述，实数的取值范围是。