河南省商丘市名校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试卷(含答案)

河南省商丘市名校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合{04}A x x =<<∣,{}21B x x =≤∣则A B =( ) A.[1,4)-
B.(0,1]
C.[1,3)-
D.[1,2]-
2、函数4()2f x x x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A.23y x =+ B.21y x =-+ C.23y x =-
D.21y x =--
3、北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据,北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光,其中玉衡最亮,天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选三颗进行观测,则玉衡和天权都末被选中的概率为( )
10
1152
4、“lg lg a b >>A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5、设随机变量~(0,1)X N ,()()f x P X x =≥其中0x >,则()()f x f x -+的值为( )
的不确定值
6、现有完全相同的甲,乙两个箱子(如下图),其中甲箱装有2个黑球和4个白球,乙箱装有2个黑球和3个白球,这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子,再从中随机摸出一球,则摸出的球是黑球的概率是( )
1111127、代数式5(1)(2)x x --的展开式中4x 的系数为( ) A.20
B.-20
C.10
D.-10
8、已知3e a a -=,2ln 1ln e (,)b b a b -+=∈R 则ab =( ) A.2
B.3
C.2e
D.3e
二、多项选择题
9、某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计,结果如下: 7.1bx =+,则下列说法正确的是( ) A.线性回归方程必过(3,140)
B.ˆ44.3b
= C.相关系数0r <
D.6月份的服装销量一定为272.9万件 10、若2
1()ln 2
f x x x bx =+-在定义域上不单调,则实数b 的值可能是( ) A.1
B.2
C.3
D.4
11、通过随机询问相同数量的不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明,得知有
的把握认为性别与是否看营养说明之间有关,则调查的总人数可能为( )
附:22
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.
12、已知0,0a b >>,且6a b +=,则下列不等式一定成立的是( )
A.(1)(1)a b ++≤3≤
C.2a b ->
2129
b +≥ 三、填空题
13、将6本不同的书分成两堆,每堆至少两本,则不同的分堆方法共有________种. 14、函数()(ln 1)f x x x =--的最大值为_________.
15、若命题“函数32()f x x mx x =-+-无极值”为真命题,则实数m 的取值范围是___________.
16、已知函数2e ,0
()21,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩,若21x x >且()()21f x f x =,则21x x -的最小值是
__________.
四、解答题
17、已知函数2()3(1)2f x x a x =-++. (1)当4a =时,求不等式()0f x >的解集;
(2)当x >1
3x x
>-恒成立,求实数a 的取值范围. 18、已知函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点. (1)求a ;
(2)求曲线()y f x =在点1
1,
22f ⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程. 19、为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位:3g /m μ),得下表:
根据所给数据,完成下面的22
⨯列联表:
浓度
2
有关?
附:2χ=
(1)求函数()
f x的最小值;
(2)若函数()()
=-有2个极值点,求实数a的取值范围.
g x f x ax
21、某校开展“学习二十大,永远跟党走”网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动,每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题,每组都有两道题,只有第一组的两道题均答对,方可进行第二组答题,否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为
(1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为X,请写出X的分布列,并求()
E X;
(2)若甲同学进行了4轮答题,求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率.
22、已知函数()ln2
=-.
f x a x x
(1)讨论函数()
f x的单调性;
(2)若关于x的方程()(2)e x
++=有两个相异实根,求实数a的取值范围.
f x x a x
参考答案
1、答案：A
解析：由21x ≤,即(1)(1)0x x -+≤,解得11x -≤≤,所以{11}B x x =-≤≤∣,所以{14}A B x x =-≤<∣.故选A. 2、答案：C
解析：3()42f x x '=-,(1)2f '=易得切线方程为23y x =-,故选C. 3、答案：D
解析：玉衡和天权都没有被选中的概率为35
37C C P ==4、答案：A
解析：lg lg lg 0a b b
>⇒>>
⇒>>0=,此时lg
lg a b >
不成立,所以lg lg a b >>5、答案：C
解析：由题正态曲线关于直线0x =对称,因为()()(0)f x P X x x =≥>,根据对称性可得
()()1()f x P X x f x -=≤=-,即()()1f x f
x -+=,故选C.
6、答案：B
黑球”
,则()()P A P A ==
2()6B A ==∣
()B A =∣1112()()()()()2325P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=
∣∣7、答案：A
解析：含4x 的项应为:44133255C (1)(2)C (1)x x x --+-,所以4x 系数为20.故选A.
8、答案：C
解析：由题:2ln 3(1ln )1ln e e b b b --++==,可设3()e x f x x -=-,则3()1e 0x f x '-=+>, 即()y f x =恒增,于是有1ln a b =+,且3ln ln e 3a a a -==-, 故ln 3(1)ab a a =-+-2=,所以2
e ab =,故选
C. 9、答案：AB
=140=A 正确;代入计算得ˆ44.3b
=,B 正确;从而相关系数
0r >,C 错误;可预测6月份的服装销量为272.9万件,D 错误.故选AB. 10、答案：CD
解析:由211
()(0)x bx f x x b x x x
-+'=+-=
>,则可知()0f x '=在(0,)+∞上有解,因为0x >,设2()1u x x bx =-+,因为(0)10u =>,则只要20,240,
b
b ⎧>⎪
⎨⎪->⎩解得2b >,故选CD.
11、答案：CD
解析：设男女大学生各有m 人,根据题意画出22⨯列联表,如下图:
=
因为有
6.635>,解得2179.145m >,结合选项
,故选CD. 12、答案：
ACD
解析：对于A,因为0a >,0b >且6a b +=,所以
(1)(1)17a b a b ab ab ++=+++=+2
7162a b +⎛⎫
≤+= ⎪⎝⎭
,当且仅当3a b ==时等号成立,故A
正确;
2123a b ≤+++=≤a =
=
对于C,266a b a -=->-,所以622a b -->=
111111()22666b a a b b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
a b ==22
2111112223b a b ⎛⎫⎛⎫≥+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3b ==时取等号.
故D 正确; 故选ACD. 13、答案：25
解析：由题知,共有(2,4)，(3,3)两种分法:(2,4)这种分法数为42
6
2C C 15=种;(3,3)这种分
10=种,所以,共有25种. 14、答案：1
解析：易知()ln f x x '=-，(0,1)x ∴∈时,()0f x '>，(1,)x ∈+∞时,()0f x '<,()f x ∴在
(0,1)单增,(1,)+∞单减,max ()(1)1f x f ∴==.
15、答案：[
解析：因为2()321f x x mx '=-+-,只需0∆≤,解得m ≤≤[∈.
解析：2e x y x =+得2e 1x y '=+,令2e 12x +=得x =1
1ln ,1ln 2
2⎫+⎪⎭,再令
211ln x -=+111ln 22=+,于是符合题意的211ln 2x =+1x =
此:21111ln 22x x -=-=17、答案：(1)2,(1,)3⎛
⎫-∞+∞ ⎪⎝
⎭
(2)(,1)-∞
解析：(1)当4a =时,得23520x x -+>,(32)(1)0x x -->解得1x >或x <
所以此不等式的解集为2,(1,)3⎛
⎫-∞+∞ ⎪⎝
⎭.
(2)当x >13x x >-恒成立,可得16a x +<+0x >都成立,由于
1
6x x +
≥x =x =1+<1<,故实
数a 的取值范围是(,1)-∞. 18、答案：(1)3 (2)18490x y -+=
解析：(1)由题得2()62f x x ax '=-,
当0a ≤时,函数()f x 在区间(0,)+∞内单调递增,且()(0)1f x f >=,所以函数()f x 在
(0,)+∞内无零点;
当0a >时,函数()f x 在(,0)-∞内单调递增;在区间0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减,在区间,3a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
内单调递增.当0x =时,(0)1f =;
故只需03a f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,
解得3a =.
(2)由102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以切点为1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,
又12f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭故切线方程为91022y x ⎛⎫
⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
化简得:18490x y -+= 19、答案：(1)0.64
(2)认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关
解析：(1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的
天数为32186864+++=，因此该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超
0.64= (2)根据抽查数据,可得22⨯列联表:
2浓度无关.
由列联表中的数据得:2
2
100(64101610)7.48480207426
χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.
由于0.017.484 6.635χ>=,所以依据小概率值0.01α=的独立性检验,我们推断0H 不成立,即认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关. 20、答案：(1)-1
(2)1
0e
a -<<
解析：（1）因为()(1)e x f x x =-,所以()e x f x x '=, 当0x <时,()0f x '<,()f x 单调递减,
当0x >时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以当0x =时, 函数取得最小值(0)1f =-.
(2)函数的定义域为R ,()e x g x x a '=-,
设()e x h x x =,()(1)e x h x x '=+由()(1)e 0x h x x '=+=,得1x =-, 列表如下:
当0x >时,()e 0x h x x =>,
做出函数()h x 与y a =的大致图象,如图,当1
0e
a -<<时,直线y a =与()y h x =的图象有2
个交点,设这两个交点的横坐标分别为1x ,2x 且12x x <,
数形结合可知:当1x x <或2x x >时,()e 0x g x x a '=->,
当12x x x <<时,()e 0x g x x a '=-<,此时函数()g x 有2个极值点.
所以a 的取值范围是10e
a -<<.
解析：(1)由题意,X 可取0,1,2,3,4.
22(0)1133P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1222(1)C 133P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭
2211(2)113322P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
122211(3)C 13322P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭22111(4)33229
P X ==⨯⨯⨯= 则X 的分布列为:
21()0123499999E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)每一轮获得纪念章的概率为211(3)(4)993
P P X P X ==+==+=, 每一轮相互独立,则每一轮比赛可视为二项分布,设4轮答题获得纪念章的数量为Y ,则
1~4,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2422
412(2)C 33P Y -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22、答案：(1)当0a ≤时,()f x 在(0,)+∞上单调递减;
当0a >时,在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减 (2)(e,)+∞
解析：(1)因为()ln 2f x a x x =-定义域为(0,)+∞,
所以()2a f x x '=-=①当0a ≤时,恒有()0f x '<,得()f x 在(0,)+∞上单调递减;
②当0a >时,由()0f x '=,得x =0,2a ⎫⎪⎭上,有()0f x '>，()f x 单调递增; 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上,有()0f x '<，()f x 单调递减. 综上可得:当0a ≤时,()f x 在(0,)+∞上单调递减;
当0a >时,在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减; (2)方程()(2)e x f x x a x ++=可化为e ln x x ax a x =+, 即ln e (ln )x x a x x +=+.
令()ln t x x x =+,易知函数()t x 在(0,)+∞上单调递增, 结合题意,关于t 的方程e (*)t at =有两个不等的实根.
又因为0t =不是方程a =.
令()g t =()t '=易得函数()g t 在(,0)-∞和(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增. 数形结合可知,实数a 的取值范围是(e,)+∞.。