[推荐学习]物理浙江高考选考一轮复习讲义：必修1 第二章 第3讲 共点力的平衡条件和应用含解析

第3讲 共点力的平衡条件和应用
知识排查
受力分析
1.受力分析：把研究对象(指定物体)在特定的物理环境中受到的所有力都找出来，并画出受力示意图的过程。

2.受力分析的一般顺序 (1)画出已知力。

(2)分析场力(重力、电场力、磁场力)。

(3)分析弹力。

(4)分析摩擦力。

共点力的平衡条件
1.平衡状态
物体处于静止或匀速直线运动的状态，即a ＝0。

2.平衡条件 F 合＝0或⎩⎨⎧F x ＝0F y ＝0
如图1甲所示，小球静止不动，如图乙所示，物块匀速运动。

图1
则：小球F 合＝0 F N sin θ＝F 推，F N cos θ＝mg 。

物块F x ＝F 1－F f ＝0，F y ＝F 2＋F N －mg ＝0。

平衡条件的推论
1.二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反。

2.三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与
其余两个力的合力大小相等，方向相反。

3.多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反。

小题速练
1.思考判断
(1)物体沿光滑斜面下滑时，受到重力、支持力和下滑力的作用()
(2)加速度等于零的物体一定处于平衡状态()
(3)速度等于零的物体一定处于平衡状态()
(4)竖直上抛的小球到最高点时处于平衡状态()
(5)宇航员乘坐神舟十一号飞船绕地球做圆周运动时处于平衡状态()
答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×
2.一个质量为3 kg 的物体，被放置在倾角为α＝30°的固定光滑斜面上，在如图2所示的甲、乙、丙三种情况下处于平衡状态的是(g＝10 m/s2)()
图2
A.仅甲图
B.仅乙图
C.仅丙图
D.甲、乙、丙图
答案 B
3.如图3所示，在拉力F作用下，小球通过轻绳沿光滑的斜面缓慢地向上移动，在此过程中，小球受到的拉力F和支持力F N的大小变化情况是()
图3
A.F增大，F N减小
B.F和F N均减小
C.F和F N均增大
D.F减小，F N不变
解析法一设斜面倾角为α，轻绳与斜面间的夹角为β，小球质量为m，对小球，由平衡条件得mg sin α＝F cos β，F sin β＋F N＝mg cos α，小球沿光滑的斜面缓慢地向上移动的过程中，β增大，则F增大，F N减小，故A正确。

法二图解法：如图所示：
当在绳的拉力作用
下沿斜面缓慢向上
移动时，F与斜面的
夹角增大，F增大，F N减小，
故A正确。

答案 A
受力分析
1.受力分析的基本思路
(1)研究对象的选取方法：整体法和隔离法。

(2)基本思路
2.整体法与隔离法
3.受力分析的注意事项
(1)只分析研究对象所受的力，不分析研究对象对其他物体所施加的力。

(2)只分析性质力，不分析效果力。

(3)每分析一个力，都应找出施力物体。

(4)合力和分力不能同时作为物体所受的力。

(5)应结合运动状态。

(6)注意牛顿第三定律的应用。

(7)遇到弹力、摩擦力的判断较复杂时可用假设法。

【典例】(2018·温州中学期中)如图4所示，质量为m的物体A以一定的初速度v沿粗糙斜面上滑，物体A在上滑过程受到的力有()
图4
A.冲力、重力、斜面的支持力、摩擦力
B.重力、对斜面的正压力、摩擦力
C.重力、斜面的支持力、摩擦力
D.重力、斜面的支持力、摩擦力、对斜面的正压力、下滑力
解析物体必受重力，物体与斜面体相互挤压，故斜面对物体一定有支持力，方向垂直于斜面向上，物体相对于粗糙斜面向上滑动，一定与斜面体间有摩擦力，摩擦力阻碍物体间的相对滑动，物体相对于斜面体向上滑动，故一定受到沿斜面向下的滑动摩擦力，物体依靠惯性运动，没有向上的冲力，也找不到施力物体，重力有使物体下滑的趋势，无下滑力，同样也找不到施力物体，故选项C正确。

答案 C
1.(2016·10月浙江选考)中国女排在2016年奥运会比赛中再度夺冠。

图5为比赛中精彩瞬间的照片，此时排球受到的力有()
图5
A.推力
B.重力、推力
C.重力、空气对球的作用力
D.重力、推力、空气对球的作用力
解析排球受重力、空气阻力，但排球与手不接触，排球不受推力，故C正确。

答案 C
2.在水平桌面上叠放着木块P和Q，用水平力F推Q，使P、Q两木块一起沿水平桌面匀速滑动，如图6所示，以下说法中正确的是()
图6
A.P受三个力，Q受六个力
B.P受四个力，Q受六个力
C.P受两个力，Q受五个力
D.以上答案均不正确
解析分析木块P受竖直方向的重力G和支持力F N的作用，木块Q受重力G′，地面的支持力F N′，P木块的压力F N″、水平推力F和地面对木块Q的摩擦力F f。

答案 C
3.如图7所示，质量为M的楔形物块静置在水平地面上，其斜面的倾角为θ。

斜面上有一质量为m的小物块，小物块与斜面之间存在摩擦。

用恒力F沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑。

在小物块运动的过程中，楔形物块始终保持静止，重力加速度为g。

则地面对楔形物块的支持力的大小为()
图7
A.(M＋m)g
B.(M＋m)g－F
C.(M＋m)g＋F sin θ
D.(M＋m)g－F sin θ
解析匀速沿斜面上滑的小物块和楔形物块都处于平衡状态，可将二者看作一个
处于平衡状态的整体，由竖直方向受力平衡可得(M ＋m )g ＝F N ＋F sin θ，解得F N ＝(M ＋m )g －F sin θ。

答案
D
共点力作用下物体的平衡
1.平衡中的研究对象选取
(1)单个物体；(2)能看成一个物体的系统；(3)一个结点。

2.静态平衡问题的解题“五步骤”
3.平衡问题常见处理方法
(1)动态平衡：是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题。

(2)基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。

(3)基本方法：图解法和解析法。

图解法是利用力的平行四边形(或矢量三角形)中角与边长的变化情况来直接确定物理量的变化情况。

【典例1】 如图8所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心。

一质量为m 的小滑块，在水平力F 的作用下静止于P 点。

设滑块所受支持力为F N ，OP 与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g 。

下列关系正确的是( )
图8
A.F ＝mg cos θ
B.F ＝mg tan θ
C.F N ＝mg
sin θ
D.F N ＝mg tan θ
解析 方法一 合成法
滑块受力如图甲，由平衡条件知mg F ＝tan θ⇒F ＝mg
tan θ， F N ＝mg sin θ。

方法二 效果分解法
将重力按产生的效果分解，如图乙所示， F ＝G 2＝mg tan θ，F N ＝G 1＝mg
sin θ。

方法三 正交分解法
将滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图丙所示， mg ＝F N sin θ，F ＝F N cos θ， 联立解得F ＝mg tan θ，F N ＝mg
sin θ。

方法四力的三角形法
将三力首尾依次相连，构成矢量三角形，如图丁所示，mg
F N＝sin θ，
mg
F＝tan θ得
F N＝
mg sin θ
F＝mg
tan θ
故选项C正确。

答案 C
【典例2】如图9所示，电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA使连接点A 向上移动而保持O点位置和OB绳的位置不变，则在A点向上移动的过程中()
图9
A.绳OB的拉力逐渐增大
B.绳OB的拉力不变
C.绳OA的拉力先增大后减小
D.绳OA的拉力先减小后增大
解析在绳OA的连接点A向上移动的过程中，结点O始终处于
平衡状态。

取结点O为研究对象，受力情况如图所示，图中F1、
F2、F3分别是绳OA、绳OB、电线对结点O的拉力，F3′是F1和
F2的合力，且F3′＝F3。

在A点向上移动的过程中，F3的大小和方
向都保持不变，F2的方向保持不变。

由图可知，当绳OA垂直于OB时，绳OA 的拉力最小，所以绳OA的拉力先减小后增大，绳OB的拉力逐渐减小，选项D 正确。

答案 D
1.如图10所示，有一只重为G 的蜻蜓在空中沿虚线方向匀速直线飞行，在此过程中，蜻蜓受到空气对它的作用力的方向是( )
图10
A.a 方向
B.b 方向
C.c 方向
D.d 方向
解析 蜻蜓做匀速直线运动，蜻蜓受重力和空气的作用力而处于平衡状态，故空气对蜻蜓的作用力的方向竖直向上，即沿a 方向，故选项A 正确。

答案 A
2.如图11所示，光滑斜面的倾角为θ＝37°，一个可以看成质点的小球在轻质细线的拉力作用下静止在斜面上，细线与斜面间的夹角也为37°，若小球的重力为G ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则手对细线的拉力等于( )
图11
A.G
B.G 2
C.3G 4
D.4G 5
解析 对小球受力分析，小球受到细线的拉力F 、斜面的支持力和小球的重力作用，在沿斜面方向上，F cos 37°＝G sin 37°，解得F ＝G tan 37°＝3
4G ，故选项C 正确。

答案 C
3.半圆柱体P 放在粗糙的水平地面上，其右端有竖直挡板MN 。

在P 和MN 之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q ，整个装置处于静止状态。

如图12所示是这个装置的纵截面图。

若用外力使MN 保持竖直并缓慢地向右移动，在Q 落到地面
以前，发现P始终保持静止。

在此过程中，下列说法中正确的是()
图12
A.MN对Q的弹力逐渐减小
B.地面对P的摩擦力逐渐增大
C.P、Q间的弹力先减小后增大
D.Q受到P和MN的合力逐渐增大
解析对圆柱体Q受力分析，如图所示，P对Q的弹力为F，
MN对Q的弹力为F N，挡板MN向右运动时，F和竖直方向的
夹角逐渐增大，如图所示，而圆柱体所受重力大小不变，所以F
和F N的合力大小不变，故选项D错误；由图可知，F和F N都
在不断增大，故选项A、C都错误；对P、Q整体受力分析知，地面对P的摩擦力大小等于F N，所以地面对P的摩擦力逐渐增大，选项B正确。

答案 B
处理平衡问题的三点说明
(1)物体受三力平衡时，利用力的效果分解法或合成法比较简单。

(2)物体受四个或四个以上的力作用时，一般采用正交分解法。

(3)物体只受三个力的作用且三力构成普通三角形，可考虑使用相似三角形法。

平衡中的临界、极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。

2.极值问题
平衡物体的极值，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

3.解题思路
解决共点力平衡中的临界、极值问题“四字诀”
【典例】 如图13所示，质量为m 的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ，对物体施加一个与水平方向成θ角的力F ，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g ，试求：要使物体在水平地面上运动，力F 的取值范围。

图13
解析 要使物体能够运动，水平方向的力必须要大于等于最大静摩擦力，当力F 有极小值时，物体恰好在水平地面上做匀速直线运动，由平衡条件可得： F min cos θ＝μF N ① F min sin θ＋F N ＝mg ②
联立①②，解得F min ＝μmg
cos θ＋μsin θ
当力F 取最大值时，物体将要脱离水平面，此时地面对物体的支持力恰好为零，则： F max sin θ＝mg 解得F max ＝mg
sin θ
则物体在水平地面上运动时F 的范围为 μmg cos θ＋μsin θ≤F ≤mg
sin θ
答案 μmg cos θ＋μsin θ
≤F ≤mg
sin θ
1.如图14所示，一根长为l 的细绳一端固定在O 点，另一端悬挂质量为m 的小球A ，为使细绳与竖直方向成30°角且绷紧，小球A 处于静止，对小球A 施加的最小的力是(重力加速度为g )( )
图14
A.3mg
B.32mg
C.12mg
D.33mg
解析 如图所示，球受重力mg 、绳的拉力F T 、外力F 三个力作用，合力为0。

则mg 与F 的合力一定与F T 等大反向，画出力的三角形可知，当F 与F T 垂直时F 最小，F min ＝mg sin 30°＝1
2mg ，选项C 正
确。

答案 C
2.如图15所示，一物块受一恒力F 作用，现要使该物块沿直线AB 运动，应该再加上另一个力的作用，则加上去的这个力的最小值为( )
图15
A.F cos θ
B.F sin θ
C.F tan θ
D.F
tan θ
解析 要使物块沿AB 方向运动，恒力F 与另一个力的合力必沿AB 方向，当另一个力与AB 方向垂直时为最小，故F ′＝F sin θ，B 正确。

答案 B
3.质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。

如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图16所示(已知木楔在整个过程中始终静止，重力加速度为g)。

图16
(1)当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值；
(2)当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
解析木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有
mg sin θ＝μmg cos θ，即μ＝tan θ。

(1)木楔在力F作用下沿斜面向上匀速运动，有
F cos α＝mg sin θ＋F f
F sin α＋F N＝mg cos θ
F f＝μF N
解得F＝
2mg sin θ
cos α＋μsin α
＝
2mg sin θcos θ
cos αcos θ＋sin αsin θ
＝
mg sin 2θ
cos （θ－α）
则当α＝θ时，F有最小值，为F min＝mg sin 2θ。

(2)因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即F f＝F cos (α＋θ)
当F取最小值mg sin 2θ时，
F f＝F min cos 2θ＝mg sin 2θcos 2θ＝1
2mg sin 4θ。

答案(1)mg sin 2θ(2)1
2mg sin 4θ
涉及极值的临界问题的三种解答方法
(1)图解法
根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。

(如T1的求解方法)
(2)假设推理法
先假设某种临界情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。

(3)数学方法
根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。

通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。

(如T3的求解方法)
[题源：人教版必修1·P91·T1]
在光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B(图4.7－6)。

足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜的质量不计。

求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力。

图4.7－6
题源拓展在[上题]中缓慢增加悬绳的长度，其他条件不变，则悬绳对足球的拉力F和墙壁对足球的支持力F N的变化情况是()
A.F逐渐变大
B.F逐渐变小
C.F N逐渐变大
D.F N保持不变
答案 B
链接高考
1.(2016·全国卷Ⅱ，14)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。

用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图17所示。

用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中()
图17
A.F逐渐变大，T逐渐变大
B.F逐渐变大，T逐渐变小
C.F逐渐变小，T逐渐变大
D.F逐渐变小，T逐渐变小
解析对O点受力分析如图所示，F与T的变化情况如图，
由图可知在O点向左移动的过程中，F逐渐变大，T逐渐变
大，故选项A正确。

答案 A
2.(2017·4月浙江选考)重型自卸车利用液压装置使车厢缓慢倾斜到一定角度，车厢上的石块就会自动滑下。

以下说法正确的是()
图18
A.在石块下滑前后自卸车与石块整体的重心位置不变
B.自卸车车厢倾角越大，石块与车厢的动摩擦因数越小
C.自卸车车厢倾角变大，车厢与石块间的正压力减小
D.石块开始下滑时，受到的摩擦力大于重力沿斜面方向的分力
解析物体的重心的位置跟形状还有质量分布有关，石块下滑
前后，质量分布变化，形状变化，所以重心改变，选项A错误；
石块与车厢的动摩擦因数与车厢倾角无关，选项B错误；
对石块受力分析如图所示，F N＝mg cos θ，F f＝mg sin θ，车厢
的倾角变大，所以车厢与石块间的正压力减小，选项C正确；石块下滑时，重力的分力大于受到的摩擦力，选项D错误。

答案 C
活页作业
(时间：30分钟)
A组基础过关
1.(2018·嘉兴一中高三期末)如图1所示，一把重为G的梯子仅在一石块的支持下处于静止状态，此时梯子受到石块作用力的大小与方向分别是()
图1
A.大于G、沿梯子斜向上
B.等于G、沿梯子斜向上
C.等于G、竖直向上
D.小于G、竖直向上
答案 C
2.(2018·宁波余姚中学期中)去年，李世石的人机对决引起了全世界的关注。

解说围棋的棋盘如图2所示。

棋盘竖直放置。

棋盘和棋子都是磁性材料制成，能吸在棋盘上，不计棋子之间的相互作用力，下列说法正确的是()
图2
A.棋子共受三个力作用
B.棋子对棋盘的压力大小等于其所受重力的大小
C.磁性越强的棋子，所受的摩擦力越大
D.减小棋子的质量，棋子所受到的摩擦力减小
解析小棋子受到重力G、棋盘面的吸引力F、弹力F N和静摩擦力f，共四个力作用，故A错误；棋子对棋盘的压力大小与重力无关，故B错误；根据竖直方向上二力平衡知：f＝G，即摩擦力与磁性强弱无关，故C错误；根据竖直方向上二力平衡知：f＝G，减小棋子的质量，棋子所受的摩擦力减小，故D正确。

答案 D
3.如图3所示，一重球用轻质绳子悬挂着，且与光滑斜面接触，处于静止状态，若绳子保持竖直状态，则重球受到的力有()
图3
A.重力和绳子的拉力
B.重力、绳子的拉力和斜面的支持力
C.重力、斜面的弹力和斜面的静摩擦力
D.重力、绳子的拉力、斜面的支持力和下滑力
解析可以用假设法进行判断。

假设没有此斜面小球依然会处于静止状态，说明斜面对小球没有力的作用，A项正确。

答案 A
4.(2018·北京朝阳期末)某同学在单杠上做引体向上，在下列四种情况下分别处于静止状态。

其中该同学单臂受力最小的是()
解析将人所受的重力按照效果进行分解，由于大小方向确定的一个力分解为两个等大的力时，合力在分力的角平分线上，且两分力的夹角越大，分力越大，因而B图中人单臂受力最小。

答案 B
5.如图4所示，A、B叠放在水平面上，水平力F作用在A上，使二者一起向右做匀速直线运动，下列说法正确的是()
图4
A.A、B之间无摩擦力
B.A受到的静摩擦力水平向右
C.B受到A的静摩擦力水平向右
D.地面对B的摩擦力为静摩擦力，水平向右
解析对A物体，由于A匀速运动，由二力平衡可知，B对A的静摩擦力必与
F等值反向，故A、B错误；对B物体，由力的作用的相互性可知，A对B的静摩擦力一定与B对A的静摩擦力反向，故B受到A的静摩擦力水平向右，故C 正确；对A、B整体分析，由于A、B一起向右匀速运动，则地面对B的摩擦力一定为滑动摩擦力，且水平向左，故D错误。

答案 C
6.(2018·嘉兴模拟)如图5所示，一物体放在自动扶梯上，随自动扶梯匀速斜向下运动，则物体受到的外力有()
图5
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析物体匀速运动，由受力分析知物体受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，故B选项正确。

答案 B
7.如图6所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止。

物体A的受力个数为()
图6
A.2
B.3
C.4
D.5
解析先以A、B整体为研究对象，A、B整体只受到向上的推力F和重力(注意墙壁对A无弹力)；再以A为研究对象，A受竖直向下的重力，B对A的支持力和摩擦力，所以A受到三个力的作用。

答案 B
8.(2018·东阳中学期中)在某驾校的训练场地上，有一段圆弧形坡道，如图7所示，若将同一辆车先后停放在a点和b点，下述分析和比较正确的是()
图7
A.车在a点受坡道的合外力大于在b点受的合外力
B.车在a点受坡道的摩擦力大于在b点受的摩擦力
C.车在a点受到的支持力大于在b点受的支持力
D.车在a点受的重力的下滑分力大于在b点受的重力的下滑分力
解析将同一辆车先后停放在a点和b点，处于静止状态，则合力都为零，所以在a、b两点所受的合力相等，故A错误；根据平衡条件有，F N＝mg cos θ，f＝mg sin θ，b点的倾角大于a点的倾角，所以a点的支持力大于b点的支持力，a 点所受的摩擦力小于b点所受的摩擦力，车在a点重力的下滑分力小于b点重力的下滑分力，故C正确，B、D错误。

答案 C
B组能力提升
9.用一轻绳将小球P系于光滑墙壁上的O点，在墙壁和球P之间夹有一长方体物块Q，如图8所示。

P、Q均处于静止状态，下列说法中，正确的是()
图8
A.P受3个力
B.Q受3个力
C.若绳子变长，绳子的拉力将变小
D.若绳子变短，Q受到的静摩擦力将增大
解析小球P受重力、细绳的拉力、Q对P的支持力和Q对P的摩擦力作用；物块Q受到重力、墙对Q的支持力、P对Q的压力及摩擦力作用；对小球P及
物块Q的整体，绳子的拉力F T＝（m P＋m Q）g
cos α，若绳子变长，α减小，则绳子的
拉力将变小；对物块Q而言，向下的重力等于P对Q向上的摩擦力，若绳子变
短，Q受到的静摩擦力大小不变。

选项C正确。

答案 C
10.(2018·杭州市余杭四校期中)自卸式运输车是车厢配有自动倾卸装置的汽车，又称为翻斗车、工程车，由汽车底盘、液压举升机构、取力装置和货厢组成。

如图9所示，在车厢由水平位置逐渐抬起的过程中，有关货物所受车厢的支持力F N和摩擦力F f，下列说法中正确的是()
图9
A.摩擦力F f逐渐增大
B.摩擦力F f先增大后减小
C.支持力F N逐渐增大
D.支持力F N先减小后不变
解析设货厢底板与水平方向夹角为θ，在θ增大过程中，若货物没有滑动，受力分析则有F N＝mg cos θ，F f＝mg sin θ，滑动后受力分析有F N＝mg cos θ，F f ＝μmg cos θ，故随着θ的增大，F N一直减小，F f先增大后减小，选项B正确，A、C、D错误。

答案 B
11.(2017·11月浙江选考)叠放在水平地面上的四个完全相同的排球如图10所示，质量均为m，相互接触。

球与地面间的动摩擦因数均为μ，则()
图10
A.上方球与下方三个球间均没有弹力
B.下方三个球与水平地面间均没有摩擦力
C.水平地面对下方三个球的支持力均为4
3mg
D.水平地面对下方三个球的摩擦力均为43μmg
解析 将四个球看做一个整体，地面的支持力与球的重力平衡，
设地面上一个球受的支持力大小为F N ，因此3F N ＝4mg ，则F N
＝43mg ，所以选项C 正确；最上面的球对下面三个球肯定有弹
力，选项A 错误；对地面上的其中一个球做受力分析，如图所示。

由此受力分析可知，选项B 错误；由于小球受到的是静摩擦力，因此不能通过F ＝μF N 求解，选项D 错误。

答案 C
12.(2017·全国卷Ⅲ，17)一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80 cm 的两点上，弹性绳的原长也为80 cm 。

将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100 cm ；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为(弹性绳的伸长始终处于弹性限度内)( )
A.86 cm
B.92 cm
C.98 cm
D.104 cm
解析 设弹性绳的劲度系数为k 。

挂钩码后，弹性绳两端点移动前，左、右两段
绳的伸长量ΔL ＝100 cm －80 cm 2
＝10 cm ，两段绳的弹力F ＝k ΔL ，对钩码受力分析，如图甲所示，sin α＝45，cos α＝35。

根据共点力的平衡条件可得，钩码的重力
为G ＝2k ΔL cos α。

将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点时，受力图如图乙所示。

设弹性绳伸长量为ΔL ′，弹力为F ′＝k ΔL ′，钩码的重力为G ＝2k ΔL ′，联
立解得ΔL ′＝35ΔL ＝6 cm 。

弹性绳的总长度变为L 0＋2ΔL ′＝92 cm ，故选项B 正确，
A 、C 、D 错误。

甲 乙
答案 B
13.(多选)如图11所示，在固定好的水平和竖直的框架上，A 、B 两点连接着一根
绕过光滑的轻小滑轮的不可伸长的细绳，重物悬挂于滑轮下，处于静止状态。

若按照以下的方式缓慢移动细绳的端点，则下列判断正确的是()
图11
A.只将绳的左端移向A′点，拉力变小
B.只将绳的左端移向A′点，拉力不变
C.只将绳的右端移向B′点，拉力变小
D.只将绳的右端移向B′点，拉力变大
解析设滑轮两侧绳子与竖直方向的夹角为α，绳子的长度为L，B点到墙壁的距离为s，根据几何知识和对称性，得：
sin α＝s
L①
以滑轮为研究对象，设绳子拉力大小为F T，根据平衡条件得：2F T cos α＝mg，
得F T＝
mg
2cos α②
当只将绳的左端移向A′点，s和L均不变，则由②式知，F T不
变，故A错误，B正确；当只将绳的右端移向B′点，s增加，而L不变，则由①式知，α增大，cos α减小，则由②式知，F T 增大，故C错误，D正确。

答案BD。