一元二次方程综合-2021-2022学年九年级数学上册同步知识例题精讲+对点巩固练(人教版)

一元二次方程
中考要求
例题精讲
板块一一元二次方程的概念
一元二次方程：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的一般形式：
20(0)
++=≠，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
ax bx c a
一元二次方程的识别：
要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．
②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．
③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．
a≠．任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20
++=()0
ax bx c
要特别注意对于关于x的方程20
++=，当0
ax bx c
a≠时，方程是一元二次方程；当0
b≠时，
a=且0方程是一元一次方程．
☞一元二次方程的定义：
关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程
【例1】关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）
A.1a ≠±
B.0a ≠
C.a 为任何实数
D.不存在
【解析】21a +恒大于0 【答案】C
【巩固】已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．
【解析】整理方程得：2(3)10a x ax --+=，当3a ≠时，原方程是一元二次方程． 【答案】3a ≠
【例2】若2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． 【解析】略
【答案】分以下几种情况考虑：
⑴22a b +=，2a b -=，此时43a =，2
3
b =-；
⑴22a b +=，1a b -=，此时1a =，0b =； ⑴21a b +=，2a b -=，此时1a =，1b =-
【巩固】已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． 【解析】略
【答案】本题有3种情况：22a b a b +=⎧⎨-=⎩；21a b a b +=⎧⎨-=⎩；12a b a b +=⎧⎨-=⎩；解得20a b =⎧⎨=⎩；3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩；3212a b ⎧=
⎪
⎪⎨⎪=-⎪
⎩．
☞一元二次方程根的考察
关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。

（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件）
【例3】若m 是方程23220x x --=的一个根，那么代数式23
12
m m -+的值为
【解析】∵m 是方程23220x x --=的一个根， ∴23220m m --= 即23
12
m m -=，
∴代数式23
122
m m -+=（像这样的恒等变形，很多学生掌握都不是很熟练）
【答案】2
【巩固】若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，则（ ）
A.a b =
B.0a b +=
C.1a b +=
D.1a b +=-
【解析】先确定方程的公共根，再将这个公共根代入某一方程，即可得a 、b 满足的关系式 【答案】设两方程的公共根为m ，则20m am b ++=①，20m bm a ++=②，
①-②得，()0a b m b a -+-=，∴()a b m a b -=-，解得1m =
将1m =代入①得10a b ++= ∴1a b +=- 选D
☞“降次”思想
【例4】已知a 是方程2310x x +-=的一个根，则代数式3102a a -+的值为_________
【解析】本题难度对于现在学生来讲，稍微有一点大，但是还是建议学生能够学习和掌握。

我们都知道解一
元二次方程最根本的思想就是“降次”，因此我们在处理高次代数式求值的时候的基本方法就是“降次”，通过“降次”将代数式转化为我们所熟知的内容，因此本题的主要考查点有二个：①根的考查；②恒等变形 【答案】∵a 是方程2310x x +-=的一个根
∴2310a a +-=，即213a a =-
∴322(13)33(13)39103a a a a a a a a a a a a =⋅=-=-=--=-+=- ∴3102(103)1021a a a a -+=--+=-
【巩固】已知m 是方程2200610x x -+=的一个根，试求222006
20051
m m m -++的值 【解析】本题方法很多，但基本思路一样 【答案】∵m 是方程2200610x x -+=的一个根
∴2200610m m -+=，则220061m m =- ∴原式2006
(20061)2005(20061)1
m m m =--+
-+
11m m
=-+=21
(20061)111200612005m m m m +-+-=-=-=
板块二 一元二次方程的解法
【例5】解关于x 的方程：()()2
2
2332x x +=+ 【解析】略
【答案】11x =，21x =-
【巩固】解方程：2269(52)x x x -+=-
【解析】把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反
数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．
【答案】12x =，28
3
x =
【例6】用配方法解下列方程
⑴2640x x --= ⑵(1)(3)50y y -+-= ⑶211
063
x x +-=
⑷2241y y -=- ⑸223546x x x --=-
【解析】略
【答案】⑴13x =，23x =；⑵14y =-，22y =；
⑶123x =-，212x =；⑷1y 2y 13x =-，23
2
x =
【例7】用公式法解下列方程
⑴22310x x +-= ⑵2362x x =-
⑶1
(61)432(2)2
x x x x ++-=+ ⑷2320x -=
【解析】略
【答案】⑴1x =
2x = ⑵1x =x =
⑶1x =，2x = ⑷1x =，2x =
【例8】解关于x 的方程：2(41)3(14)40x x ----= 【解析】换元法
【答案】设41x a -=，则原方程可变形为2340a a +-=
整理得(4)(1)0a a +-= ∴40a +=或10a -= ∴4a =-或1a =
当4a =-时，414x -=-，∴3
4x =-
当1a =时，411x -=，∴1
2
x =
∴134x =-，21
2
x =
【例9】解分式方程：222(1)6(1)
711
x x x x +++=++
【解析】换元法
【答案】设211x a x +=+，则原方程可变形为6
27a a
+=
整理得：22760a a -+=，解得3
2
a =或2a = 经检验得32a =
或2a =均为方程6
27a a
+=的解 当3
2a =时，则21312x x +=+，整理得：22310x x --=
解得1x =
，2x
经检验，1x 2x =均为原方程的解
当2a =时，则21
21x x +=+，整理得：2210x x --=
解得：31x =，41x =
经检验，
31x =+，41x =均为原方程的解
∴原方程的解为1x =
，2x =，31x =41x =
【例10】解无理方程（换元法）
22330x x +-=
【解析】略
a =，则22239x x a ++=，∴22239x x a +=-
则原方程变形为29530a a --+=，整理得2560a a --= 解得11a =-，26a =
0a =≥ ∴6a =
6=，整理得223270x x +-=，解得13x =，29
2x =-
经检验13x =，29
2x =-均为原方程的解
∴原方程的解为13x =，29
2
x =-
【例11】已知关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有几个？ 【解析】对二次项系数进行分类讨论
【答案】当10a -=时，1a =，解得1x =，符合题意要求。

当10a -≠时，则1a ≠，整理得[(1)1](1)0a x a x -++⋅-=
解得11
1a x a +=--，21x =，因为原方程的两个根均为整数
∴112
111
a x a a +-=-=---也为整数，因此11a -=±或12a -=±
∴0a =或2或3或1-
综上所述，整数a 的值有5个，分别为1-，0，1，2，3
板块三 根的判别式
☞定义：
运用配方法解一元二次方程过程中得到 222
4()24b b ac x a a -+=，显然只有当2
40b ac -≥时，才能直接开
平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．
☞判别式与根的关系
在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．
设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则
①0∆>⇔方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．
②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b
x x a
==-．
③0∆<⇔方程2
0(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．
【例12】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．没有实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．无法确定
【解析】由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根． 【答案】A
【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（ ）．
A ．没有实数根
B ．有2个不同的实数根
C ．有2个相等的实数根
D ．实数根的个数不能确定
【解析】∵方程2
(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，∴20m +=，得2m =-．
∴方程2(1)220m x mx m +-+-=，即为方程2440x x -+-=，∴244(1)(4)0∆=-⨯-⨯-=． ∴方程2(1)220m x mx m +-+-=有2个相等的实数根．故选C ．
特别注意方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根．若20m +≠，则方程要么有2个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m +=，且10m +≠．
【答案】C
【例13】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）
A ． 1k <
B ． 0k ≠
C ．10k k <≠且
D ． 1k >
【解析】由题可得36360
0k k ∆=->⎧⎨≠⎩
所以 10k k <≠且
【答案】C
【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 【解析】注意二次项系数不为0
【答案】2
3
m >且1m ≠
【例14】关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．
【解析】由题意，得4(1)4(12)0
10120
k k k k ++->⎧⎪
+≥⎨⎪-≠⎩
解得12k -≤<且12k ≠
【答案】12k -≤<且12
k ≠
【例15】当m 为何值时，关于x 的方程22(4)2(1)10m x m x -+++=有实根．
【解析】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分24m -＝0和24m -≠0两种情
形讨论．
当24m -＝0即2m =±时，2(1)m +≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当24m -≠0即2m ≠±时，方程有根的条件是：
⑴＝[]222(1)4(4)820m m m +--=+≥0，解得m ≥5
2
-
⑴当m ≥5
2
-且2m ≠±时，方程有实根．
综上所述：当m ≥5
2
-时，方程有实根．
【答案】m ≥5
2
-
【例16】已知关于x 的方程()()221
2102
x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则
32a b +=________．
【解析】∵()()221
2102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根．
∴0∆=，即()()
2
22210a b b b ++-+=
∴()()22
210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -=
∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．
【答案】1-
【例17】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是25230x x +-=各根的负倒数
【解析】求作新方程时，均可以设所求方程为20y py q ++=的简单形式，再根据12()p y y =+，12q y y =⋅
【答案】设方程25230x x +-=的两根为1x 、2x ，则1225x x +=-，123
5
x x ⋅=-
设所求方程为20y py q ++=，其两根为1y 、2y
则111y x =-，22
1
y x =-
∴12121212112
()()3
x x p y y x x x x +=-+=---==⋅；
1212121115
()()3
q y y x x x x =⋅=-⋅-==-
∴所求的方程为225
033
y y +-=，即23250y y +-=
【例18】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？ 【解析】要使关于x 的一元二次方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，则必有0∆≥，即
()()2
2241434420a a ab b +-+++≥，
得()()22
210a b a ++-≤． 又因为()()2
2
210a b a ++-≥，
所以()()2
2
210a b a ++-=，得1a =，12
b =-
． 【答案】1a =，1
2
b =-
【例19】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++= 必
有实根． 【解析】略
【答案】2(2)4b ac ∆=-，因2b pc ra =+，则222()4()()2(2)pc m ac pc ra ac pr ∆=+-=++-．又2pr >，
所以当0ac ≥时，0∆≥；当0ac <时，40ac ->，2()40pc ra ac ∆=+->．因此，一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．
板块四 韦达定理
【例20】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值
⑴12(3)(3)x x --； ⑵
211211
x x
x x +++； ⑶12x x - 【解析】不解方程，即利用韦达定理将12x x +、12x x 的整体构造出来 【答案】由韦达定理得1274x x +=
，1234
x x ⋅=- ⑴12121237
(3)(3)3()939344
x x x x x x --=-++=--⨯+=；
⑵221221112121212121212(1)(1)()2()101
11(1)(1)132
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-+++===+++++++ ⑶2221212127397()()4()4()4416x x x x x x -=+-=-⨯-=
，∴12x x -=
【例21】已知α、β是方程2520x x ++=
【解析】注意α，β均为负数，很多学生求出的结果均为负值
【答案】由韦达定理可得，5αβ+=-，2αβ=
∴22222()2522a a ββαβαβαβαβαβ+++=++===
【例22】若方程210x px ++=
的一个根为1，则它的另一根等于 ，p 等于
【解析】部分学生喜欢将1x =p 的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。

【答案】设方程的另一根为2x
，根据题意得22(1(11
x p
x ⎧+=-⎪⎨⋅=⎪⎩
，解得21x =
，p =
【例23】设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值 是＿＿＿＿．
【解析】易忽略0∆>
【答案】由韦达定理得122
12
2(1)
2x x k x x k +=+⎧⎪⎨⋅=+⎪⎩，∵()()12118x x ++= ∴121218x x x x ⋅+++= 即222(1)18k k ++++=，整理得2230k k +-=，解得3k =-或1k =
∵0∆>，∴1k =
【例24】已知方程组22200
x y x kx y k ⎧+-=⎨--=⎩ ①
②（x 、y 为未知数）
⑴求证：不论k 为何实数，方程组总有两个不同的实数解
⑵设方程组的两个不同的实数解为1
1
x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩
求证：221212()()x x y y -+-是一个常数
【解析】代入消元
【答案】⑴由②得，y kx k =-③，将③代入①得，22()20x kx k x +--=
整理得，2222(1)2(1)0k x k x k +-++= ∵222224[(1)(1)]4(1)0k k k k ∆=+-+⋅=+>
∴无论k 为何实数，方程组总有两个不同的实数解
⑵∵方程组的两个不同的实数解为1
1
x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩ ∴11y kx k =-，22y kx k =-
由韦达定理可得122122
21x x k x x k +=⎧⎪
⎨⋅=⎪+⎩
，
∴222222212121122121212()()(2)[()()](1)[()4]x x y y x x x x kx k kx k k x x x x -+-=-++---=+⋅+-
2
2
2(1)(44)41
k k k =+⋅-⨯=+
【例25】已知关于x 的方程①2230x mx m -+=的两个实根是1x 、2x 且212()16x x -=。

如果关于x 的另一个
方程22690x mx m -+-=的两个实数根都在1x 、2x 之间，求m 的值 【解析】韦达定理的应用与分类讨论的思想
【答案】解：∵1x 、2x 是方程①的两个实数根，∴122x x m +=，123x x m ⋅=
又∵212()16x x -= ∴21212()416x x x x +-= ∴241216m m -=，解得11m =-、24m =
⑴当1m =-时，方程①为2230x x +-=，解得13x =-，21x =；方程②为22150x x +-= 解得5x =-或3x =，而5-、3两数均不在3-与1之间，∴1m =-不符合题意，舍去 ⑵当4m =时，方程①为28120x x -+=，解得12x =，26x =，方程②为28150x x -+= 解得3x =或5x =，由于2356<<<，∴方程②的两根都在方程①的两个根之间，∴4m = 综合⑴⑵得m 的值是4
课堂检测
1. 已知m 、n 是一元二次方程2310x x -+=的两根，那么代数式222461999m n n +-+的值为
【解析】略
【答案】原式222222()2(3)19992[()2]2(3)19992011m n n n m n mn n n =++-+=+-+-+=
2. 在斜边为10的Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，两直角边a 、b 是方程2360x mx m -++=的两个根，求m 的值 【解析】略
【答案】由勾股定理得22100a b +=
又∵a 、b 是方程2360x mx m -++=的两个根 ∴a b m +=，36ab m =+
∴2222()22(36)100a b a b ab m m +=+-=-+=，整理得261120m m --= 解得14m =或8m =-
∵0a >、0b > ∴0m > ∴14m =
3. 若关于x 的方程222(1)(2)0x a x b ---+=有两个相等实根 ⑴求19983a b +的值；
⑵求作以a 、b 为根的一元二次方程 【解析】略
【答案】⑴∵关于x 的方程222(1)(2)0x a x b ---+=有两个相等实根
∴224(1)4(2)0a b ∆=-++=
∴1a =，2b =- ∴19983187a b +=-=-
⑵由题意得()()0x a x b --=，将1a =，2b =-代入整理得， 220x x +-=
4. 是否存在常数k ，使关于x 的方程224(35)60x k x k ---=的两个实数根1x 、2x ，满足213
2
x x =，如果存在，试求出所有满足条件的k 值；如果不存在在，请说明理由 【解析】此类问题应先假设k 值存在
【答案】解：假设存在满足条件的k ，则由韦达定理得1235
4
k x x -+=①，21232k x x =-②
∵23
02
k -≤ ∴120x x ≤ ∵2132x x =，∴2132x x =-③
由①②③解得11k =，25k =
当11k =，25k =时，∆均大于0
所以存在满足条件的常数k ，1k =或5
课后作业
1. 若方程20ax bx c ++=(0)a ≠的一个根是另一个根的3倍，则a 、b 、c 的关系是（）
A.2316b ac =
B.2316b ac =-
C.2163b ac =
D.2163b ac =-
【解析】韦达定理
【答案】不妨设方程20ax bx c ++=的两个根为1x 、2x ，且123x x =
∴1224x x x +=，则24b
x a =- ∴24b x a =-，将24b
x a =-代入方程20ax bx c ++=整理，即可得A
2. 一元二次方程20ax bx c -+=中，0a >，0b >，0c >，且0∆≥，则两个根的符号（
）
A.同为正
B.同为负
C. 一正一负
D.同号
【解析】韦达定理的应用
【答案】设20ax bx c -+=的两个实数根为1x 、2x ，则12120
b
x x a c x x a ⎧+=>⎪⎪⎨⎪⋅=>⎪⎩，∴两个根同为正
3.
若一元二次方程2(1)10m x m -+-=有两个相等的实数根，则_____m =
【解析】略
【答案】4m -
4. 已知1x 、2x 是方程2340x x --=的两个根，不解方程，求2
1
x x 的值
【解析】韦达定理的应用
【答案】根据题意得，123x x +=，124x x ⋅=- ∴2
2
221121212121212()2981744
x x x x x x x
x x x x x x x ++-++====-- 令2
1x k x =，则1174
k k +=-，整理得241740k k ++=
解之得14k =-，214k =-，∴2
1x x 的值为4-或1
4
-
5. 已知a 、b 、c 是三角形的三边长，求证：222222()0b x b c a x c ++-+=没有实数根
【解析】略
【答案】222222()4b c a b c ∆=+--
222222(2)(2)b c a bc b c a bc =+-++--
2222[()][()]b c a b c a =+---
()()()()b c a b c a b c a b c a =+++----+
∵a 、b 、c 是三角形三边长
∴()()()()0b c a b c a b c a b c a +++----+<
∴方程222222
++-+=没有实数根
()0
b x b
c a x c。