重庆市万州第二高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题

重庆市万州第二高级中学2020-2021学年高二上学期期中数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若直线210ax y ++=与直线220x y +-=互相垂直，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．4 D ．4- 2．在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA a =, OB b =，OC c =，那么向量AP 用基底{}
,,a b c 可表示为（ ）
A ．111222
a b c -++ B ．1122a b c -++ C ．1122a b c ++ D ．111222a b c ++
3．P 是圆()22:34M x y +-=上的动点，则P 到直线30l y --=的最短距离为
（ ）
A ．5
B ．3
C ．2
D ．1
4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1A 到平面1ABC 的距离为（ ）
A ．1
B ．2
C D
5．如图，在四面体ABCD 中，已知35
AE AB =，2AF FC =，3GD AG =，则四面体ABCD 被截面EFG 分得的上下两部分的体积之比为（ ）
A ．18
B ．
19 C ．110 D ．415 6．已知直线1l ：310mx y m --+=与直线2l ：310x my m +--=相交于点P ，线段AB
是圆C ：()()22114x y +++=的一条动弦，且AB =D 是线段AB 的中点.则PD 的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．1 7．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两
个半平面内，且均与棱AB 垂直，若AB =1AC =，2BD =，
则CD 的长为（ ）.
A ．2
B ．3
C ．
D ．4
8．在边长为a 菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则a =（ ）
A B C D ．3
二、多选题
9．已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（ ）
A ．若m α⊥，n α⊥，则//m n
B ．若//m α，m ∥β，则//αβ
C ．若,//m αββ⊥，则m α⊥
D ．若//,m αβα⊥，则m β⊥ 10．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且60DAB ∠=，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）
A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PM
B B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90
C ．二面角P BC A --的大小为45
D ．BD ⊥平面PAC 11．圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）
A ．公共弦A
B 所在直线方程为0x y -=
B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=
C ．公共弦AB
的长为2
D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB
1 12．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A ．11DC D P ⊥
B ．1APD ∠的最大值为90°
C ．1AP P
D +
D ．1C P 与平面11A B BA
所成角正弦值的取值范围是2⎣⎦
三、填空题
13．已知空间向量(3,1,3),(1,,1)m n λ==--，且//m n ，则实数λ=________．
14．已知x ，y 满足约束条件221x y y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩
，则23z x y =-的最大值为________．
15．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2
的正方形，PA PD ==面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是__________
.
四、双空题
16．已知圆224O x y +=：，过点)
P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，其中1l 交该圆于A ，B 两点，2l 交该圆于C ，D 两点，则AB 的最小值是_____，AB CD +的最大值是_____．
五、解答题
17．一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为1m ，高为2m 的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是多少？体积为多少？
18．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过(3,4),(3,2),(0,1)P Q R -三点.
（1）求圆C 的方程；
（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且CA CB ⊥，求a 的值.
19．如图所示，在四面体A BCD -中，点P ，Q ，R 分别为棱,,BC BD AD 的中点，
,2,AB BD AB PR CD ⊥===
（1）证明：//CD 平面PQR ；
（2）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；
（3）面 PQR 与四面体A BCD -的截面交AC 于F 点，指出F 点在AC 的什么位置，
并说明理由．
20．如图，面积为8的平行四边形ABCD ，A 为原点，点B 的坐标为()2,1-，点C ，D 在第一象限．
（1）求直线CD 的方程；
（2）若||BC =，求点D 的横坐标．
21．如图，在等腰直角三角形ADP 中，90A ∠=︒，3AD =，B ，C 分别是AP ，DP 上的点，且//BC AD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点.现将PBC 沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD -，连接EF .
（1）证明：//EF 平面PAD ；
（2）是否存在点B ，当将PBC 沿BC 折起到PA AB ⊥时，二面角P CD E --的余
弦值等于5
？若存在，求出AB 的长；若不存在，请说明理由.
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =
上. （1）若圆与,x y 轴交于点A ，B (不同于原点O )，求证：AOB 的面积为定值；
､F ，点P 为直线5x 上的动点，直线,PE PF 与圆M 的另一个交点分别为G ，H(点G ､H 与E ､F 不重合)，求证：直线GH 过定点.
参考答案
1．B
【分析】
根据斜率相乘等于1-列方程求解即可.
【详解】
直线210ax y ++=的斜率为2
a -， 直线220x y +-=的斜率为2-，
因为直线210ax y ++=与直线220x y +-=互相垂直， 所以()2112a a ⎛⎫-⨯-=-⇒=- ⎪⎝⎭
， 故选：B.
2．B
【分析】
先根据点P 为棱BC 的中点，则()
12OP OB OC =+，然后利用空间向量的基本定理，用,,a b c 表示向量AP 即可.
【详解】
点P 为棱BC 的中点， ()12OP OB OC ∴=+， ()
12AP OP OA OB OC OA ∴=-=+-， 又,,OA a OB b OC c ===，
()
111222AP OB OC OA a b c ∴=+-=-++，故选B. 【点睛】
本题主要考查空间向量的基本定理，以及向量的中点公式，要求熟练掌握，同时考查了转化与划归的思想的应用，属于基础题.
3．D
【分析】
利用点到直线的距离公式可求得圆心到直线的距离，再减去半径即为所求.
【详解】
如图，过M 作MA l ⊥于A ，当P 在线段MA 上时，PA
为最短距离，3MA ==，
21PA MA =-=.
故选：D.
【点睛】
本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，解决问题的灵活性. 4．B
【分析】
由已知求出棱锥11A ABC -的体积，再由等体积法求点1A 到平面1ABC 的距离．
【详解】
正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， ∴1111122
A A
B S =⨯⨯=， 又1
C 到平面11AA B B 的距离为1， ∴111111326
C AA B V -=⨯⨯=， 而1AB BC ⊥
，1BC
，则1112ABC S =⨯= 设点1A 到平面1ABC 的距离为h ，
由1111C AA B A ABC V V --=
，得1136h =
，h ∴． 故选：B ．
【点睛】
求点到面的距离常见方法：1、直接求出垂线段；2、利用体积相等求解；3、建立坐标系，利用空间向量求解.
5．B
【分析】
设ABC 的面积为S ，点D 到平面ABC 的距离为h ，可得13
ABCD V Sh =，根据题意得出25AEF S S =
△，点G 到平面ABC 的距离为14
h ，即可求得130AEFG V Sh =，进而得出体积之比. 【详解】
设ABC 的面积为S ，点D 到平面ABC 的距离为h ，则13
ABCD V Sh =， 35AE AB =
，2AF FC =，∴322535
AEF S S S ⋅⨯==△， 3GD AG =，∴点G 到平面ABC 的距离为14h ，于是121135430AEFG V S h Sh =⋅⋅=， 则四面体ABCD 被截面EFG 分得的上下两部分的体积之比为
111:1:9303
30Sh Sh Sh ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故选：B.
【点睛】 关键点睛：本题考查三棱锥体积的有关计算，解题的关键是利用线段比例关系得出
25AEF S S =
△，点G 到平面ABC 的距离为14
h ，即可求出体积之比. 6．D 【分析】
根据条件可先判断出12l l ⊥并结合直线过定点确定出P 的轨迹方程，再根据条件计算出CD 的长度，结合图示说明何时PD 有最大值并计算出最大值.
【详解】
由题意得圆C 的圆心为()1,1--，半径2r ，易知直线1l ：310mx y m --+=恒过点()3,1M ，
直线2l ：310x my m +--=恒过()1,3N ，且12l l ⊥，∴P 的轨迹是以MN 为直径的圆， ∴
点P 的轨迹方程为()()22
222x y -+-=，圆心为()2,2， 若点D 为弦AB 的中点，位置关系如图：
连接CD ，由AB =2431CD .
max max 11PD PC CD ∴=+==，
此时,,P C D 三点共线且C 在线段PD 上，
故选：D.
【点睛】
本题考查和圆有关的轨迹问题，解答此类问题时作出图示能有效帮助分析问题，这类问题对学生的分析与作图能力要求较高，难度较难.
7．B
【分析】
由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2CD ，则CD 的长可求．
【详解】 解：CD CA AB BD =++，
∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，
CA AB ⊥，
BD AB ⊥，
∴0CA AB =，0BD AB =，
()1||||cos 1801201212
CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=． ∴2124219CD =+++⨯=，
||3CD ∴=，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．B
【分析】
分别找出,ABD BCD ∆∆外心的位置，过两个三角形的外心分别作出面的垂线相交于点O ，得到点O 为球的球心，并设三角形的边长为a ，利用勾股定理列出关于a 的方程.
【详解】
解:如图①所示，取BD 的中点M ，连接,AM CM ，
由题意知,ABD BCD ∆∆都是等边三角形，设边长为a .如图②，
由题意知AMC ∆为等腰直角三角形，在Rt AMC ∆中，,P Q 分别是,CM AM 上靠近M 的三等分点.
OC 即为三棱锥A BCD -外接球的半径，
所以245OC ππ=.在Rt OPC ∆中，22
2125334OC ππ⎫⎫⨯+⨯==⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得：
a =故选:B
【点睛】
本题以平面图形的翻折为背景，考查三棱锥与球的切接问题，考查空间想象能力和运算求能能力，注意翻折前后的不变量及确定球的球心的常用方法.
9．AD
【分析】
根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以A 正确；
若l αβ=，当//m α，m ∥β时，平面α与β不一定平行，所以B 不正确；
由,//m αββ⊥，则m 可能在平面α内，所以C 不正确；
由两平面平行，其中一个平面的垂线也一定垂直于另外一个平面，所以D 也是正确的. 故选：AD.
【点睛】
本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，属于基础题.
10．ABC
【分析】
取AD 的中点M ，连接,PM BM ，证明AD ⊥平面PMB 可判断AB ；证明BC ⊥平面PMB ，BC PB ⊥,BC BM ⊥，可求出PBM ∠是二面角P BC A --的平面角求出角的大小可判断C ；假设BD ⊥平面PAC ，则BD PA ⊥，推出PA ⊥平面ABCD ，与PM ⊥平面ABCD 矛盾可判断D .
【详解】
如图，取AD 的中点M ，连接,PM BM ，∵侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是菱形，60DAB ︒∠=，ABD ∴是等边三角形，AD BM ∴⊥，又
PM BM M ⋂=，,PM BM ⊂平面PMB ，
AD ∴⊥平面PMB ，AD PB ⊥，故A ，B 正确；
对于C ，∵平面PBC 平面ABCD BC =，//BC AD ，BC ∴⊥平面PMB ，BC PB ∴⊥,BC BM ⊥，PBM ∴∠是二面角P BC A --的平面角，
设1AB =，则BM =PM = 在Rt PBM △中，tan 1PM PBM BM
∠==，即45PBM ︒∠=，故二面角P BC A --的大小为45︒，故C 正确；
对于D ，假设BD ⊥平面PAC ，则BD PA ⊥，又依题意平面PAD ⊥平面ABCD ，AD BM ⊥，则BM ⊥平面PAD ，故BM PA ⊥，而BD ，BM 相交，且在平面ABCD 内，故PA ⊥平面ABCD ，与PM ⊥平面ABCD 矛盾，因此BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，异面直线夹角及二面角的求解，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明，对于一些证明，有时也可以考虑反证法，本题综合性较强.
11．ABD
【分析】
两圆作差即可求解公共弦AB 所在直线方程，可判断A ；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆1O 的圆心即可线段AB 中垂线方程，可判断B ；求出圆心1O 到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C ；求出圆心1O 到公共弦AB 所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.
【详解】
对于A ，由圆22
1:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ， 两式作差可得440x y -=，
即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；
对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，
则线段AB 中垂线斜率为1-，
即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确； 对于C ，圆22
1:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为
2
d ==1r =
所以AB ==，故C 不正确； 对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x y -
=的距离为
d =，半径1r =，即P
到直线AB 距离的最大值为12+， 故D 正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系、求公共弦所在的直线方程、求公共弦、点到直线的距离公式，圆上的点到直线距离的最值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
12．ACD
【分析】
证明1DC ⊥平面11A BCD ，即可得出11DC D P ⊥；当112
A P =时，求出11,,AP D P AD 的长度，再由余弦定理得出1cos 0APD ∠<，从而判断
B 项，将面1AA B 与11A BCD 沿1A B 展开成平面图形，可知线段1AD 即为1AP PD +的最小值，再由余弦定理求出最小值；由11B
C ⊥平面11A B BA 得出1C P 与平面11A B BA 所成角为11B PC ∠，结合直角三角形的边角关系得出1C P 与平面11A B BA 所成角正弦值的取值范围.
【详解】
连接1CD ，如下图所示
对于A 项，由于11A D ⊥平面11CDD C ，则111A D DC ⊥，由1DC ⊥1CD ，结合线面垂直的判定定理可得1DC ⊥平面11A BCD ，又1D P ⊂平面11A BCD ，所以11DC D P ⊥
对于B 项，当112A P =
时，AP ==
12D P ==
，1AD =1APD △
中，1552cos 0APD +-
∠=<，则1APD ∠可以为钝角，则B 错误； 对于C 项，将面1AA B 与11A BCD 沿1A B 展开成平面图形，如下图所示
则线段1AD 即为1AP PD +的最小值
在11D A A △中，11135D A A ︒∠=
由余弦定理得1AD ==，即1AP PD +
的最小值为
对于D 项，由于11B C ⊥平面11A B BA ，且111B C B P ⊥，则1C P 与平面11A B BA 所成角为11B PC ∠，则1111sin B PC C P ∠=
1C P ≤≤
116sin B PC ∠，即1C P 与平面11A
B BA
所成角正弦值的取值范围是,23⎣⎦
故选：ACD
【点睛】 方法点睛：求几何体表面上两点的最小距离的方法：利用展开图求立体图形表面上两点的最短距离.
13．13
-
【分析】
直接利用空间向量平行的性质列方程求解即可．
【详解】
空间向量(3,1,3),(1,,1)m n λ==--，且//m n ， ∴131
λ-=， 解得实数
13
λ=-．
故答案为：13
-．
14．4
【分析】
先根据约束条件画出可行域，将23z x y =-表示成斜截式，只需求出直线在y 轴上的截距最值即可．
【详解】 x ，y 满足约束条件221x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩
，
画出图形，如图，
目标函数23z x y =-，化为233
z y x =-， 由22x y y x +=⎧⎨=-⎩
，解得点(2,0)A ， 直线233z y x =
-经过A 时纵截距最小， 此时z 在点A 处有最大值：22304z =⨯-⨯=，
故答案为：4．
【点睛】
求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值
.
15
【详解】
以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，
设1(1,2,0),(1,2,0),(0,0,2)(,1,1)2B C P M -∴- 因此3(,1,1)2
BM =-- ,设平面PCO 一个法向量为(,,)(0,0,2)00(,,)(,,)(1,2,0)02x y z z n x y z x y z x y ⋅==⎧⎧=∴∴⎨⎨⋅-==⎩⎩
，取(2,1,0)n = 因此直线BM 与平面PCO
所成角的正弦值是3cos ,17BM n -
-=
=16．2 【分析】
将AB 用圆心到AB 的距离表示，再利用直角三角形中，直角边小于斜边，即可求得AB 的最小值；将AB CD +用圆心到两弦的弦心距表示，再利用基本不等式，即可求得AB CD +的最大值.
【详解】
过O 作OE AB ⊥，交AB
于点E ，过O 作OF CD ⊥，交CD 于点F ，
连接OA ，OC ，
设圆心O 到AB 的距离为1d ，圆心O 到CD 的距离为2d ，
则AB == 又OE OP ≤
∴圆心O 到AB 的距离1d 的最大值为OP =，
∴AB 的最小值为min 2AB ==，
AB CD +== 又2
22123d d OP +==，
≤==，
当且仅当12d d ==时，等号成立，
所以42
AB CD +=≤⨯=
所以AB 的最小值为2，AB CD +的最大值是.
故答案为：2；.
【点睛】
本题主要考查的是圆的弦长的计算，其中涉及到基本不等式的应用，属于中档题.涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种：（1）几何法：利用半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；（2）代数法：将直线方程与圆的方程组成方程组，设出交点坐标，若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解；若交点坐标不易求，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可求弦长.
17．表面积为22m π+，体积为
343
m π 【分析】 根据圆锥和球的表面积和体积的计算公式求解即可.
【详解】
=
则该组合体的表面积为()()221141212m 22
πππ⨯⨯+⨯⨯=+ 该组合体的体积为323m 14141122333πππ⎛⎫=
⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ 18．（1）()()22319x y -+-=；（2）1a =或5-.
【分析】
（1）因为圆C 的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，所以可设圆C 的圆心为(),1t ，即可求出参数t ，得到圆心坐标，再求出圆的半径，从而求出圆的方程；
（2）依题意可得ACB △为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离3sin 45d =︒，从而求出参数的值；
【详解】
解：（1）因为圆C 的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，所以可设圆C 的圆心为()1t ，
， 则有()()()222
231411t t -+-=+-，解得3t =.即圆心为()31，
则圆C 3=.
所以圆C 的方程为()()22319x y -+-=.
（2）因为圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且CA CB ⊥，所以ACB △为等腰直角三角形，点C 到直线AB 距离3sin 45
d =︒=
解得15a =-或.
【点睛】
本题考查几何意义法求圆的方程，直线与圆的位置关系求参数的值，属于基础题.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）F 为AC 中点.
【分析】
（1）证明//PQ CD ，则可得//CD 平面PQR ；
（2）证明RQ BD ⊥，RQ PQ ⊥，则可证明RQ ⊥平面BCD ，即可得平面ABD ⊥平面BCD ；
（3）由直线与平面的性质可得//RF CD ，所以F 为AC 中点.
【详解】
（1）,P Q 分别为,BC BD 的中点，//PQ CD ∴，
又PQ ⊂平面PQR ，CD ⊄平面PQR ，所以//CD 平面PQR ；
（2）,R Q 分别为,AD BD 的中点，//RQ AB ∴，
又AB BD ⊥，所以RQ BD ⊥，
因为111,22
RQ AB RP PQ CD =====222RQ PQ PR +=， 所以RQ PQ ⊥，
,QP BD Q PQ ⋂=⊂平面,BCD BD ⊂平面BCD ，
RQ ∴⊥平面BCD ，又RQ ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ；
（3）因为//CD 平面PQR ，且平面PQR 平面ACD RF =，CD ⊂平面ACD ， 所以//RF CD ，又R 为AD 中点，所以F 为AC 中点.
20．（1）280x y +-=；（2）1.2或2.
【分析】
（1）设出直线CD 的方程220x y m +-=，根据平行四边形的面积、点到直线的距离公式
求得m ，进而求得直线CD 的方程.
（2）结合D 在直线CD
上以及||BC =D 点的横坐标.
【详解】
（1）依题意1122AB CD k k -==
=-，设直线CD 的方程为12
y x m =-+， 即220x y m +-=.
设原点()0,0到直线CD 的距离为d ，
AB ==，
由于平行四边形ABCD 的面积为8，
所以8,d AB d ⋅==由点到直线的距离公式得()0,0到直线CD 的距离为
=，解得4m =±， 由于,C D 在第一象限，所以4m =.
所以直线CD 的方程为280x y +-=.
（2）设(),D a b
，由于AD BC ==
，
所以280
a b +-=⎧⎪= 1.2a =或2a =. 即D 点的横坐标为1.2或2.
【点睛】
本小题主要考查直线方程的求法，考查点到直线距离公式，属于中档题.
21．（1）证明见解析（2）存在点B ，此时AB 的长为1
【分析】
（1）作//CM AB 交AD 于点M ，连接PM ，取PM 中点N ，连接AN ，FN ，证明四边形AEFN 是平行四边形，从而得到//EF AN ，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）证明AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面PCD 和平面CDE 的法向
量，求出法向量夹角的余弦值，可得二面角P CD E --的余弦值，结合题意，列方程求解即可.
【详解】
（1）证明：作//CM AB 交AD 于点M ，连接PM ，取PM 中点N ，连接AN ，FN ，
由中位线定理得//FN CM ，且12FN CM =
， 因为E 是AB 的中点，
所以//AE CM ，且12
AE CM =， 故//FN AE ，且FN AE =，
所以四边形AEFN 是平行四边形，
所以//EF AN ，
因为AN ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，
所以//EF 平面PAD .
（2）解：存在.
理由如下：
因为BC AB ⊥，BC PB ⊥，且AB PB B ⋂=，AB
平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，
所以BC ⊥平面PAB ，
又//BC AD ，
所以AD ⊥平面PAB ，
又PA ⊂平面PAB ，
所以PA AD ⊥，
又AB AD ⊥，PA AB ⊥，
所以AB ，AD ，AP 两两垂直，
以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB a ，则3PB BC a ==-，
由PB AB >，得302
a <<
，PA = 所以(0,0,0)A ，(,3,0)C a a -
，P ，(0,3,0)D ，
所以(,,0)DC a a =-
，(0,DP =-
设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，
则030
DC n ax ay DP n y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取1y =， 则1,1,9n ⎛
= ⎝， 又平面CDE 的一个法向量(0,0,1)m =，
若存在点B ，当将PBC 沿BC 折起到
PA AB ⊥时，二面角P CD E --
的余弦值等于5
， |||cos ,||||
|n m n m n m ⋅=<>
=，
=， 解得1a =，即AB 的长为1.
故存在点B ，此时AB 的长为1.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理与线面垂直的性质定理，考查了利用空间向量求二面角，考查了方程思想，属于中档题.
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意设圆心为（t
，
t ），半径
r=，可得圆的方程，分别令x＝0，y＝0，
运用三角形的面积公式，计算即可得证；
（2）设P（5，y0），G（x1，y1），H（x2，y2），求得E，F的坐标，PE和PF的方程，联立圆的方程,设直线GH的方程为y＝kx+b，代入圆的方程，运用韦达定理，可得k，b的关系，即可得到所求定点．
【详解】
（1）由题意设圆心为（t
，半径
r=，则圆M
的方程为
2
22
2
3
()
x t y t
t
⎛
-+-=+
⎝⎭
，
即2220
x y tx y
t
+--=.
令0
x=
，得y=0
y=，得2
x t
=.
∴
11
|||||2|
22
AOB
S OA OB t
=⋅==(定值).
（2
）联立方程(
y
M
y
x
⎧=
⎪
∴
⎨
=
⎪
⎩
，可得圆M
的方程为22
(1)(4
x y
-+-=. 设()0
5,
P y，()
11
,
G x y，()
22
,
H x y，
又易知(
E-
，F，
所以01
1
61
PE GE
y y
k k
x
-
===
+
，02
2
23
PF FH
y y
k k
x
===
-
.则
03PE
PF y k k == 因为3PE PF k k =
，所以((
)(()22122212913y y x x ⨯=+-.
因为G ，H
满足圆的方程，得(()221141y x -=--
，(()22
2241y x =--，并将它们代入上式中
整理得()121227200x x x x -++= 设直线GH 的方程为y kx b =+
，代入22(1)(4x y -+=，
整理得(
)2221(22)0k x kb x b ++--+-=.
所以12x x +=
，12x x ⋅=代入①
式，并整理得22(71030b k b k +-+-+=，
即(250b k b k ++-=
，解得2b k =
或5b k =.
当2b k =时，直线GH
的方程为(2)y k x =-
；
当5b k =时，直线GH
的方程为(5)y k x =-+
检验定点和E ，F 共线，不合题意，舍去.
故GH
过定点.
【点睛】
本题考查圆的方程的求法和运用，注意运用联立直线方程和圆的方程，消去一个未知数，运用韦达定理，考查直线方程的运用和恒过定点的求法，考查运算能力，属于难题．。