2020届河北衡水中学新高考押题信息考试(十一)理科数学

2020届河北衡水中学新高考押题信息考试（十一）
数学（理科）
★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合x A {y |y 2,x R}==∈，B {x |y x R}==∈，则A B (⋂= ) A. {}1 B. ()0,∞+ C. ()0,1 D. (]
0,1 【答案】D 【解析】 分析】
化简集合,A B ，根据交集的定义计算A B ⋂． 【详解】
因为集合{}
()|2,0,x
A y y x R ==∈=+∞，
化简{}
(]|1B x y x R ，
==∈=-∞， 所以(]
0,1A B ⋂=，故选D ．
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合．
2.复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C 【解析】 【分析】
由复数除法求出z ，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得
【详解】解析：()()()1111111222i i i i z i i i i +-+=
===-+--+Q ，11
22
z i ∴=--， 对应点为1
1(,)22
--，在第三象限． 故选：C ．
【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键． 3.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差
D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 【答案】D 【解析】
【详解】选项A 错，并无周期变化，选项B 错，并不是不断减弱，中间有增强．C 选项错，10月的波动大
小11月分，所以方差要大．D 选项对，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．选D.
4.已知函数()(1)()f x =x - a x+b 为偶函数且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f -x <的解集为（ ） A. (2,4) B. (,2)(4,)-∞⋃+∞
C. (-1,1)
D. (,1)(1,)-∞-+∞U
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数奇偶性的
定义，求出a ，b 的关系，结合函数的单调性判断a 的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可．
【详解】∵f（x ）=（x-1）（ax+b ）=ax 2+（b-a ）x-b 为偶函数， ∴f（-x ）=f （x ），
则ax 2-（b-a ）x-b=ax 2+（b-a ）x-b ， 即-（b-a ）=b-a ，
得b-a=0，得b=a ，
则f （x ）=ax 2-a=a （x 2-1），
若f （x ）在（0，+∞）单调递减， 则a ＜0，
由f （3-x ）＜0得a[（3-x ）2-1）]＜0，即（3-x ）2-1＞0， 得x ＞4或x ＜2，
即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞）， 故选B ．
【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a ，b 的关系是解决本题的关键． 5.等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则( ) A. A B C +=
B. 2B AC =
C. ()2
A B C B +-=
D. ()2
2
A B A B C +=+
【答案】D 【解析】
分析：由等比数列的性质，可知其第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.
详解：由等比数列的性质可知，
等比数列的第一个n 项和，第二个n 项和， 第三个n 项和仍然构成等比数列， 则有,,A B A C B --构成等比数列，
()()2
B A A
C B ∴-=-，即222B AB A AC AB -+=-，
()22A B A B C ∴+=+，故选D.
点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前n 项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.
6.将函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，
再将所得图像向左平移
12
π
个单位得到数学函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ）
A. 24
x π
=-
B. 4
x π
=
C. 524
x π
=
D. 12
x π
=
【答案】A 【解析】
分析：根据平移变换可得243y sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，根据放缩变换可得函数()g x 的解析式，结合对称轴方程求
解即可.
详解：将函数()223f x sin x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半， 纵坐标不变，得到243y sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
再将所得图象向左平移12
π
个单位得到函数()
g x 的
图象，
即()224241233g x sin x sin x πππ⎡⎤
⎛⎫⎛
⎫=+
+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 由24,32
x k k Z ππ
+
=+π∈， 得1,424
x k k Z π
=
π-∈， 当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24
x π
=-
，故选A.
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2π
ω
；
由2
x k π
ωϕπ+=+
可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.
7.如图正方体1111ABCD A B C D -，点M 为线段1BB 的中点，现用一个过点,,M C D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）
A. B. C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可． 【详解】上半部分的几何体如图：由此几何体可知，
所得的侧视图为
故选B ．
【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
8.如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A.
1π
B.
12π
C.
11
42π
-
D.
112π
- 【答案】D 【解析】 【分析】
先设出圆O 的半径，然后算出阴影部分的面积，再计算出圆O 的面积，最后利用几何概型公式求出概率. 【详解】设圆O 的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为S ,则
2112111424
S ππ-=⋅-⨯⨯=，圆O 的面积为224ππ⋅=，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的
概率是P ，则82411442S P ππππ
-=
==-,故本题选D. 【点睛】本题考查了几何概型，正确计算出阴影部分的面积是解题的关键，考查了数学运算能力.
9.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>与函数)0y x ≥的图象交于点P ，若函数y =P 处的切线过双曲线左焦点()4,0F -，则双曲线的离心率是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
设P 的坐标为(m ，用导数表示P 点处切线斜率，再由,P F 两点坐标表示斜率，由此可求得m ，即P 点坐标，写出左焦点坐标，由双曲线定义求得a ，从而可得离心率．
【详解】解析：设P 的坐标为(m ，由左焦点()4,0F -，函数的导数'()
f x =
，
则在P 处的切线斜率'()
4
k f m m ===
+， 即42m m +=，得4m =
则()4,2P ，设右焦点为()4,0A ，
则)
22
1a PF PA =-=
=，即1a =，
4c =Q ∴双曲线的离心率1
4
c e a =
=
． 故选：D ．
【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查导数的几何意义．考查双曲线的定义．解题关键是把切线的斜率用两种方法表示，从而可求得结论．
10.设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）
A. (0,4)
B. (2,
C.
D. 4)
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可得022
A π
<<且
32
A π
π<<,解得A 的范围，可得cos A 的范围，由正弦定理求得由正弦定理可
求得
1
2cos 2
b b A a ==,根据cos A 的范围确定出b 范围即可. 【详解】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b
c ，若2,2a B A ==，
∴ 022
A π
<<，3A B A +=,
32
A π
π∴<< 6
3
A π
π
∴
<<
，04
A π
<<
cos 22
A ∴
<<
2,2a B A ==Q ,
由正弦定理得
1
2cos 2
b b A a ==，即4cos b A =
4cos A ∴<
则b 的取值范围为,故选C.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦函数的性质，属于中档题.解题关键是根据三角形为锐角三角形，求出角A 的取值范围.
11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（ ）
A.
1 B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定
理、线面平行的性质定理可以得出11///M N AC ，设11DM DN x ==，由此可以求出||MN 的最小值. 【详解】作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，如下图所示：
在正方体1111ABCD A B C D -中，根据面面垂直的性质定理，可得11,MM NN ,都垂直于平面ABCD ，由线面垂直的性质，可知11MM NN P ，易知：1111//M M A N N ACC 平面，由面面平行的性质定理可知：11//M N AC ，设11DM DN x ==，
在直角梯形11MM N N 中，
2
22211(2)(12)633MN x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝
⎭，当13x =时，||MN 3 故本题选D.
【点睛】本题考查了线段长的最小值的求法，应用正方体的几何性质、运用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质、线面平行的性质定理，是解题的关键.
12.已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有
2()
e ()
x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )
A. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C. [0,)+∞
D. (,0]-∞
【答案】B 【解析】 【分析】
先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.
【详解】令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0x g x e f x f x ''=+>， 又()()()()x x g x e f x e f x g x --=-==，所以()g x 为偶函数，
从而()()211a
e f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a e f a e f a g a g a +++≥++≥+，
因此2
2
(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3
g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-
≤≤选B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.()5
212x x +-展开式中的6
x
的系数为_______
【答案】30 【解析】 【分析】
利用组合知识，5个212x x +-相乘，其中含6x 的项，可以5个括号中3个取22x -，剩余2个取1，也可以2个取22x -剩余的3个括号中选2个取x ，剩余1个取1，还可以5个括号选一个取22x -，剩余4个取x ，这3项的系数和即为所求.
【详解】利用组合知识，含6x 的项可以分3种情况取得，第一种取3个22x -，剩余两个取1，即323
5(2)C x - .
第二种选2个括号提供22x -，剩余的3个括号中选2个取x ，剩余1个取1，即222
2253(2)C x C x -，第三
种5个括号选一个取22x -，剩余4个取x ，即12
4454(2)C x C x -，合并同类项，系数为80+1201030--=，
故填30.
【点睛】本题主要考查了含三项的二项式展开式问题，利用组合知识解决比较简单，属于中档题. 14.现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有______种不同的分法（用数字作答）. 【答案】240 【解析】 【分析】
先求出甲、乙连号的情况，然后再将剩余的4张票分给其余4个人即可．
【详解】甲、乙分得的门票连号，共有2255210A =⨯=种情况，其余四人没人分得1张门票，共有4424
A =
种情况，
所以共有1024240⨯=种． 故答案为240．
【点睛】本题考查两个原理的应用和排列数的计算，考查应用所学知识解决问题的能力，属于基础题．
15.考虑函数x y e =与函数y lnx =的图象关系，计算：2
e 1
lnxdx =⎰
______．
【答案】21e +. 【解析】
分析：根函数x
y e =与函数ln y x =互为反函数，其图象关于直线y x =对称，
所以两部分阴影面积相等，利用2
1
ln e xdx =
⎰
()2
x
e e dx -⎰求解即可.
详解：
Q 函数x y e =与函数ln y x =互为反函数，
其图象关于直线y x =对称， 所以两部分阴影面积相等，
又Q 函数x y e =直线2
y e =的交点坐标为(
)2
2,e
，
2
1
ln e xdx =
⎰()()2
2
22
200
|1x x e
e dx e x e e -=-=+⎰，故答案为21e +.
点睛：本题主要考查反函数的性质、定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分
()b
a
f x dx ⎰的几
何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分
来求解.
16.已知()f n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则()123f =；21的因数有1，3，7，21，则()2121f =，那么()()10050
51
1
i i f i f i ==-=∑∑_________.
【答案】1656 【解析】 【分析】
根据()f n 的定义求出()f i ，1,2,,100i =L ，然后再求值． 【详解】解析：()f n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，
()()2f n f n ∴=，且n 为奇数时，()f n n =，其中[]1,100n ∈；
()()()()()()()()()max min 9999,6424816321f n f f n f f f f f f =========
那么
()()()()100
51
()515253...100i f i f f f f ==++++∑
51135327557572959156131=+++++++++++6316533671769357197337++++++++++++ 75197739795814183218543++++++++++++ 87118945912393479539749++++++++++++
()
5019999251357911 (9925002)
⨯+++=+++++++==
那么
()50
1
1131537195113i f i ==++++++++++++∑1371511791952111++++++++++
2332513277291531133++++++++++17359371939541214311+++++++++++ 45234734925
++++++()()
135...2931...495121514182213151719212325=++++++++++++++++++++()
251492198442
⨯+=
+=
∴那么100
50
51
1
()()25008441656i i f i f i ==-=-=∑∑．
故答案为：1656．
【点睛】本题考查新函数的定义，理解新函数的定义是解题关键．解题时按新函数定义计算即可．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （1）必考题：共60分
17.ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足sin 4a C π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
（1）求角B ；
（2sin A C -的取值范围.
【答案】（1）4B π
=；（2）2⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）由两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得cos B sin C ＝sin C sin B ，结合sin C ≠0，可求cos B ＝sin B ，
结合范围0＜B ＜π，可求B 的值；（2）由B
4
π
=，sin A
﹣sin C ＝cos C ，由范围0＜C 34
＜
π
，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围． 【详解】（1）由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B =+ 因
：()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+
故cos sin sin B C CsinB = 因为sin 0C ≠，所以cos sin B B = 因为0B π<<，所以4
B π
=
（2）因为4
B π
=
，所以sin y A C =-=
3sin cos 4C C C π⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
又因为304C π<<
，且cos y C =在30,4
π
⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
所以sin y A C =-的取值范围是,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
. 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综
合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.如图所示，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且DAB DBF 60∠∠==o ．
()1求证：AC ⊥平面BDEF ；
()2求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析. 15. 【解析】 【
分析】
（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，由菱形的性质可得AC BD ⊥，由等腰三角形的性质可得
AC FO ⊥，利用线面垂直的判定定理可得结果；(2)先证明FO ⊥平面ABCD .
可得OA ，OB ，OF 两两垂直，以OA ，OB ，OF 建立空间直角坐标系O xyz -，求出()
3,1,0AD =--u u u v
，
利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面ABF 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点，
∵FA FC =，∴AC FO ⊥， 又FO BD O ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF .
（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD . ∵OA ，OB ，OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示， 设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，∴2BD =，23AC =∵DBF ∆为等边三角形，∴3OF =∴(
)
3,0,0A
，()0,1,0B ，()0,1,0D -，(3F ，
∴()3,1,0AD =--u u u v
，()3,0,3AF =-u u u v ，()
3,1,0AB u u u v
=-.
设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =v
，则·330·
30AF n x z AB n x y ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v
， 取1x =，得()
1,3,1n =v
.设直线AD 与平面ABF 所成角为θ，
则·15sin cos ,5·AD n AD n AD n
θ===u u u v v u u u v v u u u v v .
【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19.已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.
（1）求证：||||AC BD ⋅为定值； （2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】 【分析】
（1）设直线l 的方程为4x my =+,1122(,),(,)A x y B x y ，联立抛物线可得1216y y m +=，1264y y =-，结合抛物线定义可得112||4,||42
p
AF x x BF x =+
=+=+,故12||||AC BD x x ⋅=化为纵坐标即可证出. （2）根据12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，1216x x =,化
2111
64
||||1248AB AF x x x ⋅=++
+，利用导数求最小值即可.
【详解】（1）有题意可知，(4,0)F
可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y
联立直线和抛物线方程2164
y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，
所以1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义可知，112||4,||42
p
AF x x BF x =+
=+=+， 又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，
所以22
2
1212264||||(||4)(||4)16161616
y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，
所以||||AC BD ⋅为定值16.
（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，
212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，
由1216x x =，可得21
16x x =
， 所以2
111
64
||||1248AB AF x x x ⋅=++
+（其中1>0x ）， 令2
64()1248f x x x x =+++，2
22
642(2)(4)()212x x f x x x x -+'=+-=， 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，利用导数求函数最值，定值问题，属于难题.解决此类性问题，一般要联立方程组，根据根与系数的关系得到两个交点坐标之间的关系，特别注意涉及抛物线时，要主动考虑抛物线定义的使用.
20.某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为A 、B 、C 三类工种，从事这三类工种
的人数分别为12000、6000、2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：
已知A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年10万元.
（1）求保险公司在该业务所获利润的期望值；
（2）现有如下两个方案供企业选择：
方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；
方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.
根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) 方案2．
【解析】
【分析】
（1）分别计算保险公司在三种工种的利润的数学期望，从而可得出保险公司的总利润期望；
（2）分别计算两种方案的企业支出费用，从而得出结论．
【详解】解：（1）设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则X、Y、Z的分布列为：
∴E （X ）＝25×（15110-
）+（25﹣100×104
）5
110⨯=15， E （Y ）＝25×（152110--）+（25﹣100×104
）
5210⨯=5， E （Z ）＝40×（14110-）+（40﹣50×104）41
10
⨯=-10，
保险公司的利润的期望值为12000×15+6000×5﹣2000×10﹣100000＝90000， ∴保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．
（2）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为： 12000×100×1045110⨯
+6000×100×1045210⨯+2000×50×104
4
110
⨯+12×104＝46×104， 方案2：企业与保 险公司合作，则企业支出保险金额为： （12000×25+6000×25+2000×40）×0.7＝37.1×104， 46×104＞37.1×104， 建议企业选择方案2．
21.已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）比较222
222ln 2ln 3ln 23n n
++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.
【答案】（I ）见解析；（II ）见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）运用零点法，把函数()f x 的解析式进行分段表示，然后利用导数，判断每段函数的单调性； （Ⅱ）由由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以
ln 1
1x x x
<-.这样222
2
22ln 2ln 3ln 23n n
+++L 22211111123n <-+-+-L 222111123n n ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭L ，注意到211(2,)(1)
n n N n n n *
>≥∈+，最后可以得出：
222222ln 2ln 3ln (1)(21)
232(1)
n n n n n -+++⋯+<+. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 可化为ln ,()ln ,0x x a x a
f x a x x x a
--≥⎧=⎨--<<⎩，
当0x a <<时，1
()10f x x '=--
<，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的， 当x a ≥时，11()1x f x x x
'
-=-=，此时要考虑a 与1的大小.
若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，
若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减， 在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以 当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增； 当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以
ln 1
1x x x
<-.所以 222
2
22ln 2ln 3ln 23n n
+++L 22211111123n <-+-+-L 222111123n n ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭L 11112334(1)n n n ⎛⎫<--+++ ⎪⨯⨯+⎝⎭L 1
1121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭1(1)2(1)n n n -=--+ 2221(1)(21)
2(1)2(1)
n n n n n n --+-+==
++. 【点睛】本题考查了利用导数研究分段函数的单调性，利用数列与函数的关系，判断数列的和求代数式之间的大小关系，放缩法是解题的关键.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为sin x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
. （1）求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出直线的倾斜角；
（2）记直线l 与y 轴的交点为,Q M 是曲线C 上的动点，求点,M Q 的最大距离.
【答案】（1）2
216
x y +=，2y x =+，直线l 的倾斜角为4π
（2）
5
【解析】 【分析】
（1）由公式22sin cos 1αα+=消去参数得普通方程，由公式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
可得直角坐标方程后可得倾斜
角；
（2）求出直线l 与y 轴交点Q ，用参数表示M 点坐标，求出MQ ，利用三角函数的性质可得最大值．
【详解】（1）由,sin ,
x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去α得C 的普通方程是： 2216x
y +=
由sin 4πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，得sin cos 2ρθρθ-=， 将cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩代入上式，化简得2y x =+
直线l 的倾斜角为
4
π
（2）在曲线C 上任取一点)
,sin M
αα，
直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为()0,2
则MQ =
=
当且仅当2sin 5α=-
时，MQ . 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．求两点间距离的最值时，用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题． 23.已知函数()241f x x x =-++，x ∈R ． （1）解不等式()9f x ≤；
（2）若方程()2
f x x a =-+在区间[]0,2有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[]2,4-（2）19,74⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
【解析】
【分析】 （1）通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组，解出即可；
（2）根据题意，原问题可以等价函数y a =和函数25y x x =-+图象在区间[]0,2上有交点，结合二次函数的性质分析函数25y x x =-+的值域，即可得答案．
【详解】解：（1）()9f x ≤可化为2419x x -++≤，
故2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339
x x <-⎧⎨-+≤⎩； 解得：24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-；
不等式的解集为[]2,4-；
（2）由题意：()22
5f x x a a x x =-+⇔=-+，[]0,2x ∈． 故方程()2
f x x a =-+在区间[]0,2有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+，图像在区间[]0,2上有交点 Q 当[]0,2x ∈时，2195,74y x x =-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦
∴实数a 的取值范围是19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题．。