2018-2019学年贵州省都匀市第一中学高二12月月考数学(文)试题 解析版

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贵州省都匀市第一中学2018-2019学年高二12月月考数学
（文)试题
一、单选题
1．若直线，和相交于一点，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据直线，相交求出交点坐标，代入直线即可求解.【详解】
由解得，代入直线方程，解得，故选C.【点睛】
本题主要考查了直线方程，直线的交点，属于中档题.
2．已知椭圆长轴在轴上，若焦距为4，则等于（）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】8
【解析】
由椭圆的长轴在y轴上，
则a2=m﹣2，b2=8﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣10．
由焦距为4，即2c=4，即有c=2．
即有2m﹣10=4，解得m=7．
故答案为：7.
3．若直线与圆相切，则等于（）
A．或B．或C．或D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解方程求得结果。

【详解】
由题意可知，圆心坐标为，半径
直线与圆相切
解得：或
本题正确选项：
【点睛】
直线与圆相切时，要充分利用圆心到直线的距离等于半径的关系来进行求解。

4．对于直线，和平面，，，有如下四个命题：
（1）若，，则（2）若，，则
（3）若，，则（4）若，，，则
其中正确的是（）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
【答案】D
【解析】
【分析】
逐项分析答案即可选出.
【详解】
对于选项（1）若，，可能，推不出，对于选项（2）若，，可能，推不出，对于选项（3）若，，则可能相交推不出，对于选项（4）由，，知，又，所以正确，故选D.
【点睛】
本题主要考查了直线与平面平行，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，属于中档题.
5．直线与直线的距离为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两条平行线之间的距离公式计算即可.
【详解】
化简直线可得：
根据平行线间距离公式知，故选A.
【点睛】
本题主要考查了两条平行线之间的距离公式，属于中档题.
6．圆的一条直径的两个端点是，时，则此圆的方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆心为直径两端点的中点，得到圆心坐标；再利用两点间距离公式求得半径，从而得到圆的标准方程。

【详解】
直径两端点为圆心坐标为
圆的半径
圆的方程为：
本题正确选项：
【点睛】
求解圆的标准方程，关键是确定圆心和半径，属于基础题型。

7．如图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸，可知该几何体的体积是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图知该几何体为三棱柱，根据三棱柱体积公式即可求解.
【详解】
由三视图知该几何体为三棱柱，
,故选B.
【点睛】
本题主要考查了三视图，三棱柱的体积，属于中档题.
8．圆在点处的切线方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：圆的方程化为标准方程是(x-2)2+y2=4,点P是圆上的点,由圆的切线的几何性质
知,圆心与切点的连线与切线垂直,所以切线的斜率为,故切线方程是
(y-)=x-1，即.
考点：直线与圆的位置关系.
9．已知点，，若直线过点与线段始终没有交点，则直线的斜率的取值范围是（）
A．B．或C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出的斜率，根据直线与线段始终没有交点，可知其斜率的取值范围.
【详解】
因为，，
如图：
因为直线与线段始终没有交点，
所以斜率k的取值范围是. 故选A.
【点睛】
本题主要考查了直线的斜率和倾斜角，数形结合的思想方法，属于中档题.
10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）
A B C D
【答案】D
DD所在的直线为x轴、y轴、z 【解析】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、
1
C（0，2，1）轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
1
∴1BC =（-2，0，1），AC =（-2，2，0），AC 且为平面BB 1D 1D 的一个法向量．
∴
1cos ,5BC AC 〈〉=
=
．∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为5 考点：直线与平面所成的角
视频 11．圆
上到直线
的距离等于1的点有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】C 【解析】 【分析】
先计算圆心到直线的距离
，结合圆的半径
和平行线的性质，得到圆上的点与直
线的距离等于1的点共有3个. 【详解】
由题可知，圆心坐标
，圆的半径
；
圆心到直线距离，直线与圆相交.
则圆上的点与直线的距离等于1的点所在的直线到圆心的距离为1或3： （1）到圆心距离为1的直线与圆相交，有两个公共点； （2）到圆心距离为3的直线与圆相切，有一个公共点； 综上，一共有3个点. 故选C. 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线距离公式和两平行线间距离问题，考查学生转化思想和数形结合思想的运用.
12．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P ，使得由
点P 所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】试题分析：椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角最
小，若椭圆上存在点P令切线互相垂直，则只需，即，∴，解得，
∴，即，而，∴，即.
考点：椭圆与圆的标准方程及其性质.
第II卷（非选择题)
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二、填空题
13．已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______.
【答案】32
【解析】
【分析】
为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长.【详解】
为椭圆的两个焦点
由椭圆的定义可得
的周长为，
故答案为32.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，推理计算能力，属于中档题.
14．已知点，直线：，则点关于直线的对称点的坐标为____.
【答案】
【解析】
【分析】
设点关于直线的对称点，利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出
的值即可.
【详解】
设点关于直线的对称点，
则由，解得，故点，
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了求一个点关于直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上两个条件及中点坐标公式，属于中档题.
15．已知点是椭圆上的一点，，是焦点，且，则的面积为____.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据椭圆定义知，又由勾股定理可知，两式联立可求出，代入面积公式即可求解.
【详解】
由椭圆知，
又，
所以
而
解得
所以的面积为.
故答案为5.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，三角形面积公式，属于中档题. 16．过点并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（化为一般式）________.【答案】或
【解析】
【分析】
将截距分成两类进行讨论：1.截距为时，设直线，代入点坐标，求得直线；2.截距不为时，设直线，代入点坐标，求得直线。

【详解】
①当直线与坐标轴截距均为时，设直线方程为：
把代入直线可得：
直线方程为：
②当直线与坐标轴截距不为时，设直线方程为：
把代入直线可得：
直线方程为：
本题正确结果为：或
【点睛】
求解直线方程问题，主要采用待定系数法来求解。

本题易错点为忽略截距为的情况，造成求解不完整。

三、解答题
17．已知两条直线：和：，试分别确定、的值，使：（1）；
（2）且在轴上的截距为.
【答案】解(1)当m＝0时，显然l1与l2不平行.
当m≠0时，由＝≠得
m·m－8×2＝0，得m＝±4，
8×(－1)－n·m≠0，得n≠±2，
即m＝4，n≠－2时，或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.------------6分
(2)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.
又－＝－1，∴n＝8.
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.--------------12分
【解析】
试题分析：（1）本题考察的是两直线平行的判定，若
平行，只需，根据已知条件代入相应的数值即可求出的值．
（2）本题考察的是两直线垂直的判断，若垂直，则
，根据已知条件代入相应的数值即可求出的值．
试题解析：（1），，
解得，或
（2）由题得，解得
考点：直线的一般式方程与直线的平行、垂直关系
18．已知圆：，直线：.
（Ⅰ）求证：直线恒过定点：
（Ⅱ）当直线与圆相交时，求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短长度.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ），最短弦长为
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将直线方程整理为，根据m的任意性可知，即可证明直线过定点.（Ⅱ）根据直线和圆心与定点连线垂直时，弦长最短，即可解决.
【详解】
（Ⅰ）将直线的方程整理得：，
由于的任意性，解得：，
直线恒过定点.
（Ⅱ）当直线和圆心与定点连线垂直时，弦长最短，
最短弦长为，
此时直线的斜率为，
，解得：，
此时直线的方程为，即.
【点睛】
本题主要考查了过定点的直线系方程，圆的几何性质，属于中档题.
19．已知椭圆的焦点分别为，，长轴长为6，设直线交椭圆
于，两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的面积。

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由椭圆的焦点坐标和长轴长分别算出，利用算出，再写出椭圆方程；（Ⅱ）利用弦长公式算出,用点到直线距离公式算出三角形的高,再用面积公式求出面积.
试题解析：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为
由题意，于是，所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）由，得
由于该二次方程的，所以点A、B不同。

设，
则，
点O到直线的距离
所以
所以
考点：1.椭圆的简单几何性质；2.点到直线距离公式；3.弦长公式；4.三角形面积公式.
【方法点晴】椭圆的焦点坐标(其中),椭圆长轴长为,
短轴长为
.
由已知的焦点坐标和长轴长可以求出
和,由
求出,再写出
椭圆方程；点到直线的距离为
；若直线
与椭圆相交于
,
,
则弦长
=
(为直
线的斜率).
20．已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；
(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|.
【答案】（1
）⎝⎭
；（2）2．
【解析】试题分析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k 的值，可得满足条件的k 的范围．
（2）由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解
试题解析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在， 设过点A （0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．
1=，解得：
12k k =
=
k <<
，过点A （0，1）的直线与圆C ： ()()22
231x y -+-=相交于M ，N 两点．
（2）设M ()11,x y ；N ()22,x y ，
由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程
()
()2
2
231x y -+-=，
可得()
()22
14170k x k x +-++=，
∴()12122
2
417
,11k x x x x k k
++=
=
++， ∴()()()22
1212121221241
1111k k y y kx kx k x x k x x k ++=++=+++=+，
由212122
1248
·121k k OM ON x x y y k
++=+==+，解得 k=1， 故直线l 的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN|=2
考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算
视频 21．如图，在三棱柱
中，已知
，
，且
.
（1）求证：平面平面
；
（2）若
，求四棱锥
的体积.
【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）通过证明
面
，得到
，从而可确定
平面
，根据面面垂
直判定定理可证得结论；（2）将四棱锥
拆分成两个相等的三棱锥
和
，然后利用等体积转化为求解三棱锥
的体积，根据棱锥体积公式即可求
得结果。

【详解】
（1）证明：四边形为菱形
则，又且
平面，则
又且
平面，又平面
平面平面
（2）解：连接，则，
由（1）知，平面
，
则
【点睛】
本题难点在于求解体积时，几何体的高不易确定。

对于此类问题，可采用割补法转化为易求体积的几何体来进行求解；同时要注意三棱锥体积求解过程中，经常采用等体积的方式将几何体进行转化。

22．已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形的顶点在椭圆上，且对角线、过原点，若，求证；四边形的面积为定值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）通过离心率，可得与的关系；再利用点，得到与的关系；通过方程组求得椭圆方程；（2）假设直线方程，与椭圆方程联立，通过根与系数关系可得和的关系；再结合椭圆的对称性，将四边形面积转化为求解的面积。

利用弦长公式和点到直线距离公式，将表示出来，整理为定值，从而可证得四边形面积为定值。

【详解】
由题意，，又
解得：，
椭圆的标准方程为
（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为
设，
又
②当直线斜率存在时，设直线的方程为
设，
联立，得
……①
，
，即，
又
整理可得：
设原点到直线的距离为，则
综上所述，四边形面积为定值
【点睛】
本题考察了直线与椭圆问题中的定值类问题，求解此类问题的一般方法为：将所求对象表示为韦达定理的形式，通过直线与椭圆方程联立，经过整理归纳可说明所求对象与变量无关，从而说明所求对象为定值。

求解过程中需注意对直线斜率是否存在的讨论，以及对判别式要求。