江西省樟树中学高二数学下学期第一次月考试题 文

江西省樟树中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题 文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1．设关于x 的不等式2
560x x -+-<的解集为 A.
()2,3 B. ()3,2-- C.()(),23,-∞+∞U
D.()(),32,-∞--+∞U 2.复数
i
的共轭复数是( )
3.椭圆2
2
28x y +=的长轴长是( )
A. B. 2 C. D. 4
4.点M 的极坐标是3,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则点M 的直角坐标为
A ．32⎫⎪⎪⎝⎭
B ．32⎫⎪⎪⎝⎭
C ．32⎛ ⎝⎭
D ．以上都不对
5．函数y f x =（）在定义域内可导，导函数'y f x =（）的图像如右图所示， 则函数y f x =（）的图像为（ ）
A B C D
6. 曲线3
231y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为
A.33y x =-
B.33y x =-+
C.1y x =-+
D.1y x =- 7.直线l 过点(2,4)P --且与抛物线2
8y x =-只有一个公共点，这样的直线共有（ ）
A ． 0条
B ．1条
C ．2条
D ．3条 8.如图所示的程序框图，若输出的数值为1，则输入的数为
A ．2
B ．1 C.
3
2
或1 D.1 或2 9.命题“存在实数[2,3]x ∈，使得x 的不等式2
a x ≥有解”为真命题
的一个必要不充分条件是
A ．5a ≥
B ．5a ≤
C ．3a ≥
D ．4a ≥
10. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为1
3
π+，
则a =（ ） A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．3 11.对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'
(3)()0x f x -≥，则必有（ ） A ．(2)(4)2(3)f f f +< B. (2)(4)2(3)f f f +≤ C. (2)(4)2(3)f f f +≥ D. (2)(4)2(3)f f f +>
12. 已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且
经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. ） 13. 已知等差数列{}n a 中，有
1112201230
1030
a a a a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=，则在等比数列{}n
b 中，
利用类比推理有类似的结论： ． 14．在极坐标系中，点(2,0)到直线sin()16
π
ρθ-
=的距离是 .
15. 已知双曲线22221y x a b -=与椭圆22
145
x y +=共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线方程
（第8题图）
是 .
16．已知m R ∈，若过定点A 的动直线0mx y -=和过定点B 的动直线10x my ++=交于点
(,)P x y ，
则PA PB +的最大值为 .
三.解答题：(本题共6小题，共70分解答应写出必要计算过程，推理步骤和文字说明) 17.（本题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（α为参数）. 以坐标原点为极
点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4
π
ρθ+=.
（1）求2C 的直角坐标方程与1C 的普通方程；
（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.
18.（本题满分12分）
已知命题2
:,0P x R x x m ∀∈+-≥，命题:Q 点(1,2)A -在圆22
()()1x m y m -++=的内部．
(1)若命题P 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题“P 或Q ”为假命题，求实数m 的取值范围．
19．（本题满分12分）某科考试题中有甲、乙两道不同类型的选做题，且每道题满分为10分，每位考生需从中任选一题作答．
（1）A 同学将自己在该考试中历次的选题及得分情况统计如下： 选甲题8次，得分分别为：6，10，10，6，6，10，6，10 选乙题10次，得分分别为：5，10，9，8，9，8，10，8，5，8
某次考试中，A 同学的剩余时间仅够阅读并解答出甲、乙两题中的某一道题，他应该选择甲题还是乙题？
（2）某次考试中，某班40名同学中选择甲、乙两题的人数相等，在16名该选做题获得满分的同学中有10人选的是甲题，则在犯错误概率不超过1%的情况下，判断该选做题得满分是否与选题有关？
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++参考
数据：
20.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，,,E F G 分别是
,,AB BD PC 的中点，ABCD PE ⊥底面．
（1）求证：平面EFG//平面PAD ．
（2）是否存在实数λ满足PB AB λ=，使得⊥平面PBC 平面PAD ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分12分）已知函数2
()ln 2,()()f x x x g x a x x =+=+．
（1）若1
2
a =
，求()()()F x f x g x =-的单调区间； （2）若()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围．
22.（本题满分12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214
y x =
的
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设,A B 为椭圆上的两个动点且OA OB ⊥，过原点O 作直线AB 的垂线OD ，垂足为D ， 求点D 的轨迹方程．
答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）1-5：CDCAB 6-10：ACDCB 11-12:CB
二、填空题（每小题5分，共20分）
= 14. 2 15.
2
y x
=± 16.
三、解答题（解答应写出必要计算过程，推理步骤和文字说明，共70分）
17．（1）
（2）
18．（1）；（1）因为2
,0
x R x x m
∀∈+-≥恒成立，则140
m
∆=+≤，
解得
1
4
m≤-，所以实数m的取值范围是
1
(,]
4
-∞-．
（2）；因为“Q
P或”为假命题，所以P为假命题，Q为假命题．
当Q为真命题时，22
(1)(2)1
m m
-+-+<，解得12
m
<<，
所以Q为假命题时12
m m
≤≥
或由（1）知，P为假命题时
1
4
m>-
从而
1
4
21
m
m m
⎧
>-
⎪
⎨
⎪≥≤
⎩或
，解得
1
12
4
m m
-<≤≥
或所以实数m的取值范围为
1
1
2
4
m m
-<≤≥
或
19.（1）（1）计算甲、乙两题得分的平均数分别为=
×（6+10+10+6+6+10+6+10
）=8，=×（5+10+9+8+9+8+10+8+5+8）=8，甲、乙两题得分的方差为
=×[（
6﹣
8）2+…+（10﹣8）2]=4，
=×[（5﹣8）2+…+（8﹣8）2]=2.8，因此选择乙题更加稳妥；
（2）根据题意，填写2×2列联表如下；
因此K2的观测值k==≈1.667＜6.635，
则在犯错误概率不超过1%的情况下，判断该选做题得满分是否与选题无关． 20. (1) 证明：连结AC ． 底面ABCD 是矩形，F 是BD 中点， ∴F 也是AC 的中点．G 是PC 的中点，∴GF 是△PAC 的中位线， ∴GF∥PA．∵GF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， ∴GF∥平面PAD ．∵E 是AB 中点，F 是BD 中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD．
∵EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴EF∥平面PAD ． ∵GF∥平面PAD ，EF∥平面PAD ，EF∩FG=F，
∴平面EFG∥平面PAD ． …
（2）解：存在λ，
，即
时，平面PBC⊥平面PAD ．∵PE⊥底面ABCD ，BC ⊂
底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，∴PE⊥BC，PE⊥AB．∵底面ABCD 是矩形，∴AB⊥BC． ∵PE∩AB=E，∴BC⊥平面PAB ．∵PA ⊂平面PAB ，∴PA⊥BC．∵PE⊥AB，E 为AB 的中点，
∴PA=PB．当PA⊥PB，即时，∴PA⊥平面PBC ．∵PA ⊂平面PAD ，
∴平面PAD⊥平面PBC ．此时．
21．（1）211
()ln 222F x x x x x =+-
-，其定义域是(0,)+∞ 11(21)(2)
'()222x x F x x x x
+-=+--=-
令'()0F x =，得2x =，1
2
x =-（舍去）。

当02x <<时，'()0F x >，函数单调递增；
当2x >时，'()0F x <，函数单调递减；即函数()F x 的单调区间为(0,2)，(2,)+∞。

（2）设()()()F x f x g x =-，则(21)(1)
'()2x ax F x x
+-=-
，
当0a ≤时，'()0F x ≥，()F x 单调递增，()0F x ≤不可能恒成立，
当0a >时，令'()0F x =，得1x a =
，1
2
x =-（舍去）。

当1
0x a
<<时，'()0F x >，函数单调递增； 当1x a >时，'()0F x <，函数单调递减；
故()F x 在(0,)+∞上的最大值是1()F a ，依题意1
()0F a
≤恒成立，
即11ln 10a a +-≤，…又11
()ln 1g a a a =+-单调递减，且(1)0g =，
故11
ln 10a a
+-≤成立的充要条件是1a ≥，所以a 的取值范围是[1,)+∞
22. （1）设椭圆C 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>．
由题意可得：1,5
c b a ==
，a ∴=2215x y ∴+=． （2）当直线AB 的斜率k 存在时，设直线AB 的方程为()()122,,,,y kx m x y B x y =+1设A
22
1
5
x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，()2225110550k x kmx m ∴+++-= 122
1051
km
x x k ∴+=-+，2122
5551m x x k -=+ ()()()22
12121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++0
OA OB =12120x x y y ∴+=
即()
()22
121210k x x km x x m
++++=，
()()2
222
22
21551005151
k m k m m k k +--+=++ 226550m k ∴--= ① 又(),,OD AB D x y ⊥设，x
k y
∴=-
② 又点(),D x y 在直线AB 上，y kx m ∴=+ 2
x m y kx y y
∴=-=+ ③
把②③代入①得2
22
26550x x y y y ⎛⎫+--= ⎪⎝
⎭，()2222
2650x y x y y
+⎡⎤+-=⎣⎦即
∴点D 的轨迹方程为()225
06
x y y +=
≠ ； （2）当直线AB 的斜率不存在时，
6D ⎛⎫
± ⎪ ⎪⎝⎭
，满足2256x y +=综合（1）（2）知点D 的轨迹方程为 2256x y +=．。