机械优化设计试卷试题包括答案.docx

计算题
1．试用牛顿法求 f X8x125x22的最优解，设 X 010 10T 。

初始点为 X 01010T，则初始点处的函数值和梯度分别为
f X 01700
f X 016x1 4 x2200 ，沿梯度方向进行一维搜索，有
4x110 x2140
X 1
X
f X
10200102000 010
0 14010140
0为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件
f X 1min f X 0f X 0
min 8102002410200101405101402
0000 min
1060000 0596000，
59600
从而算出一维搜索最佳步长0 0.05622641060000
则第一次迭代设计点位置和函数值X 1
10200
101400
1.2452830
2.1283019
f X 124.4528302 ，从而完成第一次迭代。

按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。

2、试用黄金分割法求函数f 20
的极小点和极小值，设搜索区间
a, b0.2,1 （迭代一次即可）
解：显然此时，搜索区间a,b0.2,1 ，首先插入两点1和 2 ，由式
1b(b a) 1 0.618 1 0.20.5056
2a(b a) 0.2 0.618 1 0.20.6944
计算相应插入点的函数值f140.0626, f229.4962 。

因为 f
1f 2 。

所以消去区间a, 1，得到新的搜索区间1 ,b ，即1 ,b a,b0.5056,1。

第一次迭代：
插入点10.6944 ，2 0.50560.618(1 0.5056) 0.8111相应插入点的函数值f129.4962, f225.4690，
由于 f 1f2，故消去所以消去区间 a, 1，得到新的搜索区间
1 ,b ，则形成新的搜索区间1 ,b a,b0.6944,1 。

至此完成第一次迭代，
继续重复迭代过程，最终可得到极小点。

3．用牛顿法求目标函数 f X16x1225x22 +5 的极小点，设X022T 。

f
解：由X 0
22
T
f X
x132x164，则
f50x2100
x2
2 f 2 f
2 f X 0
x12x1 x2320
，其逆矩阵为2 f 2 f050
x2x1x22
1
20132
f X
1
50
1
102010232640因此可得： X X f X X
f
211000
50
f X 1 5 ，从而经过一次迭代即求得极小点X0T
5 0 ， f X
4.下表是用黄金分割法求目标函数f 20
的极小值的计算过程，请完成
下表。

迭代序号
a 1 2
b
y 1
比较y 2
0.2
1
1
迭代序号
a 1
2
b y 1
比较y 2
0.2
0.6944
1
40.0626
〉 29.4962
0.5056
1 0.5056
0.6944 0.8111 1 29.4962 〉 25.4690
5、 求二元函数 f(x 1,x 2)=x 12+x 22-4x 1-2x 2+5 在 x 0=[0 0] T 处函数变化率最大的方向和数值？
解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量
P 表示函数变化率最大和数
值是梯度的模 II f ( x 0 ) II 。

求 f(x 1,x 2)在 x 0 点处的梯度方向和数值，计算如下：
f 2x 1 4
4
f (x 0 ) =
x 1
=
=
f
2x 2 2 x 2
x 2
x 0
II f (x 0 ) II = ( f )2 ( f ) 2
= ( 4) 2
( 2) 2 2
5
x 1
x 2
4 2
P=
f ( x 0 )
2 5
f ( x 0 )
2 5
1
5
在 x 1 x 2 平面上画出函数等值线和 x 0 （ 0,0）点处的梯度方向 P ，如图 2-1 所示。

从图中可
以看出，在 x 0 点函数变化率最大的方向
P 即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方
向。

6、 用共轭梯度法求二次函数
f(x 1,x 2)=x 12+2x 22-4x 1-2 x 1x 2 的极小点及极小值？
解： 取初始点
x 01 1 T
则
2x 1 2x 2
4
4
g 0= f ( x 0
)
4x 2 2x 1
x 0
2
取
d 0
=-g 0=
4
2
沿 d 0 方向进行一维搜索，得
1
4 1 4
x 1
=x 0
+ 0 d 0
=
2
1 2
1
0 0
其中的 0 为最佳步长，可通过
f （ x 1） = min 1 ( ), 1 ( 0 ) 0
求得
1 0 =
4
则
x 1 1
4 1 4
=
2
1 2
1
0 0
2 = 1
2
为建立第二个共轭方向
d 1，需计算 x 1 点处的梯度及系数
0 值，得
g 1= f （ x 1
） =
2x 1 2x 2 4 1
4x 2
2x 1
2
x 1
2
5 1
0 g 1
2
20
4
g 0
从而求得第二个共轭方向
1 1 4
2 1
1
0 3
d =-g + 0
d =
4 2
2
2
再沿 d 1 进行一维搜索，得
2
2
2 2 x 2
=x 1
+ 1 d 1 = 1
1
3
1 3
2 2 2 2
1
1
其中的 1 为最佳步长，通过 f （x2） = min2( ),2(1) 0求得 1 =1
则x2=计算x2点处的梯度
2222
11313
2222
14
=
12
g2= f （ x2） =
2x12x240
4 x22x1
x20
说明 x2点满足极值必要条件，再根据x2点的海赛矩阵
G(x2)=22 24
是正定的，可知x2满足极值充分必要条件。

故x2为极小点，即
x*x 24 2
而函数极小值为 f ( x* )8 。

7、求约束优化问题
Minf(x)=(x1-2)222
+(x -1)
s.t. h(x)=x 1+2x 2-2=0
的最优解？
解：该问题的约束最优解为x* 1.60.2 T , f ( x* )0.8 。

由图 4-1a 可知，约束最优点x*为目标函数等值线与等式约束函数（直线）的切点。

用间接解法求解时，可取2 =0.8，转换后的新目标函数为
( x, 2 ) ( x12) 2( x2 1)20.8(x1 2 x2 2)
可以用解析法求min x2
) ，即令0
，得到方程组
( ,
2(x12) 0.80
x1
2( x21)1.6 0
x2
解此方程组，求得的无约束最优解为：x* 1.60.2 T , ( x* , 2 ) 0.8 其结果和原约束最
优解相同。

图4-1b 表示出最优点x*为新目标函数等值线族的中心。

图 4-1
a）目标函数等值线和约束函数关系b）新目标函数等值线。