湖南省益阳市赫山区2019-2020八年级上学期期末数学试卷 及答案解析

湖南省益阳市赫山区2019-2020八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.9的平方根是()
A. ±3
B. 3
C. −3
D. ±√3
2.若m>n，则下列不等式正确的是()
A. m−2<n−2
B. m
4>n
4
C. 6m<6n
D. −8m>−8n
3.若分式x2−4
x
的值为0，则x的值是()
A. 2或−2
B. 2
C. −2
D. 0
4.将分式1−x2
x3−2x2+x
约分，其结果为()
A. −x+1
x2−x B. −x+1
x2+x
C. x+1
x2−x
D. x+1
x2+x
5.一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是()
A. 3<x<11
B. 4<x<7
C. −3<x<11
D. x>11
6.分式方程1
x−1=2
x−2
的解是()
A. x=1
B. x=2
C. x=0
D. 无解．
7.已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，
点O是线段AD上一点，OP=OC，则∠APO+∠DCO=()
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
8.等式√x−3
√x+1=√x−3
x+1
成立的x的取值范围在数轴上可表示为()
A. B.
C. D.
9.下列运算正确的是()
A. √2+√3=√5
B. 2√2×3√2=6√2
C. √8÷√2=2
D. 3√2−√2=3
10.计算−22+(−2)2−(−1
2
)−1的正确结果是()
A. 2
B. −2
C. 6
D. 10
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11.1纳米=10−9米，用科学记数法表示：360纳米=______ 米．
12.要使二次根式√x−5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
13.若a<√6<b，且a、b是两个连续的整数，则a b=______ ．
14.如图，BE=CF，AB=DE，添加下一个条件：，使得△ABC≌△
DFE，
15.如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=70°，
则∠BOC=______ °.
16.不等式组{3x−1>x
2
x−5
3
<x
的解集______
17.用不等式表示“x的5倍与6的差大于1”：______．
18.幂的乘方，底数________，指数________，即(a m)n=________(m、n是正整数)。

三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）
19.化简：(√2−√6)×√18−3√1
3
．
20.解不等式组{x−3(x−2)≤8
x−1<5−2x并写出它的整数解．四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
21.先化简，再求值：( 1
x−2+1
x+2
)(x2−4)，其中，x=√5．
22.解下列方程：(1)2
x =3
x+1
(2)
x
x−2
+
2
2−x
=2
23.如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D．
24.下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．
已知：在△ABC中，∠C=90°．
求作：△ABC的中位线DE，使点D在AB上，点E在AC上．
作法：如图，
AC长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
①分别以A，C为圆心，大于1
2
②作直线PQ，与AB交于点D，与AC交于点E．
所以线段DE就是所求作的中位线．
根据小宇设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明．
证明：连接PA，PC，QA，QC，DC，
∵PA=PC，QA=______，
∴PQ是AC的垂直平分线(______)(填推理的依据)．
∴E为AC中点，AD=DC．
∴∠DAC=∠DCA，
又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC=90°，∠DCA+∠DCB=90°．
∴∠ABC=∠DCB(______)(填推理的依据)．
∴DB=DC．
∴AD=BD=DC．
∴D为AB中点．
∴DE是△ABC的中位线．
25.某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本价格是乙种图书每本价格的2.5倍，用800
元单独购买甲种图书比用800元单独购买乙种图书要少24本．求：
(1)乙种图书每本价格为多少元？
(2)如果该图书馆计划购买乙种图书的本数比购买甲种图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、
乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲种图书？
26. 阅读：
对于两个不等的非零实数a 、b ，若分式
(x−a)(x−b)x 的值为零，则x =a 或x =b.又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x =x +ab x −(a +b)，所以关于x 的方程x +ab x =a +b 有两个解，分别为x 1=a ，
x 2=b ．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程x +8x =6的两个解中较大的一个为______；
(2)关于x 的方程x +m−n mnx =m+4mn−n 2mn 的两个解分别为x 1、x 2(x 1<x 2)，若x 1与x 2互为倒数，则
x 1=______，x 2=______；
(3)关于x 的方程2x +n 2+2n−32x−1=2n +3的两个解分别为x 1、x 2(x 1<x 2)，求x 2−2
2x 1的值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：
本题考查了平方根的概念，根据平方根的概念直接进行求解即可．
解：9的平方根是±3，
故选A．
2.答案：B
解析：
将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以−8，根据不等式的基本性质逐一判断即可得．
本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
解：A、将m>n两边都减2得：m−2>n−2，此选项错误；
B、将m>n两边都除以4得：m
4>n
4
，此选项正确；
C、将m>n两边都乘以6得：6m>6n，此选项错误；
D、将m>n两边都乘以−8，得：−8m<−8n，此选项错误；
故选：B．
3.答案：A
解析：解：∵分式x2−4
x
的值为0，
∴x2−4=0，
解得：x=2或−2．
故选：A．
直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
解析：
本题考查的是分式的约分，解题关键是先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式，然后找到其中的公因式约去．
解：1−x 2
x−2x+x =(1+x)(1−x)
x x−2x+1
=−(1+x)(x−1)
x x−1
=−x+1
x−x
，
故选A．
5.答案：A
解析：
本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可解答．
解：7−4<x<7+4，
即3<x<11．
故选A．
6.答案：C
解析：解：分式方程1
x−1=2
x−2
，
两边分别乘以(x−2)(x−1)，
可得：x−2=2(x−1)，
移项合并，解得：x=0，
经检验x=0是原分式方程的解．
故选：C．
观察可得最简公分母为(x−2)(x−1)，方程两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
本题主要考查解分式方程解答本题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意分式方程要验根．
解析：
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质．
连接OB ，利用等边对等角，即可证得：∠APO =∠ABO ，∠DCO =∠DBO ，则∠APO +∠DCO =∠ABO +
∠DBO =∠ABD ，据此即可求解．
解：连接OB ，
∵AB =AC ，AD ⊥BC ，
∴BD =CD ，∠BAD = 12∠BAC = 1
2×120°=60°，
∴OB =OC ，∠ABC =90°−∠BAD =30°，
∵OP =OC ，
∴OB =OC =OP ，
∴∠APO =∠ABO ，∠DCO =∠DBO ，
∴∠APO +∠DCO =∠ABO +∠DBO =∠ABD =30°.
故选B ． 8.答案：B
解析：
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求出x 的范围．
解：由题意可知：{x −3≥0x +1>0
解得：x ≥3
故选B ．
9.答案：C
解析：解：A 、√2与√3不能合并，所以A 选项错误；
B 、原式=6×2=12，所以B 选项错误；
C 、原式=√8÷2=2，所以C 选项准确；
D、原式=2√2，所以D选项错误．
故选：C．
根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10.答案：A
解析：
本题考查了有理数的乘方以及负整数指数幂的知识，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
根据负整数指数幂和有理数的乘方计算即可．
解：原式=−4+4+2=2．
故选A．
11.答案：3.6×10−7
解析：解：360纳米=360×10−9米=3.6×10−7米．
故答案为：3.6×10−7．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.答案：x≥5
解析：解：由题意得，x−5≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
13.答案：8
解析：
本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出√6的范围．先估算出√6的范围，即可得出a、b的值，代入求出即可．
解：∵2<√6<3，
∴a=2，b=3，
∴a b=8．
故答案为8．
14.答案：AC=DF或∠ABC=∠DEF
解析：
本题主要考查全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
解：①添加AC=DF，根据SSS，能判定△ABC≌△DEF；
②添加∠ABC=∠DEF，根据SAS，能判定△ABC≌△DEF；
故答案为AC=DF或∠ABC=∠DEF．
15.答案：125
解析：解：∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=110°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC=1
2∠ABC，∠OCB=1
2
∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=1
2
(∠ABC+∠ACB)=55°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−55°=125°．故答案为：125．
先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC=1
2∠ABC，∠OCB=1
2
∠ACB，求出
∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180°．
16.答案：x>2
5
解析：解：解不等式3x−1>x
2，得：x>2
5
，
解不等式x−5
3<x，得：x>−5
2
，
则不等式组的解集为x>2
5
，
故答案为：x>2
5
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
17.答案：5x−6>1
解析：
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
直接利用x的5倍即5x，再减去6大于1进而得出答案．
解：由题意可得：5x−6>1．
故答案为：5x−6>1．
18.答案：不变，相乘，a mn
解析：
此题考查了幂的乘方法则．此题比较简单，注意熟记运算法则是解此题的关键．直接利用幂的乘方法则求解即可求得答案．
解：幂的乘方法则是(a m)n=a mn，即幂的乘方，底数不变，指数相乘．故答案为不变，相乘，a mn．19.答案：解：原式=√2×18−√6×18−√3
=6−6√3−√3
=6−7√3．
解析：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题关键．
先利用二次根式的乘法法则运算，再加减即可．
20.答案：解：{x −3(x −2)≤8 ①x −1<5−2x ②
， 由①得：x ≥−1，
由②得：x <2，
∴不等式组的解集为−1≤x <2，
则不等式组的整数解为−1，0，1．
解析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.答案： 解：原式=1x−2(x +2)(x −2)+1x+2(x +2)(x −2)
=x +2+x −2
=2x ；
当x =√5时，原式=2√5.
解析：本题考查了分式的混合运算，解答时要根据分式混合运算的运算顺序，即先乘除，再加减，有括号先算括号，化简后再代入求值即可．
22.答案：解：(1)方程两边同乘以x(x +1)得：
2(x +1)=3x ，
解得：x =2，
检验：把x =2代入x(x +1)得：2×3=6≠0，
故x =2是原方程的解；
(2)方程两边同乘以x−2得：
x−2=2(x−2)，
解得：x=2，
检验：把x=2代入x−2得：2−2=0，
故x=2是原方程的增根，
原分式方程无解．
解析：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
(1)方程两边同乘以x(x+1)去分母化为整式方程，求出x，再验根即可；
(2)方程两边同乘以x−2去分母化为整式方程，解出x，再验根即可．
23.答案：证明：∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE；
又∵AB=DC，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE(SAS)
∴∠A=∠D．
解析：此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．
24.答案：QC到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上等角的余角相等
解析：解：(1)如图线段DE即为所求．
(2)连接PA，PC，QA，QC，DC，
∵PA=PC，QA=QC，
∴PQ是AC的垂直平分线(到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)，
∴E为AC中点，AD=DC．
∴∠DAC=∠DCA，
又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC=90°，∠DCA+∠DCB=90°．
∴∠ABC=∠DCB(等角的余角相等)，
∴DB=DC．
∴AD=BD=DC．
∴D为AB中点．
∴DE是△ABC的中位线．
故答案为：QC，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，等角的余角相等．
(1)作线段AC的垂直平分线PQ，交AB于D，交AC于E．
(2)想办法证明AE=EC，AD=DC即可解决问题．
本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.答案：解：(1)设乙种图书每本价格为x元，则甲种图书每本价格为2.5x元，
800 2.5x +24=800
x
，
解得，x=20，
经检验，x=20是原分式方程的解，
答：乙种图书每本价格为20元；
(2)设购买甲种图书a本，则购买乙种图书(2a+8)本，由(1)知乙种图书每本20元，则甲种图书每本50元，
50a+20(2a+8)≤1060，
解得，a≤10，
答：该图书馆最多可以购买10本甲种图书．
解析：本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，注意分式方程要检验．
(1)根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得乙种图书每本的价格；
(2)根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得该图书馆最多可以购买多少本甲种图书．
26.答案：解：(1)4；
(2)1
2
；2 ；
(3)方程整理得：2x−1+(n−1)(n+3)
2x−1
=n−1+n+3，
得2x−1=n−1或2x−1=n+3，
可得x1=n
2，x2=n+4
2
，
则原式=n+4
2
−2
2⋅n
2
=1
2
．
解析：
此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
(1)方程变形后，利用题中的结论确定出较大的解即可；
(2)方程变形后，根据利用题中的结论，以及x1与x2互为倒数，确定出x1与x2的值即可；
(3)方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果．
解：(1)方程x+8
x =6变形得：x+2×4
x
=2+4，
根据题意得：x1=2，x2=4，则方程较大的一个解为4，
故答案为4；
(2)方程变形得：x+m−n
2mn
×2
x =m−n
2mn
+2，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一根为1
2
，
则x1=1
2
，x2=2；
故答案为1
2
；2
(3)方程整理得：2x−1+(n−1)(n+3)
2x−1
=n−1+n+3，得2x−1=n−1或2x−1=n+3，
可得x1=n
2，x2=n+4
2
，
则原式=n+4
2
−2
2⋅n
2
=1
2
．。