四川省三台中学2016-2017学年高一下学期第三次月考6月数学试题 含答案 精品

三台中学2016级高一下期第三次月考
数学试题
第Ⅰ卷（共48分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在ABC V 中，AB AC -=u u u r u u u r （ ）
A ．2BC uu u r
B ．2CB uu r
C ．CB uu r
D ．BC uu u r
2．已知a ，b ∈R ，下列结论成立的是（ ）
A ．若a b <，则ac bc <
B ．若0a b <<，则
11a b > C ．若a b <，c d <，则ac bd < D ．若a b <，则n n a b <（*N n ∈，2n ≥）
3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，534a =，则1a =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．正方体1111ABCD A BC D -，
E 、
F 分别是正方形1111A B C D 和11ADD A 的中心，则EF 和CD 所成的角是（ ）
A ．60︒
B ．45︒
C ．30︒
D ．90︒
5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若m n ⊥，n α∥，则m ⊥α
B ．若m β∥，⊥βα，则m ⊥α
C ．若m n ⊥，n ⊥β，⊥βα，则m ⊥α
D ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A ．8+．11+．14+．15
7．在ABC V 中，已知30A =︒，45C =︒，2a =，则ABC V 的面积等于（ ）
A
．)
1
12 C
．
1 8．我国古代用一首诗歌形式描述了一个的数学问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
9．在锐角三角形ABC 中，3BC =，4AB =，则AC 的取值范围是（ ）
A
．( B
． C
．) D
．)
10．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，
2AB =.若二面角1C AB C --的大小为45︒，则点C 到平面1C AB 的距离为（ ）
A ．1 B
．2 C
11．设O 为坐标原点，第一象限内的点(),M x y 的坐标满足约束条件26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩
，(),ON a b =uuu r （0a >，0b >）.若OM ON ⋅u u u r u u u r 的最大值为40，则51a b
+的最小值为（ ） A ．256 B ．94
C ．1
D ．4 12．在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和为n S 满足()2
1n n n S a S =-，设22
log n n n S b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足6n T ≥的最小正整数n 是（ ）
A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
第Ⅱ卷（共52分）
二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量()1,1a =-r ，()3,b m =r ，若()
a a
b +∥r r r ，则m = ． 14．已知向量a r ，b r ，其中1a =r ，2b =r ，且()a b a +⊥r r r ，则2a b -=r r ．
15．如图是正方形的平面展开图.在这个正方体中，
①BM 与ED 是异面直线；
②CN 与面BEM 平行；
③BN 与面ADNE 所成角的正切值是
2
； ④DM 与BN 垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是 ．
16．在ABC V 中，AB ，点D 在边BC 上，2BD DC =，cos DAC ∠=，
cos C ∠=，则AC BC += ．
三、解答题 （本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知()
22sin m x x =u r ，()cos ,2n x =r ，函数()f x m n =⋅u r r （Ⅰ）已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若锐角A 满足
26A f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
π，求A ∠的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若7a =，且sin sin 14
B C +=，求ABC V 的面积. 18．如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米.怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.
19．如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，
底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，4AB =，2BC CD ==，12AA =，E 、F 、1E 分别是棱AD 、AB 、1AA 的中点.
（1）证明：直线1EE ∥平面1FCC ；
（2）求证：面1D AC ⊥面11BB C C .
20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令12
log n n n b na a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式
()()2191232
n n n S T t n -+-<+对任意*n N ∈恒成立，求实数t 的取值范围. 三台中学高2016级高一下期第三次月考数学
参考答案
一、选择题
1-5:CBABD 6-10:BDCCD 11、12：BC
二、填空题
13．3- 14
．①②③④ 16
．3三、解答题
17．解：（1）(
)f x m n =⋅u r r
22sin cos x x x =+
sin 2x x =
2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭π，
由2sin 22sin 26263A A f A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
πππ， 又A Q 为锐角，3A ∴=π
，
（2
）由正弦定理可得2sin a R A ===
sin sin 2b c B C R ++==，
则13b c +==， 由余弦定理可知，()2222221cos 222
b c bc a b c a A bc bc +--+-===， 可求得40bc =
.
1sin 2
ABC S bc A ==V 18．解：设休闲广场的长为x 米，则宽为2400x
米，绿化区域的总面积为S 平方米， ()240064S x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
2400242446x x ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝
⎭ 360024244x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，()6,600x ∈
因为()6,600x ∈，所以3600120x x +
≥=， 当且仅当3600x x
=，即60x =时取等号 此时S 取得最大值，最大值为1944.
答：当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米.
19．证明：（1）在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，取11A B 的中点1F ，
连接1A D ，11C F ，1CF .
因为4AB =，2CD =，且AB CD ∥，所以11CD A F ∥，且11CD A F =，11A FCD 为平行四边形，所以11CF A D ∥.
又因为E 、1E 分别是棱AD 、1AA 的中点，
所以11EE A D ∥，
所以11CF EE ∥，
又因为1EE ⊄平面1FCC ，1CF ⊂平面1FCC ，
所以直线1EE ∥平面1FCC .
（2）连接AC ，在直棱柱中，1CC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
所以1CC AC ⊥，
因为底面ABCD 为等腰梯形，4AB =，2BC =，F 是棱AB 的中点，
所以CF CB BF ==，BCF V 为正三角形，
60BCF ∠=︒，ACF V 为等腰三角形，且30ACF ∠=︒，
所以AC BC ⊥，
又因为BC 与1CC 都在平面11BB C C 内且交于点C ，
所以AC ⊥平面11BB C C ，而AC ⊂平面1D AC ，
所以面1D AC ⊥面11BB C C
.
20．解：（Ⅰ）当1n =时，1122a a =-，解得12a =；
当2n ≥时，122n n n n a S S a -=-=-()112222n n n a a a ----=-，
12n n a a -∴=，故数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列， 故1222n n n a -=⋅=. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，12
2log 22n n n n b n n n =⋅+=⋅-，
12n n T b b b ∴=+++=L ()()2322232212n n n +⋅+⋅++⋅-+++L L 令23222322n n R n =+⋅+⋅++⋅L ，则23412222322n n R n +=+⋅+⋅++⋅L ， 两式相减得23122222n n n R n +-=++++-⋅L ()
1212212n n n +-=-⋅-，
()1122n n R n +∴=-+，
故12n n T b b b =+++=L ()()1112
22n n n n ++-+-， 又由（Ⅰ）得，1222
2n n n S a +=-=-， 不等式()()2191232
n n n S T t n -+-<+即为()()1112122n n n n ++----+()2119232
n n t n +<+，
即为2312322t n n >-+-对任意*n ∈N 恒成立.设()2312322
f n n n =-+-，则()23843233
f n n ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， *n ∈N Q ，()()max 43332f n f ∴==-
， 故实数t 的取值范围是43,32⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭.。